Тест на конденсацию Коши

Не путать с тестом сходимости Коши .

В математике тест конденсации Коши , названный в честь Огюстена-Луи Коши , является стандартным тестом сходимости бесконечных рядов . Для невозрастающей последовательности $f(n)$ неотрицательных действительных чисел , ряд ${\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$ сходится тогда и только тогда, когда «сжатый» ряд ${\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$ сходится. При этом, если они сходятся, то сумма сжатого ряда не более чем в два раза превышает сумму исходного.

Оценка

Тест конденсации Коши следует из более сильной оценки:

$$\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\leq \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\leq \ 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n),$$

которое следует понимать как неравенство расширенных действительных чисел . Далее следует основная идея доказательства , построенная по образцу Орема доказательства о расходимости гармонического ряда .

Чтобы увидеть первое неравенство, члены исходного ряда заключаются в скобки в серии, длина которых равна степеням двойки , а затем каждая серия ограничивается сверху путем замены каждого члена на самый большой член в этой серии. Этот член всегда является первым, поскольку по предположению члены не возрастают.

$${\begin{array}{rcccccccl}\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)&=&f(1)&+&f(2)+f(3)&+&f(4)+f(5)+f(6)+f(7)&+&\cdots \\&=&f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(3){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(5)+f(6)+f(7){\Big )}&+&\cdots \\&\leq &f(1)&+&{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}&+&{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}&+&\cdots \\&=&f(1)&+&2f(2)&+&4f(4)&+&\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})\end{array}}$$

Чтобы увидеть второе неравенство, эти две серии снова заключены в скобки в серии степеней двух длин, но «сдвинуты», как показано ниже, так что серия ${\textstyle 2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ который начинается с ${\textstyle f(2^{n})}$ совпадает с концом пробега ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$ который заканчивается ​ ${\textstyle f(2^{n})}$, так что первый всегда остается «впереди» второго.

$${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})&=f(1)+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(4)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&={\Big (}f(1)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(4)+f(4)+f(4){\Big )}+\cdots \\&\leq {\Big (}f(1)+f(1){\Big )}+{\Big (}f(2)+f(2){\Big )}+{\Big (}f(3)+f(3){\Big )}+\cdots =2\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\end{aligned}}$$

Визуализация приведенного выше аргумента. Частичные суммы ряда ${\textstyle \sum f(n)}$, ${\textstyle \sum 2^{n}f(2^{n})}$, и ${\textstyle 2\sum f(n)}$ показаны наложенными слева направо.

сравнение

«Конденсационная» трансформация ${\textstyle f(n)\rightarrow 2^{n}f(2^{n})}$ напоминает замену целочисленной переменной ${\textstyle x\rightarrow e^{x}}$ уступчивость ${\textstyle f(x)\,\mathrm {d} x\rightarrow e^{x}f(e^{x})\,\mathrm {d} x}$.

Следуя этой идее, интегральный критерий сходимости дает нам в случае монотонного $f$, что ${\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$ сходится тогда и только тогда, когда $\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x$ сходится. Замена ${\textstyle x\rightarrow 2^{x}}$ дает интеграл $\displaystyle \log 2\ \int _{2}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x$. Затем мы замечаем, что $\displaystyle \log 2\ \int _{2}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x<\log 2\ \int _{0}^{\infty }\!2^{x}f(2^{x})\,\mathrm {d} x$, где правая часть получается в результате применения интегрального теста к сокращенному ряду ${\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$. Поэтому, ${\textstyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }f(n)}$ сходится тогда и только тогда, когда ${\textstyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }2^{n}f(2^{n})}$ сходится.

Примеры

Тест может быть полезен для рядов, где n появляется в знаменателе f . Самый простой пример такого рода — гармонический ряд ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }1/n}$ трансформируется в сериал ${\textstyle \sum 1}$, который явно расходится.

В качестве более сложного примера возьмем

$$f(n):=n^{-a}(\log n)^{-b}(\log \log n)^{-c}.$$

Здесь ряд определенно сходится при a > 1 и расходится при a < 1 . Когда a = 1 , конденсационное преобразование дает ряд

$$\sum n^{-b}(\log n)^{-c}.$$

Логарифмы . «смещаются влево» Итак, когда a = 1 , мы имеем сходимость при b > 1 и расхождение при b < 1 . Когда b = 1, входит значение c .

Этот результат легко обобщается: испытание на конденсацию, применяемое неоднократно, можно использовать, чтобы показать, что для $k=1,2,3,\ldots$, обобщенный ряд Бертрана

$$\sum _{n\geq N}{\frac {1}{n\cdot \log n\cdot \log \log n\cdots \log ^{\circ (k-1)}n\cdot (\log ^{\circ k}n)^{\alpha }}}\quad \quad (N=\lfloor \exp ^{\circ k}(0)\rfloor +1)$$

сходится для $\alpha >1$ и расходится по $0<\alpha \leq 1$. Здесь $f^{\circ m}$ обозначает m -ю итерацию функции $f$, так что

$$f^{\circ m}(x):={\begin{cases}f(f^{\circ (m-1)}(x)),&m=1,2,3,\ldots ;\\x,&m=0.\end{cases}}$$

Нижний предел суммы, $N$, выбрано так, чтобы все члены ряда были положительными. Примечательно, что эти ряды представляют собой примеры бесконечных сумм, которые сходятся или расходятся сколь угодно медленно. Например, в случае $k=2$ и $\alpha =1$, частичная сумма превышает 10 только после $10^{10^{100}}$( гуголплекс ) термины; тем не менее, ряд расходится.

Обобщение Шлёмильха

Обобщение теста конденсации было дано Оскаром Шлёмильхом . Пусть u ( n ) — строго возрастающая последовательность натуральных чисел такая, что отношение последовательных разностей ограничено: существует положительное действительное число N , для которого

$${\Delta u(n) \over \Delta u(n{-}1)}\ =\ {u(n{+}1)-u(n) \over u(n)-u(n{-}1)}\ <\ N\ {\text{ for all }}n.$$

Тогда при условии, что $f(n)$ удовлетворяет тем же предварительным условиям, что и в тесте сходимости Коши , сходимости ряда ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }f(n)}$ эквивалентно сходимости

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\Delta u(n)}\,f(u(n))\ =\ \sum _{n=0}^{\infty }{\Big (}u(n{+}1)-u(n){\Big )}f(u(n)).$$

принимая ${\textstyle u(n)=2^{n}}$ так что ${\textstyle \Delta u(n)=u(n{+}1)-u(n)=2^{n}}$, тест конденсации Коши представляет собой особый случай.

Ссылки

• Бонар, Хури (2006). Настоящая бесконечная серия . Математическая ассоциация Америки. ISBN   0-88385-745-6 .

Внешние ссылки

• Доказательство испытания на конденсацию Коши