Многоугольник Ньютона

В математике многоугольник Ньютона — это инструмент для понимания поведения полиномов над локальными полями или, в более общем плане, над ультраметрическими полями. В исходном случае локальное поле интереса было, по существу, полем формальных рядов Лорана относительно неопределенного X , т.е. полем частных формальных степенных рядов. кольца $K[[X]]$,над $K$, где $K$ было полем действительного числа или комплексного числа . Это все еще имеет значительную полезность в отношении разложений Пюизо . Многоугольник Ньютона – эффективный прибор для понимания ведущих терминов. $aX^{r}$ степенной ряд уравнений решений разложения в $P(F(X))=0$где $P$ представляет собой многочлен с коэффициентами $K[X]$, кольцо полиномов ; то есть неявно определенные алгебраические функции . Экспоненты $r$ вот некоторые рациональные числа , зависящие от ветви выбранной ; а сами решения представляют собой степенные ряды по $K[[Y]]$с $Y=X^{\frac {1}{d}}$ для знаменателя $d$ соответствующий филиалу. Многоугольник Ньютона дает эффективный алгоритмический подход к расчету. $d$.

После введения p-адических чисел было показано, что многоугольник Ньютона столь же полезен в вопросах ветвления локальных полей, а значит, и в алгебраической теории чисел . Многоугольники Ньютона также оказались полезны при изучении эллиптических кривых .

Определение

Построение многоугольника Ньютона полинома 1 + 5 X + 1/5 X ² + 35 Х ³ + 25 Х ⁵ + 625 Х ⁶ относительно 5-адической оценки.

Априори для полинома над полем поведение корней (при условии, что корни есть) будет неизвестно. Многоугольники Ньютона представляют собой один из методов изучения поведения корней.

Позволять $K$ быть полем, наделенным неархимедовой оценкой $v_{K}:K\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}$, и пусть

$f(x)=a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0}\in K[x],$

с $a_{0}a_{n}\neq 0$. Тогда многоугольник Ньютона $f$ определяется как нижняя граница выпуклой оболочки множества точек $P_{i}=\left(i,v_{K}(a_{i})\right),$ игнорируя пункты с $a_{i}=0$.

все эти точки Pi _{Говоря геометрически, постройте} на плоскости xy . Предположим, что индексы точек увеличиваются слева направо ( P ₀ – самая левая точка, P _n – самая правая точка). Затем, начиная с P ₀ , нарисуйте луч прямо вниз, параллельно оси y , и вращайте этот луч против часовой стрелки, пока он не достигнет точки P _{k 1} (не обязательно P ₁ ). Переломите луч здесь. Теперь нарисуйте второй луч из P _{k 1} прямо вниз, параллельно оси y , и вращайте этот луч против часовой стрелки, пока он не достигнет точки P _{k 2} . Продолжать до тех пор, пока процесс не достигнет точки P _n ; полученный многоугольник (содержащий точки P ₀ , P _{k 1} , P _{k 2} , ..., P _{k m} , P _n ) является многоугольником Ньютона.

Другой, возможно, более интуитивный способ рассмотрения этого процесса заключается в следующем: рассмотрим резиновую ленту, окружающую все точки P ₀ , ..., P _n . Растяните ленту вверх так, чтобы ее нижняя сторона застряла в некоторых точках (точки действуют как гвозди, частично вбитые в плоскость xy). Вершины многоугольника Ньютона являются именно этими точками.

Четкую диаграмму см. в главе 6 §3 книги Дж. У.С. Касселса «Локальные поля», LMS Student Texts 3, CUP 1986. Это на стр. 99 издания в мягкой обложке 1986 года.

Основная теорема

С учетом обозначений предыдущего раздела основным результатом, касающимся многоугольника Ньютона, является следующая теорема: в котором говорится, что оценка корней $f$ полностью определяются его многоугольником Ньютона:

Позволять $\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{r}$— наклоны отрезков многоугольника Ньютона $f(x)$ (как определено выше) расположены в порядке возрастания, и пусть $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}$— соответствующие длины отрезков , проецируемых на ось X (т. е. если у нас есть отрезок, простирающийся между точками $P_{i}$ и $P_{j}$ тогда длина $j-i$).

• The $\mu _{i}$ различимы;
• $\sum _{i}\lambda _{i}=n$;
• если $\alpha$ является корнем $f$ в $K$, $v(\alpha )\in \{-\mu _{1},\ldots ,-\mu _{r}\}$;
• для каждого $i$, количество корней $f$ чьи оценки равны $-\mu _{i}$ (с учетом кратностей) не более $\lambda _{i}$, с равенством, если $f$ распадается на произведение линейных факторов по $K$.

и

Используя обозначения предыдущих разделов, далее будем обозначать через $L$ поле расщепления $f$ над $K$и по $v_{L}$ расширение $v_{K}$ к $L$.

Теорема Ньютона о многоугольниках часто используется, чтобы показать неприводимость многочленов, как, например, в следующем следствии:

• Предположим, что оценка $v$ дискретен и нормирован, и что полином Ньютона $f$ содержит только один сегмент, наклон которого равен $\mu$ а проекция на ось x равна $\lambda$. Если $\mu =a/n$, с $a$ взаимно простой с $n$, затем $f$ является неприводимым над $K$. В частности, поскольку многоугольник Ньютона полинома Эйзенштейна состоит из одного сегмента наклона $-{\frac {1}{n}}$ подключение $(0,1)$ и $(n,0)$, следует критерий Эйзенштейна .

Действительно, по основной теореме, если $\alpha$ является корнем $f$, $v_{L}(\alpha )=-a/n.$ Если $f$ не были неприводимыми $K$, то степень $d$ из $\alpha$ было бы $<n$, и там будет держаться $v_{L}(\alpha )\in {1 \over d}\mathbb {Z}$. Но это невозможно, поскольку $v_{L}(\alpha )=-a/n$ с $a$ взаимно простой с $n$.

Еще одно простое следствие заключается в следующем:

• Предположим, что $(K,v_{K})$ является Гензелианским . Если многоугольник Ньютона $f$ выполняет $\lambda _{i}=1$ для некоторых $i$, затем $f$ имеет корень в $K$.

Доказательство. По основной теореме $f$ должен иметь один корень $\alpha$ чья оценка $v_{L}(\alpha )=-\mu _{i}.$ В частности, $\alpha$ отделим по $K$. Если $\alpha$ не принадлежит $K$, $\alpha$ имеет отличное сопряжение Галуа $\alpha '$ над $K$, с $v_{L}(\alpha ')=v_{L}(\alpha )$, и $\alpha '$ является корнем $f$, противоречие.

В более общем смысле справедлива следующая теорема факторизации:

• Предположим, что $(K,v_{K})$ является Гензелианским . Затем $f=A\,f_{1}\,f_{2}\cdots f_{r},$, где $A\in K$, $f_{i}\in K[X]$ является моником для каждого $i$, корни $f_{i}$ имеют ценность $-\mu _{i}$, и $\deg(f_{i})=\lambda _{i}$.

Более того, $\mu _{i}=v_{K}(f_{i}(0))/\lambda _{i}$, и если $v_{K}(f_{i}(0))$ взаимнопроста с $\lambda _{i}$, $f_{i}$ является неприводимым над $K$.

Доказательство: Для каждого $i$, обозначим $f_{i}$ произведение мономов $(X-\alpha )$ такой, что $\alpha$ является корнем $f$ и $v_{L}(\alpha )=-\mu _{i}$. Мы также обозначаем $f=AP_{1}^{k_{1}}P_{2}^{k_{2}}\cdots P_{s}^{k_{s}}$ факторизация $f$ в $K[X]$ на простые множители $(A\in K).$Позволять $\alpha$ быть корнем $f_{i}$. Мы можем предположить, что $P_{1}$ является минимальным многочленом $\alpha$ над $K$. Если $\alpha '$ является корнем $P_{1}$, существует K-автоморфизм $\sigma$ из $L$ который отправляет $\alpha$ к $\alpha '$, и у нас есть $v_{L}(\sigma \alpha )=v_{L}(\alpha )$ с $K$ является гензельским. Поэтому $\alpha '$ также является корнем $f_{i}$.При этом каждый корень $P_{1}$ множественности $\nu$ явно является корнем $f_{i}$ множественности $k_{1}\nu$, поскольку повторяющиеся корни, очевидно, имеют одинаковую оценку. Это показывает, что $P_{1}^{k_{1}}$ делит $f_{i}.$Позволять $g_{i}=f_{i}/P_{1}^{k_{1}}$. Выберите корень $\beta$ из $g_{i}$. Обратите внимание, что корни $g_{i}$ отличаются от корней $P_{1}$. Повторите предыдущий аргумент с минимальным полиномом $\beta$ над $K$, предполагалось, что wlg будет $P_{2}$, чтобы показать это $P_{2}^{k_{2}}$ делит $g_{i}$. Продолжая этот процесс, пока все корни $f_{i}$ исчерпаны, человек в конце концов приходит к $f_{i}=P_{1}^{k_{1}}\cdots P_{m}^{k_{m}}$, с $m\leq s$. Это показывает, что $f_{i}\in K[X]$, $f_{i}$ моник. Но $f_{i}$ взаимнопросты, так как их корни имеют разные оценки. Следовательно, ясно $f=Af_{1}\cdot f_{2}\cdots f_{r}$, показывая основной спор.Тот факт, что $\lambda _{i}=\deg(f_{i})$ Из основной теоремы следует, как и тот факт, что $\mu _{i}=v_{K}(f_{i}(0))/\lambda _{i}$, отметив, что многоугольник Ньютона $f_{i}$ может быть объединен только один сегмент $(0,v_{K}(f_{i}(0))$ к $(\lambda _{i},0=v_{K}(1))$. Условие неприводимости $f_{i}$ следует из следствия выше. (qed)

Следующее является непосредственным следствием приведенной выше факторизации и представляет собой тест на сводимость полиномов над гензелевыми полями:

• Предположим, что $(K,v_{K})$ является Гензелианским . Если многоугольник Ньютона не сводится к одному сегменту $(\mu ,\lambda ),$ затем $f$ является приводимым к $K$.

Другие применения многоугольника Ньютона связаны с тем фактом, что многоугольник Ньютона иногда является частным случаем многогранника Ньютона и может использоваться для построения асимптотических решений полиномиальных уравнений с двумя переменными, таких как $3x^{2}y^{3}-xy^{2}+2x^{2}y^{2}-x^{3}y=0.$

На этой диаграмме показан многоугольник Ньютона для P ( x , y ) = 3 x ² и ³ − ху ² + 2 х ² и ² − х ³ y , с положительными мономами красного цвета и отрицательными мономами голубого цвета. Лица помечены ограничивающими терминами, которым они соответствуют.

Объяснение симметричной функции

В контексте оценки нам предоставляется определенная информация в виде оценок элементарных симметричных функций корней многочлена, и нам требуется информация об оценках реальных корней в алгебраическом замыкании . Это имеет аспекты как теории ветвления , так и теории сингулярностей . Возможные действительные выводы относятся к оценкам сумм степеней посредством тождеств Ньютона .

История

Многоугольники Ньютона названы в честь Исаака Ньютона , который впервые описал их и некоторые аспекты их использования в переписке от 1676 года, адресованной Генри Ольденбургу .

См. также

• F-кристалл
• Критерий Эйзенштейна
• Тело Ньютона-Окунькова.
• Многогранник Ньютона

Ссылки

• Госс, Дэвид (1996), Основные структуры арифметики функциональных полей , Результаты по математике и ее пограничным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], vol. 35, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-642-61480-4 , ISBN.  978-3-540-61087-8 , МР   1423131
• Гувеа, Фернандо : p-адические числа: Введение. Springer Verlag 1993. с. 199.

Внешние ссылки

• Апплет рисует многоугольник Ньютона