Негипотенузное число

В математике негипотенузное число — это натуральное число , квадрат которого нельзя представить в виде суммы двух ненулевых квадратов. Название происходит от того, что ребро длиной, равной негипотенузному числу, не может образовывать гипотенузу прямоугольного треугольника с целыми сторонами .

Числа 1, 2, 3 и 4 не являются гипотенузными числами. Однако число 5 не является негипотенузным числом, так как 5 ² равно 3 ² + 4 ².

Первые пятьдесят негипотенузных чисел:

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33, 36, 38, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 54, 56, 57, 59, 62, 63, 64, 66, 67, 69, 71, 72, 76, 77, 79, 81, 83, 84 ( последовательность A004144 в OEIS )

Хотя числа, не являющиеся гипотенузами, распространены среди небольших целых чисел, для больших чисел они становятся все более редкими. Тем не менее, существует бесконечно много негипотенузных чисел, и количество негипотенузных чисел, не превышающих значения x, асимптотически масштабируется с помощью x / √ log x . ^[1]

Негипотенузные числа — это числа, у которых нет простых делителей вида 4 k +1 . ^[2] Эквивалентно, это число, которое не может быть выражено в форме $K(m^{2}+n^{2})$ где K , m и n — положительные целые числа. Число, простые делители которого не все имеют форму 4 k +1, не может быть гипотенузой примитивного целочисленного прямоугольного треугольника (того, у которого стороны не имеют нетривиального общего делителя), но все же может быть гипотенузой нетривиального общего делителя. примитивный треугольник. ^[3]

Негипотенузные числа были применены для доказательства существования цепочек сложения , которые вычисляют первое число. $n$ квадратные числа, используя только $n+o(n)$ дополнения. ^[4]

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ ДС; Бейлер, Альберт Х. (1968), «Альберт Бейлер, Последовательные гипотенузы пифагорейских треугольников », Mathematics of Computing , 22 (103): 690–692, doi : 10.2307/2004563 , JSTOR 2004563 . Этот обзор рукописи Бейлера (которая позже была опубликована в J. Rec. Math. 7 (1974) 120–133, MR 0422125 ) приписывает эту связь Ландау.
^ Шанкс, Д. (1975), «Числа, не являющиеся гипотенузами», Fibonacci Quarterly , 13 (4): 319–321, MR 0387219 .
^ Бейлер, Альберт (1966), Отдых в теории чисел: Королева математики развлекает (2-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 116–117 , ISBN 978-0-486-21096-4
^ Добкин, Дэвид ; Липтон, Ричард Дж. (1980), «Методы цепочки сложения для оценки конкретных полиномов», SIAM Journal on Computing , 9 (1): 121–125, doi : 10.1137/0209011 , MR 0557832

Внешние ссылки [ править ]

Последовательность OEIS A004144 (числа без гипотенузы)
Последовательность OEIS A125667 (номера Eta)

[1] ДС; Бейлер, Альберт Х. (1968), «Альберт Бейлер, Последовательные гипотенузы пифагорейских треугольников », Mathematics of Computing , 22 (103): 690–692, doi : 10.2307/2004563 , JSTOR 2004563 . Этот обзор рукописи Бейлера (которая позже была опубликована в J. Rec. Math. 7 (1974) 120–133, MR 0422125 ) приписывает эту связь Ландау.

[2] Шанкс, Д. (1975), «Числа, не являющиеся гипотенузами», Fibonacci Quarterly , 13 (4): 319–321, MR 0387219 .

[3] Бейлер, Альберт (1966), Отдых в теории чисел: Королева математики развлекает (2-е изд.), Нью-Йорк: Dover Publications, стр. 116–117 , ISBN 978-0-486-21096-4

[4] Добкин, Дэвид ; Липтон, Ричард Дж. (1980), «Методы цепочки сложения для оценки конкретных полиномов», SIAM Journal on Computing , 9 (1): 121–125, doi : 10.1137/0209011 , MR 0557832

[1]

[2]

[3]

[4]