Логарифмическая производная

В математике , особенно в и комплексном анализе , логарифмическая производная функции исчислении f определяется формулой

{\frac {f'}{f}}

где

f'

является производной от f . ^[1] Интуитивно это и есть бесконечно малое изменение f ; относительное то есть бесконечно малое абсолютное изменение f, а именно

f',

масштабируется по текущему значению f.

Когда f является функцией f ( x ) действительной переменной x и принимает вещественные строго положительные значения, это равно производной ln( f ) или натуральному логарифму f , . Это следует непосредственно из правила цепочки : ^[1]

{\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {1}{f(x)}}{\frac {df(x)}{dx}}

Основные свойства [ править ]

Многие свойства действительного логарифма также применимы к логарифмической производной, даже если функция не принимает значения в положительных действительных числах. Например, поскольку логарифм произведения представляет собой сумму логарифмов факторов, мы имеем

(\log uv)'=(\log u+\log v)'=(\log u)'+(\log v)'.

Таким образом, для функций с положительными действительными значениями логарифмическая производная произведения представляет собой сумму логарифмических производных факторов. Но мы также можем использовать закон Лейбница для производной произведения, чтобы получить

{\frac {(uv)'}{uv}}={\frac {u'v+uv'}{uv}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.

функции верно Таким образом, для любой , что логарифмическая производная произведения представляет собой сумму логарифмических производных факторов (когда они определены).

Следствием этого является то, что логарифмическая производная обратной функции является отрицанием логарифмической производной функции:

{\frac {(1/u)'}{1/u}}={\frac {-u'/u^{2}}{1/u}}=-{\frac {u'}{u}},

точно так же, как логарифм обратной величины положительного действительного числа является отрицанием логарифма числа. ^{[ нужна ссылка ]}

В более общем смысле, логарифмическая производная частного представляет собой разность логарифмических производных делимого и делителя:

{\frac {(u/v)'}{u/v}}={\frac {(u'v-uv')/v^{2}}{u/v}}={\frac {u'}{u}}-{\frac {v'}{v}},

точно так же, как логарифм частного есть разность логарифмов делимого и делителя.

Обобщая в другом направлении, логарифмическая производная степени (с постоянным действительным показателем) представляет собой произведение показателя степени и логарифмической производной по основанию:

{\frac {(u^{k})'}{u^{k}}}={\frac {ku^{k-1}u'}{u^{k}}}=k{\frac {u'}{u}},

точно так же, как логарифм степени является произведением показателя степени и логарифма основания.

Таким образом, и производные, и логарифмы имеют правило произведения , правило взаимности , правило фактора и правило степени (сравните список логарифмических тождеств ); каждая пара правил связана через логарифмическую производную.

обычных производных с использованием логарифмических производных Вычисление

Логарифмические производные могут упростить вычисление производных, требующих правила произведения , при этом давая тот же результат. Процедура следующая: предположим, что $f(x)=u(x)v(x)$ и что мы хотим вычислить $f'(x)$ . Вместо того, чтобы вычислять его напрямую, как $f'=u'v+v'u$ , мы вычисляем его логарифмическую производную. То есть вычисляем:

{\frac {f'}{f}}={\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}.

Умножение на ƒ вычисляет $f'$ :

f'=f\cdot \left({\frac {u'}{u}}+{\frac {v'}{v}}\right).

Этот метод наиболее полезен, когда ƒ является произведением большого количества факторов. Этот метод позволяет вычислить $f'$ путем вычисления логарифмической производной каждого фактора, суммирования и умножения на $f$ .

Например, мы можем вычислить логарифмическую производную $e^{x^{2}}(x-2)^{3}(x-3)(x-1)^{-1}$ быть $2x+{\frac {3}{x-2}}+{\frac {1}{x-3}}-{\frac {1}{x-1}}$ .

факторы Интегрирующие

Идея логарифмической производной тесно связана с методом интегрирующих коэффициентов для дифференциальных уравнений первого порядка . В оператора напишите терминах

D={\frac {d}{dx}}

и пусть M обозначает оператор умножения на некоторую заданную функцию G ( x ). Затем

M^{-1}DM

можно записать (по правилу произведения ) как

D+M^{*}

где

M^{*}

теперь обозначает оператор умножения на логарифмическую производную

{\frac {G'}{G}}

На практике нам дан такой оператор, как

D+F=L

и хочу решить уравнения

L(h)=f

для функции h , учитывая f . Тогда это сводится к решению

{\frac {G'}{G}}=F

который имеет в качестве решения

\exp \textstyle (\int F)

с любым неопределенным интегралом от F . ^{[ нужна ссылка ]}

Комплексный анализ [ править ]

Приведенную формулу можно применять более широко; например, если f ( z ) является мероморфной функцией , это имеет смысл при всех комплексных значениях z, при которых f не имеет ни нуля, ни полюса . Далее, в нуле или полюсе логарифмическая производная ведет себя так, что ее легко проанализировать с точки зрения частного случая.

С н

где n целое число, $n \neq 0$ . Логарифмическая производная тогда равна

n/z

и можно сделать общий вывод, что для мероморфного f все особенности логарифмической производной f являются простыми полюсами с вычетом n из нуля порядка n , вычетом − n из полюса порядка n . См. принцип аргументации . Эта информация часто используется при контурной интеграции . ^[2]^[3]^{[ нужна проверка ]}

В области теории Неванлинны важная лемма гласит, что функция близости логарифмической производной мала по сравнению с характеристикой Неванлинны исходной функции, например $m(r,h'/h)=S(r,h)=o(T(r,h))$ . ^[4]^{[ нужна проверка ]}

Мультипликативная группа [ править ]

За использованием логарифмической производной кроются два основных факта о GL ₁ , то есть о мультипликативной группе действительных чисел или другом поле . Дифференциальный оператор

X{\frac {d}{dX}}

инвариантен X относительно расширения (замена на aX для константы ) . И дифференциальная форма

{\frac {dx}{X}}

также инвариантен. Для функций F в GL ₁ формула

{\frac {dF}{F}}

следовательно, является возвратом к инвариантной форме. ^{[ нужна ссылка ]}

Примеры [ править ]

Экспоненциальный рост и экспоненциальный затух — это процессы с постоянной логарифмической производной. ^{[ нужна ссылка ]}
В математических финансах греческий . λ — это логарифмическая производная цены производного инструмента по отношению к базовой цене ^{[ нужна ссылка ]}
В численном анализе представляет число обусловленности собой бесконечно малое относительное изменение выходного сигнала при относительном изменении входных данных и, таким образом, представляет собой отношение логарифмических производных. ^{[ нужна ссылка ]}

См. также [ править ]

Обобщения производной - Фундаментальная конструкция дифференциального исчисления
Логарифмическое дифференцирование - Метод математического дифференцирования
Эластичность функции

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: ^а ^б «Логарифмическая производная — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . 7 декабря 2012 года . Проверено 12 августа 2021 г.
^ Гонсалес, Марио (24 сентября 1991 г.). Классический комплексный анализ . ЦРК Пресс. ISBN 978-0-8247-8415-7 .
^ «Логарифмический остаток — Энциклопедия математики» . энциклопедияofmath.org . 7 июня 2020 г. Проверено 12 августа 2021 г.
^ Чжан, Гуань-хоу (1 января 1993 г.). Теория целых и мероморфных функций: дефектные и асимптотические значения и особые направления . Американское математическое соц. п. 18. ISBN 978-0-8218-8764-6 . Проверено 12 августа 2021 г.

[:0-1] Jump up to: ^а ^б «Логарифмическая производная — Математическая энциклопедия» . энциклопедияofmath.org . 7 декабря 2012 года . Проверено 12 августа 2021 г.

[2] Гонсалес, Марио (24 сентября 1991 г.). Классический комплексный анализ . ЦРК Пресс. ISBN 978-0-8247-8415-7 .

[3] «Логарифмический остаток — Энциклопедия математики» . энциклопедияofmath.org . 7 июня 2020 г. Проверено 12 августа 2021 г.

[4] Чжан, Гуань-хоу (1 января 1993 г.). Теория целых и мероморфных функций: дефектные и асимптотические значения и особые направления . Американское математическое соц. п. 18. ISBN 978-0-8218-8764-6 . Проверено 12 августа 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

v т и Исчисление
Предварительное исчисление	Биномиальная теорема Вогнутая функция Непрерывная функция Факториал Конечная разница Свободные переменные и связанные переменные График функции Линейная функция Радиан Теорема Ролля секанс Склон Касательная
Пределы	Неопределенная форма Предел функции Односторонний лимит Предел последовательности Порядок приближения (д, г)-определение предела
Дифференциальное исчисление	Производная Вторая производная Частная производная Дифференциал Дифференциальный оператор Теорема о среднем значении Обозначения Обозначения Лейбница Обозначения Ньютона Правила дифференциации линейность Власть Сумма Цепь Больница Продукт Правило генерала Лейбница частное Другие методы Неявное дифференцирование Обратные функции и дифференцирование Логарифмическая производная Сопутствующие тарифы Стационарные точки Первый производный тест Второй производный тест Теорема об экстремальных значениях Максимум и минимум Дальнейшие применения метод Ньютона Теорема Тейлора Дифференциальное уравнение Обыкновенное дифференциальное уравнение Уравнение в частных производных Стохастическое дифференциальное уравнение
Интегральное исчисление	Первообразная Длина дуги Интеграл Римана Основные свойства Константа интегрирования Основная теорема исчисления Дифференцирование под знаком интеграла Интеграция по частям Интегрирование путем замены тригонометрический Эйлер Замена касательной полуугла Частные дроби при интегрировании Квадратичный интеграл Правило трапеции Объемы Метод шайбы Метод оболочки Интегральное уравнение Интегро-дифференциальное уравнение
Векторное исчисление	Производные Завиток Производная по направлению Дивергенция Градиент лапласиан Основные теоремы Линейные интегралы Зелень Стокса Гаусса
Многомерное исчисление	Теорема о дивергенции Геометрический Матрица Гессе Матрица Якобиана и определитель Множитель Лагранжа Линейный интеграл Матрица Множественный интеграл Частная производная Поверхностный интеграл Интеграл объема Расширенные темы Дифференциальные формы Внешняя производная Обобщенная теорема Стокса Тензорное исчисление
Последовательности и серии	Арифметико-геометрическая последовательность Виды серий Чередование Биномиальный Фурье Геометрический Гармонический бесконечный Власть Маклорен Тейлор телескопирование Тесты сходимости Авеля Переменная серия Конденсация Коши Прямое сравнение Дирихле Интеграл Предельное сравнение Соотношение Корень Срок
Специальные функции и цифры	Числа Бернулли е (математическая константа) Экспоненциальная функция Натуральный логарифм Приближение Стирлинга
История исчисления	Адекватность Брук Тейлор Колин Маклорен Общность алгебры Готфрид Вильгельм Лейбниц бесконечно малый Бесконечно-малое исчисление Исаак Ньютон Флюксия Закон непрерывности Леонард Эйлер Метод флюксий Метод механических теорем
Списки	Правила дифференциации Список интегралов показательных функций Список интегралов от гиперболических функций Список интегралов от обратных гиперболических функций Список интегралов обратных тригонометрических функций Список интегралов иррациональных функций Список интегралов логарифмических функций Список интегралов рациональных функций Список интегралов тригонометрических функций секанс Секанс в кубе Список лимитов Списки интегралов
Разные темы	Комплексное исчисление Контурный интеграл Дифференциальная геометрия Коллектор Кривизна кривых поверхностей Тензор Формула Эйлера – Маклорена Gabriel's horn Integration Bee Proof that 22/7 exceeds π Regiomontanus' angle maximization problem Steinmetz solid