Сферическая геометрия

Сумма углов сферического треугольника не равна 180°. Сфера — это искривленная поверхность, но локально законы плоской (плоской) евклидовой геометрии являются хорошим приближением. В маленьком треугольнике на поверхности Земли сумма углов лишь немногим превышает 180 градусов.

Сфера со сферическим треугольником на ней.

Сферическая геометрия или сферики (от древнегреческого σφαιρικά ) — геометрия двумерной . поверхности сферы или n -мерная поверхность сфер более высокой размерности .

, давно изучаемые с целью ее практического применения в астрономии , навигации и геодезии Сферическая геометрия и метрические инструменты сферической тригонометрии , во многих отношениях аналогичны евклидовой плоской геометрии и тригонометрии , но также имеют некоторые важные различия.

Сферу можно изучать либо внешне как поверхность, встроенную в трехмерное евклидово пространство (часть изучения твердотельной геометрии ), либо внутренне, используя методы, которые включают только саму поверхность без привязки к какому-либо окружающему пространству.

Принципы

В плоской (евклидовой) геометрии основными понятиями являются точки и (прямые) линии . В сферической геометрии основными понятиями являются точка и большой круг . Однако два больших круга на плоскости пересекаются в двух противоположных точках, в отличие от копланарных линий в эллиптической геометрии .

Во внешней трехмерной картине большой круг — это пересечение сферы с любой плоскостью через центр. При внутреннем подходе большой круг представляет собой геодезическую ; кратчайший путь между любыми двумя его точками, если они расположены достаточно близко. Или, в (также внутреннем) аксиоматическом подходе, аналогичном аксиомам плоской геометрии Евклида, «большой круг» - это просто неопределенный термин вместе с постулатами, устанавливающими основные отношения между большими кругами и также неопределенными «точками». Это то же самое, что метод Евклида, рассматривающий точку и линию как неопределенные примитивные понятия и аксиоматизирующий их отношения.

Большие круги во многом играют ту же логическую роль в сферической геометрии, что и линии в евклидовой геометрии, например, как стороны (сферических) треугольников. Это больше, чем аналогия; сферическая и плоская геометрия и другие могут быть объединены под эгидой геометрии, построенной на основе измерения расстояний , где «линии» определяются как кратчайшие пути (геодезические). Многие утверждения о геометрии точек и таких «линий» одинаково верны во всех этих геометриях при условии, что линии определены таким образом, и теорию можно легко распространить на более высокие измерения. Тем не менее, поскольку ее приложения и педагогика связаны с твердотельной геометрией и поскольку при обобщении теряются некоторые важные свойства линий на плоскости, сферическая геометрия обычно вообще не использует термин «линия» для обозначения чего-либо на самой сфере. При разработке в рамках твердотельной геометрии используются точки, прямые и плоскости (в евклидовом смысле) в окружающем пространстве.

В сферической геометрии углы определяются между большими кругами, в результате чего получается сферическая тригонометрия отличается от обычной тригонометрии , которая во многих отношениях ; например, сумма внутренних углов сферического треугольника превышает 180 градусов.

Связь с подобными геометриями

Поскольку сфера и плоскость геометрически различаются, (внутренняя) сферическая геометрия имеет некоторые черты неевклидовой геометрии и иногда описывается как таковая. Однако сферическая геометрия не считалась полноценной неевклидовой геометрией, достаточной для решения древней проблемы о том, является ли постулат параллельности логическим следствием остальных аксиом Евклида плоской геометрии, поскольку он требует модификации еще одной аксиомы. Вместо этого разрешение было найдено в эллиптической геометрии , с которой тесно связана сферическая геометрия, и гиперболической геометрии ; каждая из этих новых геометрий вносит разные изменения в постулат параллельности.

Принципы любой из этих геометрий можно распространить на любое количество измерений.

Важная геометрия, связанная с геометрией сферы, — это геометрия реальной проективной плоскости ; он получается путем определения антиподальных точек (пар противоположных точек) на сфере. Локально проективная плоскость обладает всеми свойствами сферической геометрии, но имеет другие глобальные свойства. В частности, он неориентируемый или односторонний, и в отличие от сферы его нельзя нарисовать как поверхность в трехмерном пространстве, не пересекая саму себя.

Концепции сферической геометрии также могут быть применены к продолговатой сфере , хотя в некоторые формулы необходимо внести небольшие изменения.

История

Греческая древность

Самый ранний математический труд античности, дошедший до нашего времени, — « О вращающейся сфере» (Περὶ κινουμένης σφαίρας, Peri kinoumenes sphairas ) Автолика Питанского , жившего в конце четвертого века до нашей эры.

Сферическая тригонометрия изучалась ранними греческими математиками, такими как Феодосий Вифинский , греческий астроном и математик, написавший «Сферику» , книгу по геометрии сферы. и Менелай Александрийский , написавший книгу по сферической тригонометрии под названием «Сфаерика» и развивший теорему Менелая .

Исламский мир

Смотрите также: Математика в средневековом исламе

«Книга неизвестных дуг сферы», написанная исламским математиком Аль-Джаяни, считается первым трактатом по сферической тригонометрии. В книге содержатся формулы правосторонних треугольников, общий закон синусов и решение сферического треугольника с помощью полярного треугольника.

Книга О треугольниках» Региомонтануса « , написанная около 1463 года, является первым чисто тригонометрическим трудом в Европе. Однако Джероламо Кардано спустя столетие отметил, что большая часть его материала по сферической тригонометрии была взята из работы андалузского ученого двенадцатого века Джабира ибн Афлаха .

Работа Эйлера

Леонард Эйлер опубликовал серию важных мемуаров по сферической геометрии:

• Л. Эйлер, Принципы сферической тригонометрии, извлеченные из метода наибольшего и наименьшего, Мемуары Берлинской академии наук 9 (1753), 1755, с. 233–257; Опера Омния, Серия 1, т. ХXVII, с. 277–308.
• Л. Эйлер, Элементы сфероидальной тригонометрии, взятые из метода наибольшего и наименьшего, Мемуары Берлинской академии наук 9 (1754), 1755, с. 258–293; Опера Омния, Серия 1, т. ХXVII, с. 309–339.
• Л. Эйлер, О спрямляемой кривой на сферической поверхности, Новые комментарии Петрополитической академии наук, 15, 1771, стр. 195–216; Opera Omnia, Серия 1, Том 28, стр. 142–160.
• Л. Эйлер, De mensura angulorum Solidorum, Acta academye scientiarum Imperialis Petropolitinae 2, 1781, с. 31–54; Опера Омния, Серия 1, т. 26, с. 204–223.
• Л. Эйлер, Построение проблемы некоего Паппи Александрини, Acta academiae scientiarum Imperialis Petropolitinae 4, 1783, с. 91–96; Опера Омния, Серия 1, т. 26, с. 237–242.
• Л. Эйлер, Geometrica et sphaerica quaedam, Mémoires de l'Académie des Sciences de Saint-Petersbourg 5, 1815, с. 96–114; Опера Омния, Серия 1, т. 26, с. 344–358.
• Л. Эйлер, Универсальная сферическая тригонометрия, кратко и ясно выведенная из первых принципов, Acta academye scientiarum Imperialis Petropolitinae 3, 1782, с. 72–86; Опера Омния, Серия 1, т. 26, с. 224–236.
• Л. Эйлер, Различные размышления о площади сферических треугольников, Nova Acta academia scientiarum Imperialis Petropolitinae 10, 1797, с. 47–62; Опера Омния, Серия 1, т. 29, с. 253–266.

Свойства

Сферическая геометрия обладает следующими свойствами:

• Любые два больших круга пересекаются в двух диаметрально противоположных точках, называемых антиподальными точками .
• Любые две точки, не являющиеся противоположными, образуют уникальный большой круг.
• Существует естественная единица измерения угла (основанная на обороте), естественная единица длины (основанная на длине окружности) и естественная единица площади (основанная на площади сферы).
• Каждый большой круг связан с парой противоположных точек, называемых его полюсами , которые являются общими пересечениями множества больших кругов, перпендикулярных ему. Это показывает, что большой круг с точки зрения измерения расстояния на поверхности сферы представляет собой круг: место расположения точек, находящихся на определенном расстоянии от центра.
• Каждой точке соответствует уникальный большой круг, называемый полярным кругом точки, который представляет собой большой круг на плоскости, проходящей через центр сферы и перпендикулярной диаметру сферы, проходящей через данную точку.

Поскольку на большом круге, который они определяют, есть две дуги, определяемые парой точек, которые не являются антиподальными, три неколлинеарные точки не определяют единственный треугольник. Однако если мы рассматриваем только треугольники, стороны которых являются малыми дугами больших кругов, мы имеем следующие свойства:

• Сумма углов треугольника больше 180° и меньше 540°.
• Площадь треугольника пропорциональна превышению суммы его углов над 180°.
• Два треугольника с одинаковой суммой углов равны по площади.
• Существует верхняя граница площади треугольников.
• Композицию (произведение) двух отражений через большой круг можно рассматривать как вращение вокруг любой из точек пересечения их осей.
• Два треугольника конгруэнтны тогда и только тогда, когда они соответствуют конечному произведению таких отражений.
• Два треугольника, у которых соответствующие углы равны, равны (т. е. все подобные треугольники равны).

Евклида

Если «линия» понимается как большой круг, сферическая геометрия подчиняется только двум из пяти постулатов Евклида : второму постулату («производить [продолжать] конечную прямую линию непрерывно по прямой») и четвертому постулату («что все прямые углы равны между собой»). Однако это нарушает остальные три. Вопреки первому постулату («между любыми двумя точками существует уникальный соединяющий их отрезок»), между любыми двумя точками не существует единственного кратчайшего маршрута ( антиподальные точки, такие как северный и южный полюса сферического земного шара, контрпримеры); вопреки третьему постулату, сфера не содержит кругов сколь угодно большого радиуса; и вопреки пятому (параллельному) постулату , не существует точки, через которую можно провести линию, которая никогда не пересекала бы данную линию.

Утверждение, эквивалентное постулату о параллельности, состоит в том, что существует треугольник, сумма углов которого равна 180°. Поскольку сферическая геометрия нарушает постулат параллельности, на поверхности сферы такого треугольника не существует. Сумма углов треугольника на сфере равна 180°(1 + 4 f ) , где f — часть поверхности сферы, заключенная в треугольник. Для любого положительного значения f это превышает 180°.

См. также

• Сферическая астрономия
• Сферическая коническая
• Сферическое расстояние
• Сферический многогранник
• Сферики
• Полусторонняя формула
• Ленарт сфера
• Я поворачиваюсь

Дальнейшее чтение

• Месерв, Брюс Э. (1983) [1959], Фундаментальные концепции геометрии , Дувр, ISBN  0-486-63415-9
• Пападопулос, Атанас (2015), Эйлер, сферическая геометрия и вариационное исчисление. В: Леонард Эйлер: математик, физик и теоретик музыки (реж. X. Хашер и А. Пападопулос) , CNRS Editions, Париж, ISBN.  978-2-271-08331-9
• Ван Браммелен, Глен (2013). Небесная математика: забытое искусство сферической тригонометрии . Издательство Принстонского университета . ISBN  9780691148922 . Проверено 31 декабря 2014 г.
• Рошди Рашед и Атанас Пападопулос (2017) Сферики Менелая: ранний перевод и версия аль-Махани / аль-Харави. Критическое издание Сферик Менелая из арабских рукописей с историческими и математическими комментариями , Серия Де Грюйтера : Scientia Graeco-Arabica 21 ISBN   978-3-11-057142-4

Внешние ссылки

• Геометрия сферы. Архивировано 21 июня 2011 г. в Wayback Machine. Университете Райса
• Вайсштейн, Эрик В. «Сферическая геометрия» . Математический мир .
• Sphaerica - геометрическая программа для построения на сфере