Площадь поверхности

Площадь поверхности (символ A ) твердого объекта является мерой общей площади , которую занимает поверхность объекта. ^[1] Математическое определение площади поверхности при наличии криволинейных поверхностей значительно сложнее, чем определение длины дуги одномерных кривых или площади поверхности для многогранников (т. е. объектов с плоскими многоугольными гранями ), для которых площадь поверхности есть сумма площадей его граней. Гладким поверхностям, таким как сфера , присваивается площадь поверхности с использованием их представления в виде параметрических поверхностей . Это определение площади поверхности основано на методах исчисления бесконечно малых и включает частные производные и двойное интегрирование .

Общее определение площади поверхности было предложено Анри Лебегом и Германом Минковским на рубеже двадцатого века. Их работа привела к развитию геометрической теории меры , которая изучает различные представления о площади поверхности объектов неправильной формы любого размера. Важным примером является по Минковскому состав поверхности .

Определение [ править ]

Хотя площади многих простых поверхностей известны с древности, строгое математическое определение площади требует большой осторожности.Это должно обеспечить функцию

S\mapsto A(S)

который присваивает положительное действительное число определенному классу поверхностей , удовлетворяющему нескольким естественным требованиям. Наиболее фундаментальным свойством площади поверхности является ее аддитивность : площадь целого представляет собой сумму площадей частей . Более строго, если поверхность S представляет собой объединение конечного числа частей , _S1 ..., Sr _, которые перекрываются только на своих границах, то

A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r}).

Площади поверхностей плоских многоугольных фигур должны соответствовать их геометрически заданной площади . Поскольку площадь поверхности — понятие геометрическое, то площади конгруэнтных поверхностей должны быть одинаковыми и площадь должна зависеть только от формы поверхности, но не от ее положения и ориентации в пространстве. Это означает, что площадь поверхности инвариантна относительно группы евклидовых движений . Эти свойства однозначно характеризуют площадь поверхности широкого класса геометрических поверхностей, называемых кусочно-гладкими . Такие поверхности состоят из конечного числа частей, которые можно представить в параметрической форме

S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D

с непрерывно дифференцируемой функцией ${\vec {r}}.$ Площадь отдельного куска определяется по формуле

A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv.

площадь SD _{Таким образом ,} получается путем интегрирования длины вектора нормали. ${\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}$ к поверхности над соответствующей областью D в параметрической УФ- плоскости. Затем площадь всей поверхности получается путем сложения площадей частей с использованием аддитивности площади поверхности. Основная формула может быть специализирована для разных классов поверхностей, давая, в частности, формулы для площадей графов z = f ( x , y ) и поверхностей вращения .

Черный фонарь с $M$ осевые срезы и $N$ радиальные вершины. Граница территории как $M$ и $N$ стремятся к бесконечности, не сходятся. В частности, он не сходится к площади цилиндра.

Одна из тонкостей площади поверхности по сравнению с длиной дуги кривых заключается в том, что площадь поверхности нельзя определить просто как предел площадей многогранных фигур, аппроксимирующих данную гладкую поверхность. продемонстрировал Герман Шварц , что уже для цилиндра различный выбор аппроксимации плоских поверхностей может привести к разным предельным значениям площади; этот пример известен как фонарь Шварца . ^[2]^[3]

Различные подходы к общему определению площади поверхности были разработаны в конце девятнадцатого и начале двадцатого века Анри Лебегом и Германом Минковским . Хотя для кусочно-гладких поверхностей существует уникальное естественное понятие площади поверхности, если поверхность очень неровная или шероховатая, то приписать ей площадь вообще невозможно. Типичным примером является поверхность с плотно расположенными по всей поверхности шипами. Многие поверхности этого типа встречаются при изучении фракталов . изучаются расширения понятия площади, которые частично выполняют его функцию и могут быть определены даже для очень сильно нерегулярных поверхностей В геометрической теории меры . Конкретным примером такого расширения является по Минковскому содержание поверхности .

Общие формулы [ править ]

Площади поверхности обычных твердых тел
Форма	Уравнение	Переменные
Куб	$6a^{2}$	а = длина стороны
Кубовидный	$2\left(lb+lh+bh\right)$	l = длина, b = ширина, h = высота
Треугольная призма	$bh+l\left(p+q+r\right)$	b = длина основания треугольника, h = высота треугольника, l = расстояние между треугольными основаниями, p , q , r = стороны треугольника
Все призмы	$2B+Ph$	B = площадь одного основания, P = периметр одного основания, h = высота
Сфера	$4\pi r^{2}=\pi d^{2}$	r = радиус сферы, d = диаметр
полушарие	$3\pi r^{2}$	r = радиус полусферы
Полусферическая оболочка	$\pi \left(3R^{2}+r^{2}\right)$	R = внешний радиус полусферы, r = внутренний радиус полусферы
Сферический лунник	$2r^{2}\theta$	r = радиус сферы, θ = двугранный угол
Тор	$\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr$	r = малый радиус (радиус трубки), R = большой радиус (расстояние от центра трубки до центра тора)
Закрытый цилиндр	$2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r\left(r+h\right)$	r = радиус круглого основания, h = высота цилиндра
Цилиндрическое кольцо	$2\pi Rh+2\pi rh+2(\pi R^{2}-\pi r^{2})=2\pi (R+r)(R-r+h)$	R = Внешний радиус r = внутренний радиус, h = высота
Капсула	$2\pi r(2r+h)$	r = радиус полусфер и цилиндра, h = высота цилиндра
Площадь изогнутой поверхности конуса	$\pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}=\pi rs$	$s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$ s = наклонная высота конуса, r = радиус круглого основания, h = высота конуса
Полная площадь поверхности конуса	$\pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)=\pi r\left(r+s\right)$	s = наклонная высота конуса, r = радиус круглого основания, h = высота конуса
Обычная пирамида	$B+{\frac {Ps}{2}}$	B = площадь основания, P = периметр основания, s = высота наклона.
Квадратная пирамида	$b^{2}+2bs=b^{2}+2b{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}$	b = длина основания, s = наклонная высота, h = вертикальная высота
Прямоугольная пирамида	$lb+l{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}+b{\sqrt {\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}$	l = длина, b = ширина, h = высота
Тетраэдр	${\sqrt {3}}a^{2}$	а = длина стороны
Поверхность революции	$2\pi \int _{a}^{b}{f(x){\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx}$
Параметрическая поверхность	$\iint _{D}\left\vert {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right\vert dA$	${\vec {r}}$ = параметрическое векторное уравнение поверхности, ${\vec {r}}_{u}$ = частная производная от ${\vec {r}}$ относительно $u$ , ${\vec {r}}_{v}$ = частная производная от ${\vec {r}}$ относительно $v$ , $D$ = теневая область

Отношение площадей поверхностей сферы и цилиндра одинакового радиуса и высоты [ править ]

Приведенные ниже формулы можно использовать, чтобы показать, что площади поверхности сферы и цилиндра одинакового радиуса и высоты находятся в соотношении 2:3 следующим образом.

Пусть радиус равен r , а высота равна h (что составляет 2 r для сферы ).

{\begin{array}{rlll}{\text{Sphere surface area}}&=4\pi r^{2}&&=(2\pi r^{2})\times 2\\{\text{Cylinder surface area}}&=2\pi r(h+r)&=2\pi r(2r+r)&=(2\pi r^{2})\times 3\end{array}}

Открытие этого соотношения приписывают Архимеду . ^[4]

По химии [ править ]

Площадь поверхности важна в химической кинетике . Увеличение площади поверхности вещества обычно увеличивает скорость химической реакции . Например, железо в мелком порошке сгорит , ^[5] в то время как в твердых блоках он достаточно стабилен, чтобы его можно было использовать в конструкциях. Для различных применений может потребоваться минимальная или максимальная площадь поверхности.

В биологии [ править ]

Внутренняя мембрана митохондрии имеет большую площадь поверхности из-за складок, что обеспечивает более высокую скорость клеточного дыхания (электронная микрофотография ). ^[6]

Площадь поверхности организма важна по нескольким причинам, например, для регуляции температуры тела и пищеварения . ^[7] Животные используют свои зубы , чтобы измельчать пищу на более мелкие частицы, увеличивая площадь поверхности, доступную для переваривания. ^[8] Эпителиальная ткань, выстилающая пищеварительный тракт, содержит микроворсинки , значительно увеличивающие площадь, доступную для всасывания. ^[9] У слонов большие уши , что позволяет им регулировать температуру собственного тела. ^[10] В других случаях животным придется минимизировать площадь поверхности; ^[11] например, в холодную погоду люди складывают руки на груди, чтобы минимизировать потери тепла.

Отношение площади поверхности к объему (SA:V) клетки накладывает верхние ограничения на размер, поскольку объем увеличивается намного быстрее, чем площадь поверхности, тем самым ограничивая скорость, с которой вещества диффундируют изнутри через клеточную мембрану в интерстициальные пространства. или в другие ячейки. ^[12] Действительно, если представить ячейку как идеализированную сферу радиуса $r$ , то объём и площадь поверхности равны соответственно $V = (4/3) πr 3$ и $SA = 4 πr 2$ . Таким образом, результирующее отношение площади поверхности к объему составляет $3/ r$ . Таким образом, если ячейка имеет радиус 1 мкм, соотношение SA:V равно 3; тогда как если радиус ячейки составляет 10 мкм, то соотношение SA:V становится 0,3. При радиусе ячейки 100 соотношение SA:V составляет 0,03. Таким образом, площадь поверхности резко падает с увеличением объема.

См. также [ править ]

Длина периметра
Проектируемая площадь
Теория БЭТ , методика измерения удельной поверхности материалов.
Сферическая площадь
Поверхностный интеграл

Ссылки [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Площадь поверхности» . Математический мир .
^ «Парадокс Шварца» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 4 марта 2016 года . Проверено 21 марта 2017 г.
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 15 декабря 2011 года . Проверено 24 июля 2012 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
^ Роррес, Крис. «Гробница Архимеда: Источники» . Курантовский институт математических наук. Архивировано из оригинала 9 декабря 2006 года . Проверено 2 января 2007 г.
^ Наср, Сомайе; Планнетт, Кевин П. (20 февраля 2014 г.). «Кинетика восстановления железной руды метаном при химическом петлевом сжигании» . Энергетика и топливо . 28 (2): 1387–1395. дои : 10.1021/ef402142q . ISSN 0887-0624 .
^ Помар, Патрик; Вайе, Жак; Кулари, Бенедикт; Шеффер, Жак; Субанье, Винсент; Мюллер, Дэвид М.; Брет, Даниэль; ди Раго, Жан-Поль; Велюр, Жан (1 февраля 2002 г.). «АТФ-синтаза участвует в формировании морфологии митохондриальных крист» . Журнал ЭМБО . 21 (3): 221–230. дои : 10.1093/emboj/21.3.221 . ПМЦ 125827 . ПМИД 11823415 .
^ Нарасимхан, Арунн (1 июля 2008 г.). «Почему у слонов большие уши?» . Резонанс . 13 (7): 638–647. дои : 10.1007/s12045-008-0070-5 . ISSN 0973-712X .
^ Фехер, Джозеф (2012), «Рот и пищевод» , Количественная физиология человека , Elsevier, стр. 689–700, doi : 10.1016/b978-0-12-382163-8.00077-3 , ISBN 978-0-12-382163-8 , получено 30 марта 2024 г.
^ «Микровиллы | Описание, анатомия и функции | Британника» . www.britanica.com . Проверено 30 марта 2024 г.
^ Райт, П.Г. (1984). «Почему слоны хлопают ушами?» . Африканская зоология . 19 (4): 266–269. ISSN 2224-073X .
^ Стокс, Джоди М.; Тейлор, Найджел А.С.; Типтон, Майкл Дж.; Гринлиф, Джон Э. (1 мая 2004 г.). «Физиологические реакции человека на воздействие холода» . Авиационная, космическая и экологическая медицина . 75 (5): 444–457. ПМИД 15152898 .
^ Дивер, Джеймс Р. (1 ноября 1978 г.). «Моделирование ограничений размера ячейки» . Американский учитель биологии . 40 (8): 502–504. дои : 10.2307/4446369 . ISSN 0002-7685 . JSTOR 4446369 .

Ю.Д. Бураго; В.А. Залгаллер; Л.Д. Кудрявцев (2001) [1994], «Площадь» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Внешние ссылки [ править ]

Видео площади поверхности в Thinkwell

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Площадь поверхности» . Математический мир .

[sch1-2] «Парадокс Шварца» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 4 марта 2016 года . Проверено 21 марта 2017 г.

[sch2-3] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 15 декабря 2011 года . Проверено 24 июля 2012 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[4] Роррес, Крис. «Гробница Архимеда: Источники» . Курантовский институт математических наук. Архивировано из оригинала 9 декабря 2006 года . Проверено 2 января 2007 г.

[5] Наср, Сомайе; Планнетт, Кевин П. (20 февраля 2014 г.). «Кинетика восстановления железной руды метаном при химическом петлевом сжигании» . Энергетика и топливо . 28 (2): 1387–1395. дои : 10.1021/ef402142q . ISSN 0887-0624 .

[6] Помар, Патрик; Вайе, Жак; Кулари, Бенедикт; Шеффер, Жак; Субанье, Винсент; Мюллер, Дэвид М.; Брет, Даниэль; ди Раго, Жан-Поль; Велюр, Жан (1 февраля 2002 г.). «АТФ-синтаза участвует в формировании морфологии митохондриальных крист» . Журнал ЭМБО . 21 (3): 221–230. дои : 10.1093/emboj/21.3.221 . ПМЦ 125827 . ПМИД 11823415 .

[7] Нарасимхан, Арунн (1 июля 2008 г.). «Почему у слонов большие уши?» . Резонанс . 13 (7): 638–647. дои : 10.1007/s12045-008-0070-5 . ISSN 0973-712X .

[8] Фехер, Джозеф (2012), «Рот и пищевод» , Количественная физиология человека , Elsevier, стр. 689–700, doi : 10.1016/b978-0-12-382163-8.00077-3 , ISBN 978-0-12-382163-8 , получено 30 марта 2024 г.

[9] «Микровиллы | Описание, анатомия и функции | Британника» . www.britanica.com . Проверено 30 марта 2024 г.

[10] Райт, П.Г. (1984). «Почему слоны хлопают ушами?» . Африканская зоология . 19 (4): 266–269. ISSN 2224-073X .

[11] Стокс, Джоди М.; Тейлор, Найджел А.С.; Типтон, Майкл Дж.; Гринлиф, Джон Э. (1 мая 2004 г.). «Физиологические реакции человека на воздействие холода» . Авиационная, космическая и экологическая медицина . 75 (5): 444–457. ПМИД 15152898 .

[12] Дивер, Джеймс Р. (1 ноября 1978 г.). «Моделирование ограничений размера ячейки» . Американский учитель биологии . 40 (8): 502–504. дои : 10.2307/4446369 . ISSN 0002-7685 . JSTOR 4446369 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]