Задача Ньютона – Пипса

Задача Ньютона -Пеписа — это вероятностная задача, касающаяся вероятности выпадения шестерки из определенного количества игральных костей.

В 1693 году Сэмюэл Пепис и Исаак Ньютон переписывались по поводу проблемы, поставленной Пепису школьным учителем по имени Джон Смит. Проблема заключалась в следующем:

Какое из следующих трех предложений имеет наибольшие шансы на успех?

А. Шесть игровых кубиков подбрасываются независимо, и выпадает хотя бы одна цифра «6».

Б. Двенадцать игровых кубиков подбрасываются независимо, и выпадают как минимум две шестерки.

C. Восемнадцать игровых кубиков подбрасываются независимо, и выпадают как минимум три цифры «6».

Первоначально Пепис думал, что исход C имеет наибольшую вероятность, но Ньютон правильно пришел к выводу, что исход A на самом деле имеет наибольшую вероятность.

Решение

Вероятности исходов A, B и C равны:

$P(A)=1-\left({\frac {5}{6}}\right)^{6}={\frac {31031}{46656}}\approx 0.6651\,,$

$P(B)=1-\sum _{x=0}^{1}{\binom {12}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{12-x}={\frac {1346704211}{2176782336}}\approx 0.6187\,,$

$P(C)=1-\sum _{x=0}^{2}{\binom {18}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{18-x}={\frac {15166600495229}{25389989167104}}\approx 0.5973\,.$

Эти результаты можно получить, применяя биномиальное распределение (хотя Ньютон получил их из первых принципов). В общем случае, если P( n ) — вероятность выбросить по крайней мере n шестерок на 6n игральных костях, то:

$P(n)=1-\sum _{x=0}^{n-1}{\binom {6n}{x}}\left({\frac {1}{6}}\right)^{x}\left({\frac {5}{6}}\right)^{6n-x}\,.$

По мере роста n P( n ) монотонно уменьшается до асимптотического предела 1/2.

Пример в R

Решение, описанное выше, может быть реализовано в R следующим образом:

for (s in 1:3) {          # looking for s = 1, 2 or 3 sixes
  n = 6*s                 # ... in n = 6, 12 or 18 dice
  q = pbinom(s-1, n, 1/6) # q = Prob( <s sixes in n dice )
  cat("Probability of at least", s, "six in", n, "fair dice:", 1-q, "\n")
}

Объяснение Ньютона

Хотя Ньютон правильно рассчитал шансы каждой ставки, он предоставил Пепису отдельное интуитивное объяснение. Он вообразил, что B и C бросают свои кости группами по шесть человек, и сказал, что вариант A наиболее выгоден, поскольку для него требуется выпадение 6 только при одном броске, в то время как B и C требуют выпадения 6 при каждом броске. Это объяснение предполагает, что группа производит не более одной шестерки, поэтому на самом деле оно не соответствует исходной задаче.

Обобщения

Естественным обобщением проблемы является рассмотрение n необязательно честных игральных костей, где p - вероятность того, что каждый кубик при броске выберет 6 граней (обратите внимание, что на самом деле количество граней игральной кости и какая грань должна быть выбрана не имеют значения). . Если r — общее количество кубиков, выбравших 6 граней, то $P(r\geq k;n,p)$ — это вероятность того, что игральных костей будет сделано не менее k при броске ровно n правильных выборов . Тогда исходную задачу Ньютона–Пеписа можно обобщить следующим образом:

Позволять $\nu _{1},\nu _{2}$ быть натуральными положительными числами st $\nu _{1}\leq \nu _{2}$. Тогда $P(r\geq \nu _{1}k;\nu _{1}n,p)$ не меньше, чем $P(r\geq \nu _{2}k;\nu _{2}n,p)$ для всех n, p, k ?

Обратите внимание, что в этих обозначениях исходная задача Ньютона–Пеписа выглядит так: $P(r\geq 1;6,1/6)\geq P(r\geq 2;12,1/6)\geq P(r\geq 3;18,1/6)$?

Как заметили Рубин и Эванс (1961), не существует единых ответов на обобщенную проблему Ньютона-Пеписа, поскольку ответы зависят от k, n и p . Тем не менее, существуют некоторые варианты предыдущих вопросов, допускающие однотипные ответы:

(из Чаунди и Булларда (1960)):

Если $k_{1},k_{2},n$ являются положительными натуральными числами, а $k_{1}<k_{2}$, затем $P(r\geq k_{1};k_{1}n,{\frac {1}{n}})>P(r\geq k_{2};k_{2}n,{\frac {1}{n}})$.

Если $k,n_{1},n_{2}$ являются положительными натуральными числами, а $n_{1}<n_{2}$, затем $P(r\geq k;kn_{1},{\frac {1}{n_{1}}})>P(r\geq k;kn_{2},{\frac {1}{n_{2}}})$.

(из Вараньоло, Пиллонетто и Шенато (2013)):

Если $\nu _{1},\nu _{2},n,k$ являются положительными натуральными числами, а $\nu _{1}\leq \nu _{2},k\leq n,p\in [0,1]$ затем $P(r=\nu _{1}k;\nu _{1}n,p)\geq P(r=\nu _{2}k;\nu _{2}n,p)$.