Кристалл (математика)

В математике кристаллы — это декартовы сечения определенных расслоенных категорий . Они были представлены Александром Гротендиком ( 1966а ), который назвал их кристаллами, потому что в некотором смысле они «жесткие» и «растут». В частности, квазикогерентные кристаллы над кристаллическим узлом аналогичны квазикогерентным модулям над схемой .

Изокристалл – это кристалл с точностью до изогении. Они есть $p$ -адические аналоги $\mathbf {Q} _{l}$ -адические этальные пучки , введенные Гротендиком (1966a) и Бертло и Огусом (1983) (хотя определение изокристалла появляется только во второй части этой статьи Огуса (1984) ). Сходящиеся изокристаллы — это разновидность изокристаллов, которые лучше работают в неидеальных полях, а сверхсходящиеся изокристаллы — это еще одна вариация, связанная со сверхсходящимися теориями когомологий.

Кристалл Дьёдонне — это кристалл с картами Вершибунга и Фробениуса. F -кристалл — это структура в полулинейной алгебре, отчасти связанная с кристаллами.

Кристаллы над бесконечно малыми и кристаллическими узлами [ править ]

Бесконечно малый сайт ${\text{Inf}}(X/S)$ имеет в качестве объектов бесконечно малые расширения открытых множеств $X$ .Если $X$ схема закончилась $S$ затем сноп $O_{X/S}$ определяется $O_{X/S}(T)$ = координатное кольцо $T$ , где мы пишем $T$ как сокращение от объект $U\to T$ из ${\text{Inf}}(X/S)$ . Пучки на этом сайте растут в том смысле, что их можно расширять от открытых множеств до бесконечно малых расширений открытых множеств.

Кристалл на сайте ${\text{Inf}}(X/S)$ это сноп $F$ из $O_{X/S}$ модулей, который является жестким в следующем смысле:

для любой карты

f

между объектами

T

,

T'

; из

{\text{Inf}}(X/S)

, естественная карта из

f^{*}F(T)

к

F(T')

является изоморфизмом.

Это аналогично определению квазикогерентного пучка модулей в топологии Зарисского.

Примером кристалла является сноп $O_{X/S}$ .

Кристаллы на кристаллическом участке определяются аналогичным образом.

Кристаллы в волокнистых категориях [ править ]

В общем, если $E$ является расслоенной категорией над $F$ , то кристалл является декартовым сечением расслоенной категории. В частном случае, когда $F$ — категория бесконечно малых расширений схемы $X$ и $E$ категория квазикогерентных модулей над объектами $F$ , то кристаллы этой расслоенной категории аналогичны кристаллам бесконечно малого узла.

Ссылки [ править ]

Огус, Артур (1 декабря 1984 г.). «F-изокристаллы и когомологии де Рама II - сходящиеся изокристаллы». Математический журнал Дьюка . 51 (4). дои : 10.1215/S0012-7094-84-05136-6 .
Бертло, Пьер (1974), Кристаллические когомологии характеристических схем p>0 , Конспект лекций по математике, Vol. 407, том. 407, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0068636 , ISBN. 978-3-540-06852-5 , МР 0384804
Бертло, Пьер; Огус, Артур (1978), Заметки о кристаллических когомологиях , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08218-9 , МР 0491705
Бертло, П.; Огус, А. (июнь 1983 г.). «F-изокристаллы и когомологии де Рама. I». Математические открытия . 72 (2): 159–199. дои : 10.1007/BF01389319 .
Шамбер-Луар, Антуан (1998), «Кристаллические когомологии: un survol» , Expositiones Mathematicae , 16 (4): 333–382, ISSN 0723-0869 , MR 1654786 , заархивировано из оригинала 21 июля 2011 г.
Гротендик, Александр (1966a), «О когомологиях де Рама алгебраических многообразий» , Institut des Hautes Études Scientifiques. Mathematical Publications , 29 (29): 95–103, doi : 10.1007/BF02684807 , ISSN 0073-8301 , MR 0199194 (письмо Атье, 14 октября 1963 г.)
Гротендик, Александр (1966b), Письмо Дж. Тейту (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 21 июля 2021 г.
Гротендик, Александр (1968), «Кристаллы и когомологии схем де Рама» (PDF) , в Жиро, Жан; Гротендик, Александр; Клейман, Стивен Л.; и др. (ред.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas , Передовые исследования в области чистой математики, том. 3, Амстердам: Северная Голландия, стр. 306–358, MR 0269663 , заархивировано из оригинала (PDF) 8 февраля 2022 г.
Иллюзи, Люк (1975), «Отчет о кристаллических когомологиях», Алгебраическая геометрия , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 29, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 459–478, МР 0393034.
Иллюзи, Люк (1976), «Кристаллические когомологии (по П. Бертло)», Семинар Бурбаки (1974/1975: Презентации №№ 453–470), Exp. № 456 , Конспект лекций по математике, вып. 514, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 53–60, MR 0444668 , заархивировано из оригинала 10 февраля 2012 г. , получено 24 августа 2016 г.
Иллюзи, Люк (1994), «Кристаллические когомологии», Motives (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 55, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 43–70, МР 1265522.
Кедлая, Киран С. (2009), «p-адические когомологии», у Абрамовича, Дэна; Бертрам, А.; Кацарков Л.; Пандхарипанде, Рахул; Таддеус, М. (ред.), Алгебраическая геометрия. Сиэтл, 2005. Часть 2 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 80, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Soc., стр. 667–684, arXiv : math/0601507 , Bibcode : 2006math......1507K , ISBN 978-0-8218-4703-9 , МР 2483951