Интеграл секущего в кубе

Интеграл секущего куба — частая и сложная задача. неопределенный интеграл элементарного исчисления :

${\textstyle {\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&={\tfrac {1}{2}}\sec x\tan x+{\tfrac {1}{2}}\int \sec x\,dx+C\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}(\sec x\tan x+\operatorname {gd} ^{-1}x)+C,\qquad |x|<{\tfrac {1}{2}}\pi \end{aligned}}}$

где ${\textstyle \operatorname {gd} ^{-1}}$ — обратная функция Гудермана , интеграл секущей функции .

Есть ряд причин, по которым именно этот первообразный заслуживает особого внимания:

• В этом простейшем случае в полной мере присутствует прием, используемый для приведения интегралов от высших нечетных степеней секущего к меньшим. Остальные случаи решаются таким же образом.
• Полезность гиперболических функций при интегрировании можно продемонстрировать в случаях нечетных степеней секущего ( степени тангенса ). также можно включить
• Это один из нескольких интегралов, которые обычно изучаются в курсе математического анализа на первом курсе, причем наиболее естественный способ работы заключается в интегрировании по частям и возврате к тому же интегралу, с которого вы начали (другой пример — интеграл от произведения экспоненциальной функции с функция синуса или косинуса ; еще один интеграл от степени функции синуса или косинуса).
• Этот интеграл используется при вычислении любого интеграла вида

$\int {\sqrt {a^{2}+x^{2}}}\,dx,$

где $a$ является константой. В частности, это проявляется в проблемах:

• выпрямление параболы и архимедовой спирали
• нахождение поверхности геликоида . площади

Производные

Интегрирование по частям

Эту первообразную можно найти интегрированием по частям следующим образом:

$\int \sec ^{3}x\,dx=\int u\,dv=uv-\int v\,du$

где

$u=\sec x,\quad dv=\sec ^{2}x\,dx,\quad v=\tan x,\quad du=\sec x\tan x\,dx.$

Затем

${\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&=\int (\sec x)(\sec ^{2}x)\,dx\\&=\sec x\tan x-\int \tan x\,(\sec x\tan x)\,dx\\&=\sec x\tan x-\int \sec x\tan ^{2}x\,dx\\&=\sec x\tan x-\int \sec x\,(\sec ^{2}x-1)\,dx\\&=\sec x\tan x-\left(\int \sec ^{3}x\,dx-\int \sec x\,dx\right)\\&=\sec x\tan x-\int \sec ^{3}x\,dx+\int \sec x\,dx.\end{aligned}}$

Далее добавить ${\textstyle \int \sec ^{3}x\,dx}$ обеим сторонам:

${\begin{aligned}2\int \sec ^{3}x\,dx&=\sec x\tan x+\int \sec x\,dx\\&=\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C,\end{aligned}}$

используя интеграл от секущей функции , ${\textstyle \int \sec x\,dx=\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C.}$

Наконец, разделите обе части на 2:

$\int \sec ^{3}x\,dx={\tfrac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C,$

который должен был быть получен. Возможная мнемоника: «Интеграл секущего в кубе представляет собой среднее значение производной и интеграла секущего».

Приведение к интегралу рациональной функции

$\int \sec ^{3}x\,dx=\int {\frac {dx}{\cos ^{3}x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{\cos ^{4}x}}=\int {\frac {\cos x\,dx}{(1-\sin ^{2}x)^{2}}}=\int {\frac {du}{(1-u^{2})^{2}}}$

где $u=\sin x$, так что $du=\cos x\,dx$. Это допускает разложение на простейшие дроби :

${\frac {1}{(1-u^{2})^{2}}}={\frac {1}{(1+u)^{2}(1-u)^{2}}}={\frac {1}{4(1+u)}}+{\frac {1}{4(1+u)^{2}}}+{\frac {1}{4(1-u)}}+{\frac {1}{4(1-u)^{2}}}.$

Антидифференцируя почленно, получаем

${\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&={\tfrac {1}{4}}\ln |1+u|-{\frac {1}{4(1+u)}}-{\tfrac {1}{4}}\ln |1-u|+{\frac {1}{4(1-u)}}+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{4}}\ln {\Biggl |}{\frac {1+u}{1-u}}{\Biggl |}+{\frac {u}{2(1-u^{2})}}+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{4}}\ln {\Biggl |}{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}{\Biggl |}+{\frac {\sin x}{2\cos ^{2}x}}+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{4}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|+{\tfrac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{4}}\ln \left|{\frac {(1+\sin x)^{2}}{1-\sin ^{2}x}}\right|+{\tfrac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{4}}\ln \left|{\frac {(1+\sin x)^{2}}{\cos ^{2}x}}\right|+{\tfrac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{\cos x}}\right|+{\tfrac {1}{2}}\sec x\tan x+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\ln |\sec x+\tan x|+\sec x\tan x)+C.\end{aligned}}$

Гиперболические функции

Интегралы вида: $\int \sec ^{n}x\tan ^{m}x\,dx$ можно сократить с помощью тождества Пифагора, если $n$ четный ​ или $n$ и $m$ оба странные. Если $n$ это странно и $m$ четно, гиперболическими заменами можно заменить вложенное интегрирование по частям гиперболическими формулами приведения степени.

${\begin{aligned}\sec x&=\cosh u\\[6pt]\tan x&=\sinh u\\[6pt]\sec ^{2}x\,dx&=\cosh u\,du{\text{ or }}\sec x\tan x\,dx=\sinh u\,du\\[6pt]\sec x\,dx&=\,du{\text{ or }}dx=\operatorname {sech} u\,du\\[6pt]u&=\operatorname {arcosh} (\sec x)=\operatorname {arsinh} (\tan x)=\ln |\sec x+\tan x|\end{aligned}}$

Обратите внимание, что $\int \sec x\,dx=\ln |\sec x+\tan x|$ следует непосредственно из этой замены.

${\begin{aligned}\int \sec ^{3}x\,dx&=\int \cosh ^{2}u\,du\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}\int (\cosh 2u+1)\,du\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {1}{2}}\sinh 2u+u\right)+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\sinh u\cosh u+u)+C\\[6pt]&={\tfrac {1}{2}}(\sec x\tan x+\ln \left|\sec x+\tan x\right|)+C\end{aligned}}$

Высшие нечетные степени секанса

Подобно тому, как интегрирование по частям, приведенное выше, сводило интеграл секущего в кубе к интегралу секущего в первой степени, так и аналогичный процесс сводит интеграл от высших нечетных степеней секущего к меньшим. Это формула секущего сокращения, которая имеет следующий синтаксис:

$\int \sec ^{n}x\,dx={\frac {\sec ^{n-2}x\tan x}{n-1}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}x\,dx\qquad {\text{ (for }}n\neq 1{\text{)}}\,\!$

Четные степени тангенса можно учесть, используя биномиальное разложение для формирования нечетного многочлена секущего и используя эти формулы для наибольшего члена и комбинируя подобные члены.

См. также

• Списки интегралов