Доказательство того, что 22/7 превышает $π$

Доказательства математического результата о том, что рациональное число ⁠ 22/7 ( ⁠ π больше $пи$ ) восходит к древности. Одно из этих доказательств, разработанное совсем недавно, но требующее лишь элементарных методов исчисления, привлекло внимание современной математики благодаря своей математической элегантности и связи с теорией диофантовых приближений . Стивен Лукас называет это доказательство «одним из самых красивых результатов, связанных с приближением числа $π$ ». ^{[ 1 ]} Джулиан Хэвил заканчивает обсуждение непрерывными дробями аппроксимации числа $π$ результатом, описывая его как «невозможно удержаться от упоминания» в этом контексте. ^{[ 2 ]}

Цель доказательства состоит не в том, чтобы прежде всего убедить читателей в том, что ⁠ 22/7 ⁠ или ( ⁠3 + 1/7 ⁠ ) ; больше $π$ действительно существуют систематические методы вычисления значения $π$ . Если известно, что $π$ приблизительно равно 3,14159, то из этого тривиально следует, что $π$ < ⁠ 22/7 , ⁠ . что примерно равно 3,142857 Но требуется гораздо меньше усилий, чтобы показать, что $π$ < ⁠ 22 / 7 ⁠ методом, использованным в этом доказательстве, чем показать, что $π$ приблизительно равно 3,14159.

Фон

⁠ 22/7 . ⁠ — это широко используемое приближение числа $π$ диофантово Это подходящая дробь в в простую цепную дробь разложении $π$ . Оно больше, чем $π$ , как можно легко увидеть в десятичных разложениях этих значений:

{\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3.{\overline {142\,857}},\\\pi \,&=3.141\,592\,65\ldots \end{aligned}}

Приближение известно с древности. Архимед написал первое известное доказательство того, что ⁠ 22/7 является завышенной оценкой для III века до нашей эры, хотя он , ⁠ возможно , не был первым, кто использовал это приближение. Его доказательство продолжается, показывая, что ⁠ 22/7 . ⁠ 96 больше отношения периметра правильного многоугольника с сторонами к диаметру окружности, которую он описывает ^{[ примечание 1 ]}

Доказательство

Доказательство можно выразить очень кратко:

0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {22}{7}}-\pi .

Поэтому, ⁠ 22 / 7 ⁠ > $п$ .

Вычисление этого интеграла было первой задачей конкурса Патнэма 1968 года . ^{[ 4 ]} Это проще, чем большинство задач конкурса Патнэма, но в соревновании часто встречаются, казалось бы, неясные задачи, которые, как оказывается, относятся к чему-то очень знакомому. Этот интеграл также использовался на вступительных экзаменах в Индийские технологические институты . ^{[ 5 ]}

Детали вычисления интеграла

Положительность интеграла что следует из того, подынтегральная функция неотрицательна ; знаменатель положительный, а числитель является произведением неотрицательных чисел. Можно также легко проверить, что подынтегральная функция строго положительна хотя бы в одной точке области интегрирования, скажем, при ⁠ 1/2 ⁠ . Поскольку подынтегральная функция непрерывна в этой точке и неотрицательна в других местах, интеграл от 0 до 1 должен быть строго положительным.

Осталось показать, что интеграл действительно дает искомую величину:

{\begin{aligned}0&<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx\\[8pt]&=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}-4x^{5}+6x^{6}-4x^{7}+x^{8}}{1+x^{2}}}\,dx&{\text{expansion of terms in the numerator}}\\[8pt]&=\int _{0}^{1}\left(x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-4x^{2}+4-{\frac {4}{1+x^{2}}}\right)\,dx&{\text{ using polynomial long division}}&\\[8pt]&=\left.\left({\frac {x^{7}}{7}}-{\frac {2x^{6}}{3}}+x^{5}-{\frac {4x^{3}}{3}}+4x-4\arctan {x}\right)\,\right|_{0}^{1}&{\text{definite integration}}\\[6pt]&={\frac {1}{7}}-{\frac {2}{3}}+1-{\frac {4}{3}}+4-\pi \quad &{\text{with }}\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}{\text{ and }}\arctan(0)=0\\[8pt]&={\frac {22}{7}}-\pi .&{\text{addition}}\end{aligned}}

(См. полиномиальное деление в длину .)

Быстрые верхняя и нижняя границы

В Dalzell (1944) указывается, что если в знаменателе вместо $x$ заменить 1 , можно получить нижнюю оценку интеграла, а если в знаменателе вместо $x$ заменить 0 , получится верхняя граница: ^{[ 6 ]}

{\frac {1}{1260}}=\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{2}}\,dx<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1}}\,dx={1 \over 630}.

Таким образом, мы имеем

{\frac {22}{7}}-{\frac {1}{630}}<\pi <{\frac {22}{7}}-{\frac {1}{1260}},

следовательно, 3,1412 < $π$ < 3,1421 в десятичном разложении. Границы отклоняются менее чем на 0,015% от $π$ . См. также Далзелл (1971) . ^{[ 7 ]}

Доказательство того, что 355/113 превышает $π$

Как обсуждалось Лукасом (2005) , хорошо известное диофантово приближение и гораздо лучшая верхняя оценка ⁠ 355 / 113 ⁠ для $π$ следует из соотношения

0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{3164\left(1+x^{2}\right)}}\,dx={\frac {355}{113}}-\pi .

{\frac {355}{113}}=3.141\,592\,92\ldots ,

где первые шесть цифр после запятой совпадают с цифрами $π$ . Подставив в знаменатель вместо $x$ 1 , получим нижнюю оценку

\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}\left(1-x\right)^{8}\left(25+816x^{2}\right)}{6328}}\,dx={\frac {911}{5\,261\,111\,856}}=0.000\,000\,173\ldots ,

подставляя 0 вместо $x$ в знаменателе, мы получаем удвоенное значение в качестве верхней границы, следовательно

{\frac {355}{113}}-{\frac {911}{2\,630\,555\,928}}<\pi <{\frac {355}{113}}-{\frac {911}{5\,261\,111\,856}}\,.

В десятичном представлении это означает 3,141 592 57 < $π$ < 3,141 592 74 , где жирные цифры нижней и верхней границы соответствуют $π$ .

Расширения

Вышеупомянутые идеи можно обобщить, чтобы получить лучшее приближение $π$ ; см. также Бэкхаус (1995) ^{[ 8 ]} и Lucas (2005) (однако в обеих ссылках расчеты не приводятся). Для явных вычислений рассмотрим, что для каждого целого числа $n \geq$ 1

{\frac {1}{2^{2n-1}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx<{\frac {1}{2^{2n-2}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2}}}\,dx<{\frac {1}{2^{2n-2}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx,

где средний интеграл равен

{\begin{aligned}{\frac {1}{2^{2n-2}}}&\int _{0}^{1}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{1+x^{2}}}\,dx\\[6pt]={}&\sum _{j=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2^{2n-j-2}(8n-j-1){\binom {8n-j-2}{4n+j}}}}+(-1)^{n}\left(\pi -4\sum _{j=0}^{3n-1}{\frac {(-1)^{j}}{2j+1}}\right)\end{aligned}}

с участием $π$ . Последняя сумма также появляется в формуле Лейбница для $π$ . Поправочный член и граница ошибки определяются выражением

{\begin{aligned}{\frac {1}{2^{2n-1}}}\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx&={\frac {1}{2^{2n-1}(8n+1){\binom {8n}{4n}}}}\\[6pt]&\sim {\frac {\sqrt {\pi n}}{2^{10n-2}(8n+1)}},\end{aligned}}

где аппроксимация (тильда означает, что частное обеих частей стремится к единице при больших $n$ ) центрального биномиального коэффициента следует из формулы Стирлинга и показывает быструю сходимость интегралов к $π$ .

Вычисление этих интегралов: для всех целых чисел $k \geq 0$ и $ℓ \geq 2$ имеем

{\begin{aligned}x^{k}(1-x)^{\ell }&=(1-2x+x^{2})x^{k}(1-x)^{\ell -2}\\[6pt]&=(1+x^{2})\,x^{k}(1-x)^{\ell -2}-2x^{k+1}(1-x)^{\ell -2}.\end{aligned}}

Рекурсивное применение этой формулы $2 n$ раз дает

x^{4n}(1-x)^{4n}=\left(1+x^{2}\right)\sum _{j=0}^{2n-1}(-2)^{j}x^{4n+j}(1-x)^{4n-2(j+1)}+(-2)^{2n}x^{6n}.

Более того,

{\begin{aligned}x^{6n}-(-1)^{3n}&=\sum _{j=1}^{3n}(-1)^{3n-j}x^{2j}-\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}\\[6pt]&=\sum _{j=0}^{3n-1}\left((-1)^{3n-(j+1)}x^{2(j+1)}-(-1)^{3n-j}x^{2j}\right)\\[6pt]&=-(1+x^{2})\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j},\end{aligned}}

где первое равенство выполняется, поскольку члены при $1 \leq j \leq 3 n - 1$ сокращаются, а второе равенство возникает из-за сдвига индекса $j \to j + 1$ в первой сумме.

Применение этих двух результатов дает

{\begin{aligned}{\frac {x^{4n}(1-x)^{4n}}{2^{2n-2}(1+x^{2})}}=\sum _{j=0}^{2n-1}&{\frac {(-1)^{j}}{2^{2n-j-2}}}x^{4n+j}(1-x)^{4n-2j-2}\\[6pt]&{}-4\sum _{j=0}^{3n-1}(-1)^{3n-j}x^{2j}+(-1)^{3n}{\frac {4}{1+x^{2}}}.\qquad (1)\end{aligned}}

Для целых чисел $k, ℓ \geq 0$ , используя интегрирование по частям $ℓ$ раз, получаем

{\begin{aligned}\int _{0}^{1}x^{k}(1-x)^{\ell }\,dx&={\frac {\ell }{k+1}}\int _{0}^{1}x^{k+1}(1-x)^{\ell -1}\,dx\\[6pt]&\,\,\,\vdots \\[6pt]&={\frac {\ell }{k+1}}{\frac {\ell -1}{k+2}}\cdots {\frac {1}{k+\ell }}\int _{0}^{1}x^{k+\ell }\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{(k+\ell +1){\binom {k+\ell }{k}}}}.\qquad (2)\end{aligned}}

Полагая $k = ℓ = 4 n$ , получаем

\int _{0}^{1}x^{4n}(1-x)^{4n}\,dx={\frac {1}{(8n+1){\binom {8n}{4n}}}}.

Интегрирование уравнения (1) от 0 до 1 с использованием уравнения (2) и $arctan(1) = ⁠ π / 4 ⁠$ , мы получаем заявленное уравнение с участием $π$ .

Результаты для $n = 1$ приведены выше. Для $n = 2$ получаем

{\frac {1}{4}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}(1-x)^{8}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi -{\frac {47\,171}{15\,015}}

и

{\frac {1}{8}}\int _{0}^{1}x^{8}(1-x)^{8}\,dx={\frac {1}{1\,750\,320}},

следовательно, 3,141 592 31 < $π$ < 3,141 592 89 , где жирные цифры нижней и верхней границы — это цифры $π$ . Аналогично для $n = 3$ ,

{\frac {1}{16}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{12}\left(1-x\right)^{12}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {431\,302\,721}{137\,287\,920}}-\pi

с поправочным сроком и границей ошибки

{\frac {1}{32}}\int _{0}^{1}x^{12}(1-x)^{12}\,dx={\frac {1}{2\,163\,324\,800}},

следовательно, 3,141 592 653 40 < $π$ < 3,141 592 653 87 . Следующий шаг для $n = 4$ :

{\frac {1}{64}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{16}(1-x)^{16}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi -{\frac {741\,269\,838\,109}{235\,953\,517\,800}}

с

{\frac {1}{128}}\int _{0}^{1}x^{16}(1-x)^{16}\,dx={\frac {1}{2\,538\,963\,567\,360}},

что дает 3,141 592 653 589 55 < $π$ < 3,141 592 653 589 96 .

См. также

Приближения $π$
Хронология вычисления $π$
Теорема Линдеманна – Вейерштрасса (доказательство $π )$ трансцендентности
Список тем, связанных с $π$
Доказательство того, что $π$ иррационально

Сноски

Примечания

^ Предложение 3: Отношение длины окружности к ее диаметру меньше, чем ⁠3 + 1/7 но ⁠ больше ⁠3 + 10 / 71 ⁠ . ^{[ 3 ]}

Цитаты

^ Лукас, Стивен (2005), «Интегральные доказательства того, что 355/113 > $π$ » (PDF) , Вестник Австралийского математического общества , 32 (4): 263–266, MR 2176249 , Zbl 1181.11077
^ Хэвил, Джулиан (2003), Гамма. Исследование константы Эйлера , Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, стр. 96, ISBN 0-691-09983-9 , МР 1968276 , Збл 1023.11001
^ Архимед (2002) [1897], «Измерение круга», в Хите, TL (редактор), «Работы Архимеда» , Dover Publications, стр. 93–96, ISBN 0-486-42084-1
^ Александерсон, Джеральд Л .; Клосински, Леонард Ф.; Ларсон, Лорен С., ред. (1985), Математическое соревнование Уильяма Лоуэлла Патнэма: проблемы и решения: 1965–1984 , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN 0-88385-463-5 , Збл 0584.00003
^ Совместный вступительный экзамен IIT 2010 , вопрос 41 на странице 12 раздела математики.
^ Далзелл, Д.П. (1944), «22/7», Журнал Лондонского математического общества , 19 (75, часть 3): 133–134, doi : 10.1112/jlms/19.75_part_3.133 , MR 0013425 , Zbl 0060.15306 .
^ Далзелл, Д. П. (1971), «22 июля и 355/113», Эврика; Журнал Архимеда , 34 : 10–13, ISSN 0071-2248 .
^ Бэкхаус, Найджел (июль 1995 г.), «Примечание 79.36, Блинные функции и приближения к $π$ », The Mathematical Gazette , 79 (485): 371–374, doi : 10.2307/3618318 , JSTOR 3618318 , S2CID 126397479

Внешние ссылки

Задачи конкурса Патнэма 1968 года с этим доказательством, указанным как вопрос А1.

[4] Предложение 3: Отношение длины окружности к ее диаметру меньше, чем ⁠3 + 1/7 но ⁠ больше ⁠3 + 10 / 71 ⁠ . ^{[ 3 ]}

[Lucas2005-1] Лукас, Стивен (2005), «Интегральные доказательства того, что 355/113 > $π$ » (PDF) , Вестник Австралийского математического общества , 32 (4): 263–266, MR 2176249 , Zbl 1181.11077

[2] Хэвил, Джулиан (2003), Гамма. Исследование константы Эйлера , Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета, стр. 96, ISBN 0-691-09983-9 , МР 1968276 , Збл 1023.11001

[3] Архимед (2002) [1897], «Измерение круга», в Хите, TL (редактор), «Работы Архимеда» , Dover Publications, стр. 93–96, ISBN 0-486-42084-1

[5] Александерсон, Джеральд Л .; Клосински, Леонард Ф.; Ларсон, Лорен С., ред. (1985), Математическое соревнование Уильяма Лоуэлла Патнэма: проблемы и решения: 1965–1984 , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN 0-88385-463-5 , Збл 0584.00003

[6] Совместный вступительный экзамен IIT 2010 , вопрос 41 на странице 12 раздела математики.

[7] Далзелл, Д.П. (1944), «22/7», Журнал Лондонского математического общества , 19 (75, часть 3): 133–134, doi : 10.1112/jlms/19.75_part_3.133 , MR 0013425 , Zbl 0060.15306 .

[8] Далзелл, Д. П. (1971), «22 июля и 355/113», Эврика; Журнал Архимеда , 34 : 10–13, ISSN 0071-2248 .

[9] Бэкхаус, Найджел (июль 1995 г.), «Примечание 79.36, Блинные функции и приближения к $π$ », The Mathematical Gazette , 79 (485): 371–374, doi : 10.2307/3618318 , JSTOR 3618318 , S2CID 126397479

[ 1 ]

[ 2 ]

[ примечание 1 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 3 ]

Фон