F-кристалл

В алгебраической геометрии F -кристаллы — это объекты, введенные Мазуром (1972) , которые отражают некоторую структуру групп кристаллических когомологий . Буква F обозначает Фробениуса , указывая на то, что F -кристаллы оказывают на них действие Фробениуса. F-изокристаллы – это кристаллы «с точностью до изогении».

F-кристаллы и F-изокристаллы над идеальными полями

Предположим, что k — совершенное поле с кольцом векторов Витта W , и пусть K — поле фактора W с автоморфизмом Фробениуса σ.

Над полем k F -кристалл представляет собой свободный модуль M конечного ранга над кольцом W векторов Витта поля k вместе с σ-линейным инъективным эндоморфизмом M . F M -изокристалл определяется таким же образом, за исключением того, что а является модулем для поля фактора K поля W, не W .

Классификационная теорема Дьедонне – Манена

Дьедонне-Манена Классификационная теорема была доказана Дьедонне (1955) и Маненом (1963) . Оно описывает строение F -изокристаллов над алгебраически замкнутым полем k . Категория таких F -изокристаллов абелева и полупростая, поэтому каждый F -изокристалл является прямой суммой простых F -изокристаллов. Простые F -изокристаллы — это модули E _{s / r} , где r и s — взаимно простые целые числа с r >0. E F -изокристалл s _{/ r имеет} базис над K вида v , Fv , F ²в ,..., Ф ^{р -1}v для некоторого элемента v и F ^рv = p ^св . Рациональное число s / r называется наклоном F -изокристалла.

Над неалгебраически замкнутым полем k простые F -изокристаллы труднее описать явно, но F -изокристалл все же можно записать как прямую сумму изоклинических субкристаллов, где F -кристалл называется изоклиническим, если над алгебраическим полем k замыкание k представляет собой сумму F -изокристаллов одинакового наклона.

Многоугольник Ньютона F -изокристалла.

Многоугольник Ньютона F -изокристалла кодирует размеры кусков заданного наклона. Если F -изокристалл представляет собой сумму изоклинических кусков с наклонами s ₁ < s ₂ < ... и размерами (как модули колец Витта) d ₁ , d ₂ ,... то многоугольник Ньютона имеет вершины (0,0) , ( x ₁ , y ₁ ), ( x ₂ , y ₂ ),... где n- й отрезок, соединяющий вершины, имеет наклон s _n = ( y _n - y _{n -1} )/( x _n - x _{n −1} ) и проекцию на ось x длиной d _n = x _n − x _{n −1} .

Многоугольник Ходжа F -кристалла

Многоугольник Ходжа F -кристалла M кодирует структуру M / FM, рассматриваемую как модуль над кольцом Витта. Точнее, поскольку кольцо Витта является областью главных идеалов, модуль M / FM можно записать как прямую сумму неразложимых модулей длин n ₁ ≤ n ₂ ≤ ... и тогда многоугольник Ходжа имеет вершины (0,0) , (1, n ₁ ), (2, n ₁ + n ₂ ), ...

Хотя многоугольник Ньютона F -изокристаллу , могут -кристалла зависит только от соответствующего изокристалла, два F -кристалла, соответствующие одному и тому же F иметь разные многоугольники Ходжа. Многоугольник Ходжа имеет ребра с целочисленным наклоном, а многоугольник Ньютона имеет ребра с рациональным наклоном.

Изокристаллы по более общим схемам

Предположим, что A — полное кольцо дискретного нормирования характеристики 0 с полем отношений k характеристики p > 0 и совершенное. Аффинное расширение схемы X ₀ над k без кручения состоит из A -алгебры B и идеала I из B, такого, что B полна в топологии I , а образ I нильпотентен в B / pB , вместе с Spec( B / I ) в X0 _{морфизм из} .Сходящийся изокристалл над k -схемой X ₀ состоит из модуля над B ⊗ Q для каждого аффинного расширения B , совместимого с отображениями между аффинными расширениями ( Faltings 1990 ).

F -изокристалл (сокращение от изокристалла Фробениуса) — это изокристалл вместе с изоморфизмом его обратного образа при морфизме Фробениуса.

Ссылки

Бертло, Пьер ; Огус, Артур (1983), «F-изокристаллы и когомологии де Рама. I», Mathematical Inventions , 72 (2): 159–199, doi : 10.1007/BF01389319 , ISSN 0020-9910 , MR 0700767
Крю, Ричард (1987), «F-изокристаллы и p-адические представления» , Алгебраическая геометрия, Боудуэн, 1985 (Брансуик, Мэн, 1985) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 46, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 111–138, doi : 10.1090/pspum/046.2/927977 , ISBN. 9780821814802 , МР 0927977
de Shalit, Ehud (2012), F-isocrystals (PDF)
Дьедонне, Жан (1955), «Группы Ли и гипералгебры Ли над полем характеристики p>0. IV», American Journal of Mathematics , 77 (3): 429–452, doi : 10.2307/2372633 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2372633 , МР 0071718
Фальтингс, Герд (1990), «F-изокристаллы на открытых многообразиях: результаты и предположения», The Grothendieck Festschrift, Vol. II , прогр. Матем., вып. 87, Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, стр. 219–248, MR 1106900.
Гротендик, А. (1966), Письмо Дж. Тейту (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 20 января 2013 г. , получено 26 августа 2016 г.
Manin, Ju. I. (1963), "Theory of commutative formal groups over fields of finite characteristic", Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 18 (6): 3–90, doi : 10.1070/RM1963v018n06ABEH001142 , ISSN 0042-1316 , MR 0157972
Мазур, Б. (1972), «Фробениус и фильтрация Ходжа», Bull. амер. Математика. Соц. , 78 (5): 653–667, doi : 10.1090/S0002-9904-1972-12976-8 , MR 0330169
Огус, Артур (1984), «F-изокристаллы и когомологии де Рама. II. Сходящиеся изокристаллы», Duke Mathematical Journal , 51 (4): 765–850, doi : 10.1215/S0012-7094-84-05136-6 , ISSN 0012-7094 , МР 0771383