Вектор Витта

В математике вектор Витта — это бесконечная последовательность элементов коммутативного кольца . Эрнст Витт показал, как создать кольцевую структуру на множестве векторов Витта так, чтобы кольцо векторов Витта $W(\mathbb {F} _{p})$ над конечным полем порядка $p$ изоморфен $\mathbb {Z} _{p}$, кольцо $p$-адические целые числа . Они имеют крайне неинтуитивную структуру. на первый взгляд, потому что их аддитивная и мультипликативная структура зависит от бесконечного набора рекурсивных формул, которые не ведут себя как формулы сложения и умножения для стандартных p-адических целых чисел.

Основная идея за векторами Витта вместо использования стандартного $p$-адическое расширение

$a=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+\cdots$

представлять элемент в $\mathbb {Z} _{p}$вместо этого мы можем рассмотреть расширение с использованием символа Тейхмюллера

$\omega :\mathbb {F} _{p}^{*}\to \mathbb {Z} _{p}^{*}$

который отправляет каждый элемент в наборе решений $x^{p-1}-1$ в $\mathbb {F} _{p}$ элементу множества решений $x^{p-1}-1$ в $\mathbb {Z} _{p}$. То есть мы разворачиваем элементы в $\mathbb {Z} _{p}$ в терминах корней из единства, а не как бесконечных элементов в $\prod \mathbb {F} _{p}$. Затем мы можем выразить $p$-адическое целое число как бесконечная сумма

$\omega (a)=\omega (a_{0})+\omega (a_{1})p+\omega (a_{2})p^{2}+\cdots$

что дает вектор Витта

$(\omega (a_{0}),\omega (a_{1}),\omega (a_{2}),\ldots )$

Затем нетривиальная аддитивная и мультипликативная структура векторов Витта возникает в результате использования этого отображения для получения $W(\mathbb {F} _{p})$ аддитивную и мультипликативную структуру такую, что $\omega$ индуцирует коммутативный кольцевой морфизм.

История

В 19 веке Эрнст Эдуард Куммер изучал циклические расширения полей в рамках своей работы над Великой теоремой Ферма . Это привело к появлению темы, ныне известной как теория Куммера . Позволять $k$ быть полем, содержащим примитив $n$-й корень из единицы. Теория Куммера классифицирует степени $n$ циклические расширения полей $K$ из $k$. Такие поля находятся в биекции с порядком $n$ циклические группы $\Delta \subseteq k^{\times }/(k^{\times })^{n}$, где $\Delta$ соответствует $K=k({\sqrt[{n}]{\Delta }})$.

Но предположим, что $k$ имеет характеристику $p$. Проблема получения диплома $p$ расширения $k$или, в более общем плане, степень $p^{n}$ расширения могут показаться внешне похожими на теорию Куммера. Однако в этой ситуации $k$ не может содержать примитив $p$-й корень из единицы. Действительно, если $x$ это $p$-й корень из единицы в $k$, то оно удовлетворяет $x^{p}=1$. Но рассмотрим выражение $(x-1)^{p}=0$. Разлагая с помощью биномиальных коэффициентов, мы видим, что операция возведения в $p$-я степень, известная здесь как гомоморфизм Фробениуса , вводит множитель $p$ каждому коэффициенту, кроме первого и последнего, и так по модулю $p$ эти уравнения одинаковы. Поэтому $x=1$. Следовательно, теория Куммера никогда не применима к расширениям, степень которых делится на характеристику.

Случай, когда характеристика делит степень, сегодня называется теорией Артина – Шрайера, поскольку первый прогресс был достигнут Артином и Шрайером. Их первоначальной мотивацией была теорема Артина-Шрайера , которая характеризует реальные замкнутые поля как те, чья абсолютная группа Галуа имеет второй порядок. Это вдохновило их задаться вопросом, какие еще поля имеют конечные абсолютные группы Галуа. Доказывая, что других подобных полей не существует, они доказали, что степень $p$ расширения поля $k$ характеристики $p$ были такими же, как поля расщепления полиномов Артина – Шрайера . Это по определению формы $x^{p}-x-a.$ Повторяя свою конструкцию, они описали степень $p^{2}$ расширения. Авраам Адриан Альберт использовал эту идею для описания степени $p^{n}$ расширения. Каждое повторение влекло за собой сложные алгебраические условия, гарантирующие нормальность расширения поля.

Шмид обобщено далее на некоммутативные циклические алгебры степени $p^{n}$. При этом некоторые полиномы, связанные с добавлением $p$ -адические целые числа появились . Витт ухватился за эти многочлены. Систематически используя их, он смог дать простые и унифицированные конструкции степени. $p^{n}$ расширения полей и циклические алгебры. В частности, он представил кольцо, которое теперь называется $W_{n}(k)$, кольцо $n$-усеченный $p$-типичные векторы Витта . Это кольцо имеет $k$ как частное, и оно поставляется с оператором $F$ который называется оператором Фробениуса, поскольку он сводится к оператору Фробениуса на $k$. Витт отмечает, что степень $p^{n}$ аналог полиномов Артина – Шрайера:

$F(x)-x-a,$

где $a\in W_{n}(k)$. Чтобы завершить аналогию с теорией Куммера, определим $\wp$ быть оператором $x\mapsto F(x)-x.$ Тогда степень $p^{n}$ расширения $k$ находятся в биективном соответствии с циклическими подгруппами $\Delta \subseteq W_{n}(k)/\wp (W_{n}(k))$ порядка $p^{n}$, где $\Delta$ соответствует полю $k(\wp ^{-1}(\Delta ))$.

Мотивация

Любой $p$-адическое целое число (элемент $\mathbb {Z} _{p}$, не путать с $\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} =\mathbb {F} _{p}$) можно записать в виде степенного ряда $a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+\cdots$, где $a_{i}$ обычно берутся из целочисленного интервала $[0,p-1]=\{0,1,2,\ldots ,p-1\}$. Используя это представление, трудно предоставить алгебраическое выражение для сложения и умножения, поскольку приходится сталкиваться с проблемой переноса между цифрами. Однако, взяв репрезентативные коэффициенты $a_{i}\in [0,p-1]$ является лишь одним из многих вариантов, и сам Хензель (создатель $p$-адические числа) предполагали корни единства в поле как представители. Таким образом, эти представители составляют число $0$ вместе с $(p-1)^{\text{th}}$ корни единства ; то есть решения $x^{p}-x=0$ в $\mathbb {Z} _{p}$, так что $a_{i}=a_{i}^{p}$. Этот выбор естественным образом распространяется на кольцевые расширения $\mathbb {Z} _{p}$ в котором поле вычетов увеличено до $\mathbb {F} _{q}$ с $q=p^{f}$, некоторая мощность $p$. Действительно, именно эти поля (поля частных колец) мотивировали выбор Гензеля. Теперь представителями являются $q$ решения в области $x^{q}-x=0$. Позвонить на место $\mathbb {Z} _{p}(\eta )$, с $\eta$ подходящий примитив $(q-1)^{\text{th}}$ корень единства (над $\mathbb {Z} _{p}$). Затем представители $0$ и $\eta ^{i}$ для $0\leq i\leq q-2$. Поскольку эти представители образуют мультипликативное множество, их можно рассматривать как символы. Примерно через тридцать лет после работ Гензеля Тейхмюллер изучал эти характеры, носящие теперь его имя, и это привело его к характеристике структуры всего поля в терминах поля вычетов. Этих представителей Тейхмюллера можно отождествить с элементами конечного поля. $\mathbb {F} _{q}$ порядка $q$ взяв остатки по модулю $p$ в $\mathbb {Z} _{p}(\eta )$и элементы $\mathbb {F} _{q}^{\times }$ передаются своим представителям персонажем Тейхмюллера $\omega :\mathbb {F} _{q}^{\times }\to \mathbb {Z} _{p}(\eta )^{\times }$. Эта операция идентифицирует набор целых чисел в $\mathbb {Z} _{p}(\eta )$ с бесконечными последовательностями элементов $\omega (\mathbb {F} _{q}^{\times })\cup \{0\}$.

Взяв эти представители, выражения для сложения и умножения можно записать в замкнутом виде. Теперь у нас есть следующая проблема (поставленная для простейшего случая: $q=p$): даны две бесконечные последовательности элементов $\omega (\mathbb {F} _{p}^{\times })\cup \{0\},$ опишите их сумму и произведение как $p$-адические целые числа явно. Эту задачу Витт решил с помощью векторов Витта.

Подробный мотивационный эскиз

Выводим кольцо $p$-адические целые числа $\mathbb {Z} _{p}$ из конечного поля $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ используя конструкцию, которая естественным образом обобщается до конструкции вектора Витта.

Кольцо $\mathbb {Z} _{p}$ из $p$-адические целые числа можно понимать как обратный предел колец $\mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z}$ принятые по очевидным прогнозам. В частности, он состоит из последовательностей $(n_{0},n_{1},\ldots )$ с $n_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i+1}\mathbb {Z} ,$ такой, что $n_{j}\equiv n_{i}{\bmod {p}}^{i+1}$ для $j\geq i.$ То есть каждый последующий элемент последовательности равен предыдущим элементам по модулю меньшей степени p ; это предел проекций обратный $\mathbb {Z} /p^{i+1}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} .$

Элементы $\mathbb {Z} _{p}$ можно разложить как (формальный) степенной ряд в $p$

$a_{0}+a_{1}p^{1}+a_{2}p^{2}+\cdots ,$

где коэффициенты $a_{i}$ берутся из целочисленного интервала $[0,p-1]=\{0,1,\ldots ,p-1\}.$ Конечно, этот степенной ряд обычно не сходится в $\mathbb {R}$ используя стандартную метрику для действительных чисел, но она сойдётся в $\mathbb {Z} _{p},$ с $p$-адическая метрика . Наметим метод определения кольцевых операций для таких степенных рядов.

Сдача в аренду $a+b$ обозначаться $c$, можно рассмотреть следующее определение сложения:

${\begin{aligned}c_{0}&\equiv a_{0}+b_{0}&&{\bmod {p}}\\c_{0}+c_{1}p&\equiv (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})p&&{\bmod {p}}^{2}\\c_{0}+c_{1}p+c_{2}p^{2}&\equiv (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})p+(a_{2}+b_{2})p^{2}&&{\bmod {p}}^{3}\end{aligned}}$

и аналогичное определение можно дать для умножения. Однако это не закрытая формула, поскольку новые коэффициенты не входят в разрешенный набор. $[0,p-1].$

Представление элементов из F _p как элементов кольца векторов Витта W(F _p )

Существует лучшее подмножество коэффициентов $\mathbb {Z} _{p}$ что дает замкнутые формулы, представители Тейхмюллера : ноль вместе с $(p-1)^{\text{th}}$ корни единства. Их можно вычислить в явном виде (через исходные представители коэффициентов $[0,p-1]$) как корни $x^{p-1}-1=0$ благодаря лифтингу Hensel , $p$-адическая версия метода Ньютона . Например, в $\mathbb {Z} _{5},$ рассчитать представителя $2,$ начинается с поиска единственного решения $x^{4}-1=0$ в $\mathbb {Z} /25\mathbb {Z}$ с $x\equiv 2{\bmod {5}}$; каждый получает $7.$ Повторяя это в $\mathbb {Z} /125\mathbb {Z} ,$ с условиями $x^{4}-1=0$ и $x\equiv 7{\bmod {2}}5$, дает $57,$ и так далее; получившийся представитель Тейхмюллера $2$, обозначенный $\omega (2)$, представляет собой последовательность

$\omega (2)=(2,7,57,\ldots )\in W(\mathbb {F} _{5}).$

Существование лифта на каждом шаге гарантируется наибольшим общим делителем $(x^{p-1}-1,(p-1)x^{p-2})=1$ в каждом $\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .$

Этот алгоритм показывает, что для каждого $j\in [0,p-1]$, существует ровно один представитель Тейхмюллера с $a_{0}=j$, который мы обозначим $\omega (j).$ Действительно, это определяет характер Тейхмюллера. $\omega :\mathbb {F} _{p}^{*}\to \mathbb {Z} _{p}^{*}$ как (мультипликативный) групповой гомоморфизм, который, кроме того, удовлетворяет условию $m\circ \omega =\mathrm {id} _{\mathbb {F} _{p}}$ если мы позволим $m:\mathbb {Z} _{p}\to \mathbb {Z} _{p}/p\mathbb {Z} _{p}\cong \mathbb {F} _{p}$ обозначим каноническую проекцию. Однако обратите внимание, что $\omega$ является не аддитивным, поскольку сумма не обязательно должна быть репрезентативной. Несмотря на это, если $\omega (k)\equiv \omega (i)+\omega (j){\bmod {p}}$ в $\mathbb {Z} _{p},$ затем $i+j=k$ в $\mathbb {F} _{p}.$

Представление элементов из Z _p как элементов кольца векторов Витта W(F _p )

Из-за этого взаимно однозначного соответствия, данного $\omega$, можно расширить каждый $p$-адическое целое число как степенной ряд в $p$ с коэффициентами, взятыми у представителей Тейхмюллера. Явный алгоритм можно представить следующим образом. Напишите представителя Тайхмюллера как $\omega (t_{0})=t_{0}+t_{1}p^{1}+t_{2}p^{2}+\cdots .$ Тогда, если имеется какое-то произвольное $p$-адическое целое число вида $x=x_{0}+x_{1}p^{1}+x_{2}p^{2}+\cdots ,$ человек берет на себя разницу $x-\omega (x_{0})=x'_{1}p^{1}+x'_{2}p^{2}+\cdots ,$ оставив значение, кратное $p$. Следовательно, $x-\omega (x_{0})=0{\bmod {p}}$. Затем процесс повторяется, вычитая $\omega (x'_{1})p$ и действуйте аналогично. Это дает последовательность сравнений

${\begin{aligned}x&\equiv \omega (x_{0})&&{\bmod {p}}\\x&\equiv \omega (x_{0})+\omega (x'_{1})p&&{\bmod {p}}^{2}\\&\cdots \end{aligned}}$

Так что

$x\equiv \sum _{j=0}^{i}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}{\bmod {p}}^{i+1}$

и $i'>i$ подразумевает:

$\sum _{j=0}^{i'}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}\equiv \sum _{j=0}^{i}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}{\bmod {p}}^{i+1}$

для

${\bar {x}}_{i}:=m\left({\frac {x-\sum _{j=0}^{i-1}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}}{p^{i}}}\right).$

Следовательно, у нас есть степенной ряд для каждого остатка x по модулю степени p , но с коэффициентами в представителях Тейхмюллера, а не в представителях Тейхмюллера. $\{0,\ldots ,p-1\}$. Ясно, что

$\sum _{j=0}^{\infty }\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}=x,$

с

$p^{i+1}\mid x-\sum _{j=0}^{i}\omega ({\bar {x}}_{j})p^{j}$

для всех $i$ как $i\to \infty ,$ поэтому разница стремится к 0 по отношению к $p$-адическая метрика. Полученные коэффициенты обычно будут отличаться от $a_{i}$ модуль $p^{i}$ кроме первого.

Дополнительные свойства элементов кольца векторов Витта, мотивирующие общее определение

Коэффициенты Тейхмюллера обладают ключевым дополнительным свойством, которое $\omega ({\bar {x}}_{i})^{p}=\omega ({\bar {x}}_{i}),$ которого не хватает для чисел в $[0,p-1]$. Это можно использовать для описания сложения следующим образом. Рассмотрим уравнение ${\textstyle c=a+b}$ в ${\textstyle \mathbb {Z} _{p}}$ и пусть коэффициенты ${\textstyle a_{i},b_{i},c_{i}\in \mathbb {Z} _{p}}$ теперь будет как в расширении Тейхмюллера. Поскольку характер Тейхмюллера не аддитивен, $c_{0}=a_{0}+b_{0}$ не верно в $\mathbb {Z} _{p}$. Но оно держится $\mathbb {F} _{p},$ как следует из первого сравнения. В частности,

$c_{0}^{p}\equiv (a_{0}+b_{0})^{p}{\bmod {p}}^{2},$

и таким образом

$c_{0}-a_{0}-b_{0}\equiv (a_{0}+b_{0})^{p}-a_{0}-b_{0}\equiv {\binom {p}{1}}a_{0}^{p-1}b_{0}+\cdots +{\binom {p}{p-1}}a_{0}b_{0}^{p-1}{\bmod {p}}^{2}.$

Поскольку биномиальный коэффициент ${\binom {p}{i}}$ делится на $p$, это дает

$c_{1}\equiv a_{1}+b_{1}-a_{0}^{p-1}b_{0}-{\frac {p-1}{2}}a_{0}^{p-2}b_{0}^{2}-\cdots -a_{0}b_{0}^{p-1}{\bmod {p}}.$

Это полностью определяет $c_{1}$ у лифта. Более того, сравнение по модулю $p$ указывает на то, что расчет действительно может быть выполнен в $\mathbb {F} _{p},$ удовлетворение основной цели определения простой аддитивной структуры.

Для $c_{2}$ этот шаг уже очень громоздкий. Писать

$c_{1}=c_{1}^{p}\equiv \left(a_{1}+b_{1}-a_{0}^{p-1}b_{0}-{\frac {p-1}{2}}a_{0}^{p-2}b_{0}^{2}-\cdots -a_{0}b_{0}^{p-1}\right)^{p}{\bmod {p}}^{2}.$

Так же, как для $c_{0},$ одиночный $p$силы недостаточно: надо взять

$c_{0}=c_{0}^{p^{2}}\equiv (a_{0}+b_{0})^{p^{2}}{\bmod {p}}^{3}.$

Однако, ${\binom {p^{2}}{i}}$ вообще говоря, не делится на $p^{2},$ но оно делится, когда $i=pd,$ в этом случае $a^{i}b^{p^{2}-i}=a^{d}b^{p-d}$ в сочетании с аналогичными мономами в $c_{1}^{p}$ сделает кратное $p^{2}$.

На этом этапе становится ясно, что на самом деле мы работаем над добавлением формы

${\begin{aligned}c_{0}&\equiv a_{0}+b_{0}&&{\bmod {p}}\\c_{0}^{p}+c_{1}p&\equiv a_{0}^{p}+a_{1}p+b_{0}^{p}+b_{1}p&&{\bmod {p}}^{2}\\c_{0}^{p^{2}}+c_{1}^{p}p+c_{2}p^{2}&\equiv a_{0}^{p^{2}}+a_{1}^{p}p+a_{2}p^{2}+b_{0}^{p^{2}}+b_{1}^{p}p+b_{2}p^{2}&&{\bmod {p}}^{3}\end{aligned}}$

Это мотивирует определение векторов Витта.

Построение колец Витта

Зафиксируйте простое число p . Вектор Витта над коммутативным кольцом $R$ (относительно простого $p$) представляет собой последовательность $(X_{0},X_{1},X_{2},\ldots )$ элементов $R$. Определите полиномы Витта $W_{i}$ к

1. $W_{0}=X_{0}$
2. $W_{1}=X_{0}^{p}+pX_{1}$
3. $W_{2}=X_{0}^{p^{2}}+pX_{1}^{p}+p^{2}X_{2}$

и вообще

$W_{n}=\sum _{i=0}^{n}p^{i}X_{i}^{p^{n-i}}.$

The $W_{n}$ называются призрачными компонентами вектора Витта $(X_{0},X_{1},X_{2},\ldots )$, и обычно обозначаются $X^{(n)}$; вместе взятые, $W_{n}$ определить карту призраков, чтобы ${\textstyle \prod _{i=0}^{\infty }R}$. Если ${\textstyle R}$ не имеет p-кручения, то отображение призраков инъективно, и компоненты призраков можно рассматривать как альтернативную систему координат для $R$-модуль последовательностей (хотя обратите внимание, что карта-призрак не является сюръективной, если только ${\textstyle R}$ p-делим).

Кольцо (p-типичных) векторов Витта $W(R)$ определяется покомпонентным сложением и умножением фантомных компонентов. То есть существует единственный способ сделать набор векторов Витта над любым коммутативным кольцом $R$ в кольцо так, что:

1. сумма и произведение задаются многочленами с целыми коэффициентами, не зависящими от $R$, и
2. проекция на каждую призрачную компоненту является кольцевым гомоморфизмом векторов Витта над $R$, к $R$.

Другими словами,

• $(X+Y)_{i}$ и $(XY)_{i}$ задаются полиномами с целыми коэффициентами, не зависящими от R , и

• $X^{(i)}+Y^{(i)}=(X+Y)^{(i)}$ и $X^{(i)}Y^{(i)}=(XY)^{(i)}.$

Первые несколько полиномов, дающих сумму и произведение векторов Витта, можно записать явно. Например,

$(X_{0},X_{1},\ldots )+(Y_{0},Y_{1},\ldots )=(X_{0}+Y_{0},X_{1}+Y_{1}-((X_{0}+Y_{0})^{p}-X_{0}^{p}-Y_{0}^{p})/p,\ldots )$

$(X_{0},X_{1},\ldots )\times (Y_{0},Y_{1},\ldots )=(X_{0}Y_{0},X_{0}^{p}Y_{1}+X_{1}Y_{0}^{p}+pX_{1}Y_{1},\ldots )$

Их следует понимать как сокращения для реальных формул. Если, например, кольцо $R$ имеет характеристику $p$, деление на $p$ в первой формуле выше, той, что $p^{2}$ которые появятся в следующем компоненте и т. д., не имеют смысла. Однако, если $p$-степень суммы вычислена, слагаемые $X_{0}^{p}+Y_{0}^{p}$ отменяются вместе с предыдущими, а остальные упрощаются на $p$, без деления на $p$ остается, и формула имеет смысл. То же самое относится и к последующим компонентам.

Примеры сложения и умножения

Как и следовало ожидать, единица в кольце векторов Витта $W(A)$ это элемент

${\underline {1}}=(1,0,0,\ldots )$

Добавление этого элемента к самому себе дает нетривиальную последовательность, например в $W(\mathbb {F} _{5})$,

${\underline {1}}+{\underline {1}}=(2,4,\ldots )$

с

${\begin{aligned}2&=1+1\\4&=-{\frac {32-1-1}{5}}\mod 5\\&\cdots \end{aligned}}$

что не является ожидаемым поведением, поскольку оно не равно ${\underline {2}}$. Но когда мы уменьшаем с помощью карты $m:W(\mathbb {F} _{5})\to \mathbb {F} _{5}$, мы получаем $m(\omega (1)+\omega (1))=m(\omega (2))$.Обратите внимание, есть ли у нас элемент $x\in A$ и элемент $a\in W(A)$ затем

${\underline {x}}a=(xa_{0},x^{p}a_{1},\ldots ,x^{p^{n}}a_{n},\ldots )$

демонстрация умножения также ведет себя весьма нетривиально.

Примеры

• Кольцо Витта любого коммутативного кольца $R$ в котором $p$ обратима, просто изоморфна $R^{\mathbb {N} }$ (произведение счетного числа копий $R$). Фактически полиномы Витта всегда дают гомоморфизм кольца векторов Витта в $R^{\mathbb {N} }$, и если $p$ обратим, этот гомоморфизм является изоморфизмом.

• Кольцо Витта $W(\mathbb {F} _{p})\cong \mathbb {Z} _{p}$ конечного поля порядка $p$ это кольцо $p$-адические целые числа, записанные через представителей Тейхмюллера, как показано выше.

• Кольцо Витта $W(\mathbb {F} _{q})\cong {\mathcal {O}}_{K}$ конечного поля порядка $p^{n}$ — кольцо целых чисел единственного неразветвленного расширения степени $n$ кольца $p$-адические числа $K/\mathbb {Q} _{p}$. Примечание $K\cong \mathbb {Q} _{p}(\mu _{q-1})$ для $\mu _{q-1}$ тот $(q-1)$-й корень из единицы, следовательно $W(\mathbb {F} _{q})\cong \mathbb {Z} _{p}[\mu _{q-1}]$.

Универсальные векторы Витта

Полиномы Витта для разных простых чисел $p$ являются частными случаями универсальных полиномов Витта, из которых можно сформировать универсальное кольцо Витта (независимо от выбора простых чисел). $p$). Определим универсальные полиномы Витта. $W_{n}$ для $n\geq 1$ к

1. $W_{1}=X_{1}$
2. $W_{2}=X_{1}^{2}+2X_{2}$
3. $W_{3}=X_{1}^{3}+3X_{3}$
4. $W_{4}=X_{1}^{4}+2X_{2}^{2}+4X_{4}$

и вообще

$W_{n}=\sum _{d|n}dX_{d}^{n/d}.$

Снова, $(W_{1},W_{2},W_{3},\ldots )$ называется вектором призрачных компонент вектора Витта $(X_{1},X_{2},X_{3},\ldots )$, и обычно обозначается $(X^{(1)},X^{(2)},X^{(3)},\ldots )$.

Мы можем использовать эти полиномы для определения кольца универсальных векторов Витта или большого кольца Витта любого коммутативного кольца. $R$ во многом так же, как указано выше (поэтому все универсальные полиномы Витта являются гомоморфизмами кольца $R$).

Генерирующие функции

Витт также предложил другой подход с использованием производящих функций.

Определение

Позволять $X$ быть вектором Витта и определить

$f_{X}(t)=\prod _{n\geq 1}(1-X_{n}t^{n})=\sum _{n\geq 0}A_{n}t^{n}$

Для $n\geq 1$ позволять ${\mathcal {I}}_{n}$ обозначают совокупность подмножеств $\{1,2,\ldots ,n\}$ чьи элементы в сумме составляют $n$. Затем

$A_{n}=\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n}}(-1)^{|I|}\prod _{i\in I}{X_{i}}.$

Мы можем получить призрачные компоненты, взяв логарифмическую производную :

${\begin{aligned}-t{\frac {d}{dt}}\log f_{X}(t)&=-t{\frac {d}{dt}}\sum _{n\geq 1}\log(1-X_{n}t^{n})\\&=t{\frac {d}{dt}}\sum _{n\geq 1}\sum _{d\geq 1}{\frac {X_{n}^{d}t^{nd}}{d}}\\&=\sum _{n\geq 1}\sum _{d\geq 1}nX_{n}^{d}t^{nd}\\&=\sum _{m\geq 1}\sum _{d|m}dX_{d}^{m/d}t^{m}\\&=\sum _{m\geq 1}X^{(m)}t^{m}\end{aligned}}$

Сумма

Теперь мы можем видеть $f_{Z}(t)=f_{X}(t)f_{Y}(t)$ если $Z=X+Y$. Так что

$C_{n}=\sum _{0\leq i\leq n}A_{n}B_{n-i},$

если $A_{n},B_{n},C_{n}$ соответствующие коэффициенты в степенном ряду $f_{X}(t),f_{Y}(t),f_{Z}(t)$. Затем

$Z_{n}=\sum _{0\leq i\leq n}A_{n}B_{n-i}-\sum _{I\in {\mathcal {I}}_{n},I\neq \{n\}}(-1)^{|I|}\prod _{i\in I}{Z_{i}}.$

С $A_{n}$ является полиномом по $X_{1},\ldots ,X_{n}$ и аналогично для $B_{n}$, мы можем показать по индукции, что $Z_{n}$ является полиномом по $X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}.$

Продукт

Если мы установим $W=XY$ затем

$-t{\frac {d}{dt}}\log f_{W}(t)=-\sum _{m\geq 1}X^{(m)}Y^{(m)}t^{m}.$

Но

$\sum _{m\geq 1}X^{(m)}Y^{(m)}t^{m}=\sum _{m\geq 1}\sum _{d|m}dX_{d}^{m/d}\sum _{e|m}eY_{e}^{m/e}t^{m}$.

Теперь 3-кортежи ${m,d,e}$ с $m\in \mathbb {Z} ^{+},d|m,e|m$ находятся в биекции с тройками ${d,e,n}$ с $d,e,n\in \mathbb {Z} ^{+}$, с помощью $n=m/[d,e]$ ( $[d,e]$ является наименьшим общим кратным ), наш ряд становится

$\sum _{d,e\geq 1}de\sum _{n\geq 1}\left(X_{d}^{\frac {[d,e]}{d}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}t^{[d,e]}\right)^{n}=-t{\frac {d}{dt}}\log \prod _{d,e\geq 1}\left(1-X_{d}^{\frac {[d,e]}{d}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}t^{[d,e]}\right)^{\frac {de}{[d,e]}}$

Так что

$f_{W}(t)=\prod _{d,e\geq 1}\left(1-X_{d}^{\frac {[d,e]}{d}}Y_{e}^{\frac {[d,e]}{e}}t^{[d,e]}\right)^{\frac {de}{[d,e]}}=\sum _{n\geq 0}D_{n}t^{n},$

где $D_{n}$ являются полиномами от $X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}.$ Итак, по аналогичной индукции предположим

$f_{W}(t)=\prod _{n\geq 1}(1-W_{n}t^{n}),$

затем $W_{n}$ можно решить как многочлены от $X_{1},\ldots ,X_{n},Y_{1},\ldots ,Y_{n}.$

Схемы колец

Отображение, принимающее коммутативное кольцо $R$ кольцу векторов Витта над $R$ (для фиксированного простого числа $p$) является функтором от коммутативных колец к коммутативным кольцам, а также представим, поэтому его можно рассматривать как кольцевую схему , называемую схемой Витта , над $\operatorname {Spec} (\mathbb {Z} ).$ Схему Витта канонически можно отождествить со спектром кольца симметрических функций .

Аналогично кольца усеченных векторов Витта и кольца универсальных векторов Витта соответствуют кольцевым схемам, называемым усеченными схемами Витта и универсальной схемой Витта .

При этом функтор, принимающий коммутативное кольцо $R$ на съемочную площадку $R^{n}$ представлено аффинным пространством $\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}$и кольцевая структура на $R^{n}$ делает $\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}$ в кольцевую схему, обозначенную ${\underline {\mathcal {O}}}^{n}$. Из построения усеченных векторов Витта следует, что ассоциированная с ними кольцевая схема $\mathbb {W} _{n}$ это схема $\mathbb {A} _{\mathbb {Z} }^{n}$ с единственной кольцевой структурой такой, что морфизм $\mathbb {W} _{n}\to {\underline {\mathcal {O}}}^{n}$ заданный полиномами Витта, является морфизмом кольцевых схем.

Коммутативные унипотентные алгебраические группы

Над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 любая унипотентная абелева связная алгебраическая группа изоморфна произведению копий аддитивной группы. $G_{a}$. Аналог этого для полей характеристики $p$ неверно: усеченные схемы Витта являются контрпримерами. (Мы превращаем их в алгебраические группы, забывая об умножении и просто используя аддитивную структуру.) Однако, по сути, это единственные контрпримеры: над алгебраически замкнутым полем характеристики $p$, любая унипотентная абелева связная алгебраическая группа произведению изогенна усеченных групповых схем Витта.

Универсальная собственность

Андре Жояль объяснил универсальное свойство (p-типичных) векторов Витта. Основная интуиция заключается в том, что формирование векторов Витта является универсальным способом деформации характеристики. $p$ кольцо к характеристике 0 вместе с поднятием его эндоморфизма Фробениуса. Чтобы уточнить это, определим $\delta$-кольцо ${\textstyle (R,\delta )}$ состоять из коммутативного кольца ${\textstyle R}$ вместе с картой наборов ${\textstyle \delta :R\to R}$ это $p$-вывод , так что ${\textstyle \delta }$ удовлетворяет отношения

• $\delta (0)=\delta (1)=0$;
• $\delta (xy)=x^{p}\delta (y)+y^{p}\delta (x)+p\delta (x)\delta (y)$;
• $\delta (x+y)=\delta (x)+\delta (y)+{\frac {x^{p}+y^{p}-(x+y)^{p}}{p}}$.

Определение таково, что, учитывая $\delta$-кольцо ${\textstyle (R,\delta )}$, если определить карту ${\textstyle \phi :R\to R}$ по формуле ${\textstyle \phi (x)=x^{p}+p\delta (x)}$, затем ${\textstyle \phi }$ является кольцевым гомоморфизмом, поднимающим Фробениуса на $R/p$. И наоборот, если ${\textstyle R}$ является $p$-torsionfree, то эта формула однозначно определяет структуру $\delta$-звонить ${\textstyle R}$ от лифта Фробениуса. Таким образом, можно рассматривать понятие $\delta$-кольцо в качестве подходящей замены лифта Фробениуса в $p$- корпус без кручения.

Коллекция $\delta$-кольца и их кольцевые гомоморфизмы относительно $\delta$-структура собирается в категорию ${\textstyle \mathrm {CRing} _{\delta }}$. Тогда имеется забывчивый функтор $$U:\mathrm {CRing} _{\delta }\to \mathrm {CRing}$$ которого правый сопряженный отождествляет функтор ${\textstyle W}$ векторов Витта. В самом деле, функтор ${\textstyle U}$ создает пределы и копределы и допускает явно описываемое левое сопряженное соединение как тип свободного функтора ; отсюда нетрудно показать, что ${\textstyle \mathrm {CRing} _{\delta }}$ наследует локальную презентабельность от $\mathrm {CRing}$ так что можно построить функтор ${\textstyle W}$ обратившись к теореме о сопряженном функторе .

Еще у одного есть такое ${\textstyle W}$ ограничивается вполне строгим функтором на полной подкатегории совершенных колец характеристики p. Тогда его существенный образ состоит из тех $\delta$-кольца совершенные (в том смысле, что соответствующее отображение ${\textstyle \phi }$ является изоморфизмом) и базовым кольцом которого является $p$-адически полный.

См. также

• p-вывод
• Официальная группа
• Экспонента Артина – Хассе
• Кольцо-колье

Ссылки

Вводный

• Заметки о векторах Витта: мотивированный подход . Основные заметки, дающие основные идеи и интуицию. Лучше всего начать здесь!
• Теория векторов Витта - Элементарное введение в теорию.
• Complexe de de Rham-Witt et когомологии кристаллических . Обратите внимание, что он использует другое, но эквивалентное соглашение, как в этой статье. Кроме того, основные положения введения по-прежнему актуальны.

Приложения

• Мамфорд, Дэвид (21 августа 1966), Лекции по кривым на алгебраической поверхности , Анналы математических исследований, том. 59, Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета , ISBN  978-0-691-07993-6
• Серр, Жан-Пьер (1979), Местные поля , Тексты для выпускников по математике, том. 67, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90424-5 , МР   0554237 , раздел II.6
• Серр, Жан-Пьер (1988), Алгебраические группы и поля классов , Тексты для выпускников по математике, том. 117, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-1035-1 , ISBN.  978-0-387-96648-9 , МР   0918564
• Гринберг, Марвин Дж. (1969). Лекции о формах со многими переменными . Нью-Йорк и Амстердам: Бенджамин. АСИН   B0006BX17M . МР   0241358 .

Ссылки

• Долгачев, Игорь Васильевич (2001) [1994], «Вектор Витта» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Хазевинкель, Михель (2009), «Векторы Витта. I.», Справочник по алгебре. Том. 6 , Амстердам: Elsevier/North-Holland, стр. 319–472, arXiv : 0804.3888 , doi : 10.1016/S1570-7954(08)00207-6 , ISBN  978-0-444-53257-2 , МР   2553661
• Витт, Эрнст (1936), «Циклические поля и алгебры характеристики p степени p ^н . Структура дискретно оцениваемого совершенного поля с совершенным полем класса остатков с характеристикой p ^н » , Журнал чистой и прикладной математики (на немецком языке), 1937 (176): 126–140, doi : 10.1515/crll.1937.176.126