Гипотенуза

Прямоугольный треугольник и его гипотенуза

В геометрии гипотенузой лежащая называется сторона прямоугольного треугольника, против прямого угла . Это самая длинная сторона любого такого треугольника; две другие более короткие стороны такого треугольника называются катетами или катетами . Длину квадрат гипотенузы можно найти с помощью теоремы Пифагора , которая гласит, что длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух катетов. Математически это можно записать как $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, где а — длина одного катета, b — длина другого катета, а с — длина гипотенузы.

Например, если одна из катетов прямого угла имеет длину 3, а другая — 4, то сумма их квадратов равна 25 = 9 + 16 = 3 × 3 + 4 × 4. Так как 25 — это квадрат гипотенузы, длина гипотенузы равна квадратному корню из 25, то есть 5. Другими словами, если $a=3$ и $b=4$, затем $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}=5$.

Этимология

Слово гипотенуза происходит от греческого ἡ τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτείνουσα (ск. ἀποτείνος или καὶ ), что означает «[сторона] , стягивающая прямой угол» ( Аполлодор ), ὑποτείνουσα hupoteinousa - активное причастие настоящего женского рода от глагола ὑποτείνω hupo-teinō «растягивать ниже, стягивать», от τείνω teinō «растягивать, расширять». Номинальное причастие ἡ ὑποτείνουσα использовалось для обозначения гипотенузы треугольника в 4 веке до нашей эры (засвидетельствовано у Платона , Тимей 54d). Греческий термин был заимствован в поздней латыни , как гипотенуса . Написание -e , как гипотенузы , имеет французское происхождение ( Этьен де Ла Рош 1520).

Свойства и расчеты

Прямоугольный треугольник с гипотенузой с

В прямоугольном треугольнике гипотенузой называется сторона , противолежащая прямому углу , а две другие стороны называются катетами или катетами . Длину гипотенузы можно вычислить с помощью функции квадратного корня , подразумеваемой теоремой Пифагора . Он гласит, что сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы. В математических обозначениях, где соответствующие катеты обозначены a и b , а гипотенуза обозначена c , это записывается как $a^{2}+b^{2}=c^{2}$. Используя функцию квадратного корня в обеих частях уравнения, следует, что

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Как следствие теоремы Пифагора, гипотенуза — это самая длинная сторона любого прямоугольного треугольника; то есть гипотенуза длиннее любой из катетов треугольника. Например, если длины катетов a = 5 и b = 12, то сумма квадратов катетов равна (5×5) + (12×12) = 169, квадрат гипотенузы. Таким образом, длина гипотенузы равна квадратному корню из 169, обозначаемому ${\sqrt {169}}$, что равно 13.

Теорему Пифагора и, следовательно, эту длину также можно вывести из закона косинусов в тригонометрии . В прямоугольном треугольнике косинус угла равен отношению катета, прилежащего к углу, к гипотенузе. Для прямого угла γ (гамма), где соседний катет равен 0, косинус γ также равен 0. Закон косинусов формулирует следующее: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta$выполняется для некоторого угла θ (тета). Заметив, что угол напротив гипотенузы прямой, и отметив, что его косинус равен 0, то в этом случае θ = γ = 90 °:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta =a^{2}+b^{2}\implies c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Многие компьютерные языки поддерживают стандартную функцию ISO C hypot( x , y ), которая возвращает указанное выше значение. Функция предназначена для того, чтобы не дать сбоя там, где простой расчет может привести к переполнению или потере значения, и может быть немного более точным, а иногда и значительно медленнее.

Некоторые языки расширили это определение до более высоких измерений. Например, C++17 поддерживает ${\mbox{std::hypot}}(x,y,z)={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$; это дает длину диагонали прямоугольного кубоида с краями x , y и z . Python 3.8 расширен ${\mbox{math.hypot}}$ для обработки произвольного количества аргументов.

Некоторые научные калькуляторы предоставить функцию для преобразования прямоугольных координат в полярные координаты . Это дает как длину гипотенузы, так и угол , который гипотенуза образует с базовой линией ( c ₁ выше) одновременно, если заданы x и y . Возвращаемый угол обычно задается atan2 ( y , x ).

Тригонометрические отношения

С помощью тригонометрических соотношений можно получить значение двух острых углов: $\alpha \,$и $\beta \,$, прямоугольного треугольника.

Учитывая длину гипотенузы $c\,$и катета $b\,$, соотношение следующее:

${\frac {b}{c}}=\sin(\beta )\,$

Тригонометрическая обратная функция:

$\beta \ =\arcsin \left({\frac {b}{c}}\right)\,$

в котором $\beta \,$ угол, противоположный катету $b\,$.

Прилежащий угол катетов $b\,$ является $\alpha \,$ = 90° – $\beta \,$

Также можно получить значение угла $\beta \,$по уравнению:

$\beta \ =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\,$

в котором $a\,$ это другой катет.

См. также

• Катет
• Треугольник
• Космическая диагональ
• Негипотенузное число
• Геометрия такси
• Тригонометрия
• Специальные прямоугольные треугольники
• Пифагор
• Норма_(математика)#Евклидова_норма

Ссылки

• Гипотенуза в математической энциклопедии
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипотенуза» . Математический мир .