Кристаллические когомологии

В математике кристаллические когомологии — это теория когомологий Вейля для схем X над базовым полем k . Его значения H ^н( X / W ) — модули над кольцом W векторов Витта над k . Он был представлен Александром Гротендиком ( 1966 , 1968 ) и разработан Пьером Бертло ( 1974 ).

Кристаллические когомологии частично вдохновлены p -адическим доказательством Дворком (1960) части гипотез Вейля и тесно связаны с алгебраической версией когомологий де Рама , которая была введена Гротендиком (1963). Грубо говоря, кристаллические когомологии многообразия X в характеристике p — это когомологии де Рама плавного подъема X до характеристики 0, а когомологии де Рама X — это кристаллические когомологии, приведенные по модулю p (после учёта высших Tor s ).

Идея кристаллических когомологий, грубо говоря, состоит в замене открытых множеств Зариского схемы бесконечно малыми утолщениями открытых множеств Зарисского с разделенными степенными структурами . Мотивацией для этого является то, что затем его можно вычислить, осуществив локальный подъем схемы от характеристики p до характеристики 0 и используя соответствующую версию алгебраических когомологий де Рама.

Кристаллические когомологии хорошо работают только для гладких правильных схем. Жесткие когомологии расширяют его до более общих схем.

Приложения

Для схем с характеристикой p теория кристаллических когомологий может решать вопросы о p -кручении в группах когомологий лучше, чем p -адические этальные когомологии . Это делает его естественным фоном для большей части работ по p-адическим L-функциям .

Кристаллические когомологии, с точки зрения теории чисел, заполняют пробел в информации о l-адических когомологиях , который возникает именно там, где существуют «равные характеристические простые числа». Традиционно являясь прерогативой теории ветвления , кристаллические когомологии преобразуют эту ситуацию в теорию модулей Дьедонне , давая важное решение арифметических задач. Гипотезы с широкими возможностями по превращению этого в формальные утверждения были высказаны Жаном-Марком Фонтеном , решение которых называется p-адической теорией Ходжа .

Коэффициенты

Для многообразия X над алгебраически замкнутым полем характеристики p > 0 $\ell$ когомологий для -адические группы $\ell$ любое простое число, кроме p , дает удовлетворительные группы когомологий X с коэффициентами в кольце $\mathbf {Z} _{\ell }$ из $\ell$ -адические целые числа . Вообще невозможно найти подобные группы когомологий с коэффициентами из Qp _{) ,} (или Zp _, или Q , или Z обладающие разумными свойствами.

Классическая причина (принадлежащая Серру) состоит в том, что если X — суперсингулярная эллиптическая кривая , то ее кольцо эндоморфизмов является максимальным порядком в алгебре кватернионов B над Q, разветвленной в точках p и ∞. Если бы X имел группу когомологий над Q _p ожидаемой размерности 2, то (противоположная алгебра) B действовала бы в этом двумерном пространстве над Q _p , что невозможно, поскольку B разветвлена в точке p . ^[1]

Теория кристаллических когомологий Гротендика обходит это препятствие, поскольку она создает модули над кольцом векторов Витта основного поля . Таким образом, если основное поле является алгебраическим замыканием F корни _p , его значениями являются модули над p -адическим пополнением максимального неразветвленного расширения Z p _, гораздо большего кольца, содержащего n- й степени из единицы для всех n, не делящихся на p , а не над Z _p .

Мотивация

Одна из идей определения теории когомологий Вейля многообразия X над полем k характеристики p состоит в том, чтобы «поднять» ее до многообразия X * над кольцом векторов Витта поля k (которое возвращает X при редукции по модулю p ), тогда возьмем когомологии де Рама этого лифта. Проблема в том, что совсем не очевидно, что эти когомологии не зависят от выбора подъема.

Идея кристаллических когомологий в характеристике 0 состоит в том, чтобы найти прямое определение теории когомологий как когомологий постоянных пучков на подходящем узле.

Инф( Х )

над X , называемый бесконечно малым узлом , а затем покажите, что это то же самое, что и когомологии де Рама любого лифта.

Сайт Inf( X объекты которой можно рассматривать как своего рода обобщение обычных открытых множеств X. ) — это категория , В характеристике 0 его объектами являются бесконечно малые утолщения U → T Зарисскому открытых по подмножествов U в X . Это означает, что U — замкнутая подсхема схемы T, определяемая нильпотентным пучком идеалов на T ; например, Spec( k )→ Spec( k [ x ]/( x ²)).

Гротендик показал, что для гладких схем X над C когомологии пучка O _X на Inf( X ) совпадают с обычными (гладкими или алгебраическими) когомологиями де Рама.

Кристаллические когомологии

В характеристике р не работает наиболее очевидный аналог кристаллического узла, определенного выше в характеристике 0. Причина примерно в том, что для доказательства точности комплекса де Рама нужна своего рода лемма Пуанкаре , доказательство которой, в свою очередь, использует интегрирование, а интегрирование требует различных разделенных степеней, которые существуют в характеристике 0, но не всегда в характеристике p . Гротендик решил эту проблему, определив объекты кристаллического участка X как примерно бесконечно малые утолщения открытых подмножеств Зарисского X вместе с структурой разделенной мощности , дающей необходимые разделенные мощности.

Будем работать над кольцом W _n = W / p ^нW векторов Витта длины n над совершенным полем k характеристики p >0. Например, k может быть конечным полем порядка p , а Wn _— тогда кольцом Z / p ^нЗ. (В более общем плане можно работать над базовой схемой S , которая имеет фиксированный пучок идеалов I с разделенной степенной структурой.) Если X — схема над k , то кристаллический участок X относительно W _n обозначается Cris( X / W _n ), имеет в качестве объектов пары U → T, состоящее из замкнутого погружения открытого по Зарискому подмножества U в X в некоторую W _n -схему T определяется пучком идеалов J вместе с разделенной структурой власти на J, совместимой со структурой на W _n .

Кристаллические когомологии схемы X над k определяются как обратный предел

H^{i}(X/W)=\varprojlim H^{i}(X/W_{n})

где

H^{i}(X/W_{n})=H^{i}(\operatorname {Cris} (X/W_{n}),O)

— когомологии кристаллического узла X / W _n со значениями в пучке колец O := O _{W _n} .

Ключевым моментом теории является то, что кристаллические когомологии гладкой схемы над k часто можно вычислить в терминах алгебраических когомологий де Рама правильного и гладкого подъема X до схемы Z над W. X Существует канонический изоморфизм

H^{i}(X/W)=H_{DR}^{i}(Z/W)\quad (=H^{i}(Z,\Omega _{Z/W}^{*})=\varprojlim H^{i}(Z,\Omega _{Z/W_{n}}^{*}))

кристаллических когомологий X когомологиями де Рама Z по формальной схеме W с (обратный предел гиперкогомологий комплексов дифференциальных форм).И наоборот, когомологии де Рама X могут быть восстановлены как сокращение по модулю p его кристаллических когомологий (после учета более высоких Tor s).

Кристаллы

Если X — схема над S , то пучок O _{X / S} определяется формулой O _{X / S} ( T ) = координатное кольцо T , где мы пишем T как сокращение от объект U → T из Cris( X / S ).

Кристалл , на узле Cris( / S ) представляет собой пучок F модулей O _{X / S} жесткий X в следующем смысле:

для любого отображения f между объектами T , T ′ из Cris( X / S ) естественное отображение из f ^*F ( T ) к F ( T ′) является изоморфизмом.

Это аналогично определению квазикогерентного пучка модулей в топологии Зарисского.

Примером кристалла является пучок O _{X / S} .

Термин «кристалл», связанный с теорией, объясненный в письме Гротендика Тейту (1966), был метафорой, вдохновленной определенными свойствами алгебраических дифференциальных уравнений . Они сыграли роль в теориях p -адических когомологий (предшественниках кристаллической теории, представленной в различных формах Дворком , Монским , Вашнитцером, Лубкиным и Кацем ), особенно в работах Дворка. Такие дифференциальные уравнения можно достаточно легко сформулировать с помощью алгебраических связностей Кошуля , но в p -адической теории аналог аналитического продолжения более загадочный (поскольку p -адические диски имеют тенденцию быть не пересекающимися, а не перекрывающимися). По указу кристалл должен был обладать «жесткостью» и «распространением», заметными в случае аналитического продолжения сложных аналитических функций. (Ср. также жесткие аналитические пространства , введенные Джоном Тейтом в 1960-х годах, когда эти вопросы активно обсуждались.)

См. также

Ссылки

^ Весьма тонкий момент заключается в том, что если X — суперсингулярная эллиптическая кривая над полем F _p из p элементов, то ее кристаллические когомологии — это свободный модуль ранга 2 над Z _p . Приведенное рассуждение в данном случае неприменимо, поскольку некоторые эндоморфизмы такой кривой X определены только над F _{p ²}.

Бертло, Пьер (1974), Кристаллические когомологии характеристических схем p>0 , Конспект лекций по математике, Vol. 407, том. 407, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/BFb0068636 , ISBN. 978-3-540-06852-5 , МР 0384804
Бертло, Пьер; Огус, Артур (1978), Заметки о кристаллических когомологиях , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08218-9 , МР 0491705
Шамбер-Луар, Антуан (1998), «Кристаллические когомологии: un survol» , Expositiones Mathematicae , 16 (4): 333–382, ISSN 0723-0869 , MR 1654786 , заархивировано из оригинала 21 июля 2011 г.
Дворк, Бернард (1960), «О рациональности дзета-функции алгебраического многообразия», American Journal of Mathematics , 82 (3), The Johns Hopkins University Press: 631–648, doi : 10.2307/2372974 , ISSN 0002- 9327 , JSTOR 2372974 , MR 0140494
Гротендик, Александр (1966), «О когомологиях де Рама алгебраических многообразий» , Institut des Hautes Études Scientifiques. Mathematical Publications , 29 (29): 95–103, doi : 10.1007/BF02684807 , ISSN 0073-8301 , MR 0199194 (письмо Атие, 14 октября 1963 г.)
Гротендик, Александр (1966), Письмо Дж. Тейту (PDF) , заархивировано из оригинала (PDF) 21 июля 2021 г.
Гротендик, Александр (1968), «Кристаллы и когомологии схем де Рама» (PDF) , в Жиро, Жан; Гротендик, Александр; Клейман, Стивен Л.; и др. (ред.), Dix Exposés sur la Cohomologie des Schémas , Передовые исследования в области чистой математики, том. 3, Амстердам: Северная Голландия, стр. 306–358, MR 0269663 , заархивировано из оригинала (PDF) 8 февраля 2022 г.
Иллюзи, Люк (1975), «Отчет о кристаллических когомологиях», Алгебраическая геометрия , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 29, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 459–478, МР 0393034.
Иллюзи, Люк (1976), «Кристаллические когомологии (по П. Бертло)», Семинар Бурбаки (1974/1975: Презентации №№ 453–470), Exp. № 456 , Конспект лекций по математике, вып. 514, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 53–60, MR 0444668 , заархивировано из оригинала 10 февраля 2012 г. , получено 20 сентября 2007 г.
Иллюзи, Люк (1994), «Кристаллические когомологии», Motives (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 55, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Соц., стр. 43–70, МР 1265522.
Кедлая, Киран С. (2009), «p-адические когомологии», у Абрамовича, Дэна; Бертрам, А.; Кацарков Л.; Пандхарипанде, Рахул; Таддеус, М. (ред.), Алгебраическая геометрия. Сиэтл, 2005. Часть 2 , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 80, Провиденс, Род-Айленд: Амер. Математика. Soc., стр. 667–684, arXiv : math/0601507 , Bibcode : 2006math......1507K , ISBN 978-0-8218-4703-9 , МР 2483951

[1] Весьма тонкий момент заключается в том, что если X — суперсингулярная эллиптическая кривая над полем F _p из p элементов, то ее кристаллические когомологии — это свободный модуль ранга 2 над Z _p . Приведенное рассуждение в данном случае неприменимо, поскольку некоторые эндоморфизмы такой кривой X определены только над F _{p ²}.

[1]