Число Якобсталя

В математике числа Якобсталя представляют собой целочисленную последовательность, названную в честь немецкого математика Эрнста Якобсталя . Как и родственные числа Фибоначчи , они представляют собой особый тип последовательности Люка. $U_{n}(P,Q)$ для которого P = 1 и Q = −2 — и определяются аналогичным рекуррентным соотношением : проще говоря, последовательность начинается с 0 и 1, затем каждое следующее число находится путем прибавления числа перед ним к удвоенному числу перед ним. Первые числа Якобсталя:

0 , 1 , 1, 3 , 5 , 11 , 21 , 43 , 85 , 171 , 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10923, 21845, 43691, 87381, 174763, 349525, … (последовательность А 001045 в OEIS )

Простое число Якобсталя — это число Якобсталя , которое также является простым . Первые простые числа Якобсталя:

3, 5, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, 201487636602438195784363, 8 45100400152152934331135470251, 56713727820156410577229101238628035243, … (последовательность A049883 в OEIS )

Числа Якобсталя

Числа Якобсталя определяются рекуррентным соотношением:

$J_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\J_{n-1}+2J_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}$

Следующее число Якобсталя также определяется рекурсивной формулой

$J_{n+1}=2J_{n}+(-1)^{n},$

или через

$J_{n+1}=2^{n}-J_{n}.$

Вторая формула рекурсии, приведенная выше, также удовлетворяется степенями 2 .

Число Якобсталя в определенной точке последовательности можно рассчитать непосредственно с помощью уравнения в замкнутой форме:

$J_{n}={\frac {2^{n}-(-1)^{n}}{3}}.$

чисел Производящая функция Якобсталя:

${\frac {x}{(1+x)(1-2x)}}.$

Сумма обратных чисел Якобсталя составляет примерно 2,7186, что немного больше e .

Числа Якобсталя можно расширить до отрицательных индексов, используя рекуррентное соотношение или явную формулу, давая

$J_{-n}=(-1)^{n+1}J_{n}/2^{n}$ (см. OEIS : A077925 )

Имеет место следующее тождество

$2^{n}(J_{-n}+J_{n})=3J_{n}^{2}$ (это OEIS : A139818 )

Числа Якобсталя–Лукаса

Числа Якобсталя – Лукаса представляют собой дополнительную последовательность Люка. $V_{n}(1,-2)$. Они удовлетворяют тому же рекуррентному соотношению, что и числа Якобсталя, но имеют разные начальные значения:

$j_{n}={\begin{cases}2&{\mbox{if }}n=0;\\1&{\mbox{if }}n=1;\\j_{n-1}+2j_{n-2}&{\mbox{if }}n>1.\\\end{cases}}$

Следующее число Якобсталя – Лукаса также удовлетворяет:

$j_{n+1}=2j_{n}-3(-1)^{n}.\,$

Число Якобсталя-Люкаса в определенной точке последовательности можно рассчитать непосредственно с помощью уравнения замкнутой формы:

$j_{n}=2^{n}+(-1)^{n}.\,$

Первые числа Якобсталя – Лукаса:

2 , 1 , 5 , 7 , 17 , 31 , 65 , 127 , 257 , 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16385, 32767, 65537 , 131071, 262145, 524287, 1048, 577, … (последовательность A014551 в OEIS ) .

Продолговатые числа Якобсталя

Первые продолговатые числа Якобсталя: 0, 1, 3, 15, 55, 231, 903, 3655, 14535, 58311, … (последовательность A084175 в OEIS )

$Jo_{n}=J_{n}J_{n+1}$