Сферический лунник
В сферической геометрии сферическая луна (или биугл ) — это область на сфере, ограниченная двумя полубольшими кругами , которые встречаются в противоположных точках . [1] Это пример двуугольника {2} θ с двугранным углом θ. [2] Слово «луна» происходит от слова «луна » , латинского обозначающего луну.
Характеристики
[ редактировать ]Большие круги — это максимально большие круги (окружности) сферы ; каждый из них делит поверхность сферы на две равные половины. Два больших круга всегда пересекаются в двух полярно противоположных точках.
Распространенными примерами больших кругов являются линии долготы ( меридианы ) на сфере, которые встречаются на северном и южном полюсах.
Сферическая луна имеет две плоскости симметрии. Его можно разделить пополам на две луны половинного угла, а можно разделить пополам экваториальной линией на два прямоугольных сферических треугольника.
Площадь поверхности
[ редактировать ]
Площадь поверхности сферической луны равна 2θ R. 2 , где R — радиус сферы, а θ — двугранный угол в радианах между двумя полубольшими кругами.
Когда этот угол равен 2π радиан (360°) — т. е. когда вторая половина большого круга прошла полный круг, а луна между ними покрывает сферу как сферический моногон — формула площади для сферической луны дает 4π R 2 , площадь поверхности сферы .
Примеры
[ редактировать ]Осоэдр – это замощение сферы лунами. n-угольный правильный осоэдр {2,n} имеет n равных лунок по π/ n радиан. n , -осоэдр имеет диэдральную симметрию D n h , [ n 2], (*22 n ) порядка 4 n . Каждая лунка в отдельности имеет циклическую симметрию C 2v , [2], (*22) 4-го порядка.
Каждый осоэдр можно разделить биссектрисой на два равных сферических треугольника .
| н | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Осоэдры |  |  |  |  |  | ... |
| Бипирамидальный плитка |  |  |  |  |  | ... |
Астрономия
[ редактировать ]
Видимо освещенная часть Луны , видимая с Земли, представляет собой сферическую луну. Первый из двух пересекающихся больших кругов — это терминатор между освещенной солнцем половиной Луны и темной половиной. Второй большой круг — это земной терминатор, отделяющий видимую половину Земли от невидимой половины. Сферический лунный свет представляет собой освещенный полумесяц , видимый с Земли.
n- сферические луны
[ редактировать ]
Луны также могут быть определены в сферах более высоких измерений.
В 4-х измерениях 3-сфера является обобщенной сферой. Он может содержать правильные двуугольные лунки в виде {2} θ,φ , где θ и φ — два двугранных угла.
Например, правильный гомотоп {2,p,q} имеет двуугольные грани, {2} 2π/p,2π/q , где его вершинная фигура представляет собой сферическое платоновое тело , {p,q}. Каждая вершина {p,q} определяет ребро в гомотопе, а соседние пары этих ребер определяют лунные грани. Или, более конкретно, правильный гомотоп {2,4,3} имеет 2 вершины, 8 дуговых ребер по 180° в кубе , {4,3}, фигуру вершины между двумя вершинами, 12 лунных граней, {2} π/ 4,π/3 , между парами соседних ребер и 6 осоэдрическими клетками, {2,p} π/3 .
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Дэвис, Элвин Х. (1999). «Площадь сферических треугольников». Учитель математики . 92 (2): 150–153. дои : 10.5951/MT.92.2.0150 . JSTOR 27970882 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Сферическая луна» . Математический мир .
- Бейер, Стандартные математические таблицы WH CRC , 28-е изд. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press, стр. 130, 1987.
- Харрис, Дж. У. и Стокер, Х. «Сферический клин». §4.8.6 в Справочнике по математике и информатике. Нью-Йорк: Springer-Verlag, с. 108, 1998.
- Геллерт, В.; Готвальд, С.; Хеллвич, М.; Кестнер, Х.; и Кюнстнер Х. (ред.). Краткая математическая энциклопедия VNR , 2-е изд. Нью-Йорк: Ван Ностранд Рейнхольд, с. 262, 1989.