Колоссально большое количество

Сигма-функция σ ₁ ( n ) до n = 250

первичной мощности Факторы

В теории чисел ( колоссально многочисленное число иногда сокращенно CA ) — это натуральное число , которое в особом, строгом смысле имеет множество делителей . В частности, оно определяется соотношением суммы делителей целого числа и этого целого числа, возведенного в степень выше единицы. Для любого такого показателя степень, какое бы целое число ни имело наибольшее отношение, является колоссально большим числом. Это более сильное ограничение, чем ограничение избыточного числа , но не строго более сильное, чем ограничение избыточного числа .

Формально число n называется колоссально многочисленным, если существует ε > 0 такое, что для всех k > 1

${\frac {\sigma (n)}{n^{1+\varepsilon }}}\geq {\frac {\sigma (k)}{k^{1+\varepsilon }}}$

где σ обозначает функцию суммы делителей .

Первые 15 чрезвычайно многочисленных чисел: 2 , 6 , 12 , 60 , 120 , 360 , 2520 , 5040 , 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 (послед. ence A004490 в OEIS ) также являются первыми 15 высококлассными составные числа , но ни один из наборов не является подмножеством другого.

История

Диаграмма Эйлера чисел до 100:

   Обильный

   Примитивное изобилие

   Очень обильный

   Сверхобильные и очень сложные

   Колоссально обильный и превосходный высококомпозитный

   Странный

   Идеальный

   Композитный

   Дефицит

Колоссально многочисленные числа были впервые изучены Рамануджаном , и его выводы планировалось включить в его статью 1915 года о сложных числах . К сожалению, издатель журнала, в который Рамануджан представил свою работу, Лондонское математическое общество , в то время испытывал финансовые трудности, и Рамануджан согласился удалить некоторые аспекты работы, чтобы снизить стоимость печати. Его выводы были в основном обусловлены гипотезой Римана , и с этим предположением он нашел верхние и нижние границы размера колоссально обильных чисел и доказал , что то, что впоследствии стало известно как неравенство Робина (см. Ниже), справедливо для всех достаточно больших значений n. .

Класс чисел был пересмотрен в несколько более строгой форме в статье Леонидаса Алаоглу и Пола Эрдеша 1944 года , в которой они попытались расширить результаты Рамануджана.

Свойства

Колоссально многочисленные числа — один из нескольких классов целых чисел , которые пытаются уловить идею наличия множества делителей. Для положительного целого числа n функция суммы делителей σ( n ) дает сумму всех тех чисел, которые делят n , включая 1 и само n . Пол Бахманн показал, что в среднем σ( n ) составляет около π. ² н /6. Тем временем теорема Грёнвалля утверждает, что максимальный порядок σ( n ) немного больше, в частности, существует возрастающая последовательность целых чисел n такая, что для этих целых чисел σ( n ) примерно того же размера, что и e ^с n log(log( n )), где γ — константа Эйлера–Машерони . Следовательно, колоссально обильные числа отражают идею наличия множества делителей, требуя от них максимизировать для некоторого ε > 0 значение функции

${\frac {\sigma (n)}{n^{1+\varepsilon }}}$

по всем значениям n . Результаты Бахмана и Грёнволла гарантируют, что для каждого ε > 0 эта функция имеет максимум и что по мере стремления ε к нулю эти максимумы будут увеличиваться. Таким образом, существует бесконечно много колоссально обильных чисел, хотя они и довольно редки: только 22 из них меньше 10. ¹⁸ .

Как и в случае с превосходящими весьма составными числами, эффективная конструкция множества всех колоссально обильных чисел дается следующим монотонным отображением положительных действительных чисел . Позволять

$e_{p}(\varepsilon )=\left\lfloor {\frac {\ln \left(1+\displaystyle {\frac {p-1}{p^{1+\varepsilon }-p}}\right)}{\ln p}}\right\rfloor \quad$

для любого простого числа p и положительного вещественного числа $\varepsilon$. Затем

$\quad s(\varepsilon )=\prod _{p\in \mathbb {P} }p^{e_{p}(\varepsilon )}\$ это колоссально большое число.

Для каждого ε указанная выше функция имеет максимум, но не очевидно и фактически неверно, что для каждого ε это максимальное значение уникально. Алаоглу и Эрдеш изучали, сколько разных значений n может дать одно и то же максимальное значение указанной выше функции для заданного значения ε. Они показали, что для большинства значений ε будет одно целое число n, максимизирующее функцию. Однако позже Эрдеш и Жан-Луи Николя показали, что для определенного набора дискретных значений ε могут быть два или четыре разных значения n , дающих одно и то же максимальное значение.

В своей статье 1944 года Алаоглу и Эрдеш предположили , что отношение двух последовательных колоссально многочисленных чисел всегда является простым числом. Они показали, что это следует из частного случая гипотезы о четырех экспонентах в теории трансцендентных чисел , а именно из того, что для любых двух различных простых чисел p и q единственные действительные числа t , для которых оба p ^т и q ^т являются рациональными целые положительные числа. Используя соответствующий результат для трех простых чисел, который, как заверил их Сигел , верен. - частный случай теоремы о шести экспонентах, доказанной в 1960-х годах. Серж Ланг и К. Рамачандра — им удалось показать, что частное двух последовательных колоссально многочисленных чисел всегда является либо простым, либо полупростым (то есть числом всего с двумя простыми делителями ). Частное никогда не может быть квадратом простого числа.

Гипотеза Алаоглу и Эрдеша остается открытой, хотя она проверена как минимум с 10 ⁷ . Если бы это было правдой, это означало бы, что существовала последовательность неразличимых простых чисел p ₁ , p ₂ , p ₃ ,... такая, что n -е колоссально большое число имело вид

$c_{n}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}$

Если предположить, что гипотеза верна, эта последовательность простых чисел начинается с 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 (последовательность A073751 в OEIS ). Гипотеза Алаоглу и Эрдеша также будет означать, что никакое значение ε не дает четыре разных целых числа n как максимумы вышеуказанной функции.

Отношение к обильному количеству

Подобно сверхизобилующим числам , колоссально обильные числа являются обобщением обильных чисел . Как и сверхизбыточные числа, это не строгое обобщение; число может быть колоссально многочисленным, но не быть изобильным. Это верно в случае 6; Делителями числа 6 являются 1,2,3 и 6, но обильное число определяется как число, в котором сумма делителей, исключая его , больше самого числа; 1+2+3=6, поэтому это условие не выполняется (а 6 — совершенное число ). Однако все колоссально изобилующие числа являются также и сверхизобилующими числами.

Римана

В 1980-е годы Гай Робин показал что гипотеза Римана эквивалентна утверждению о том, что следующее неравенство справедливо для всех n > 5040 : (где γ — константа Эйлера–Машерони )

$\sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n\approx 1.781072418n\log \log n\,$

Известно, что это неравенство не выполняется для 27 чисел (последовательность A067698 в OEIS ):

2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 16, 18, 20, 24, 30, 36, 48, 60, 72, 84, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 2520, 5040

Робин показал, что если гипотеза Римана верна, то n = 5040 — последнее целое число, для которого она неверна. Это неравенство теперь известно как неравенство Робина после его работы. Известно, что неравенство Робина, если оно когда-либо перестанет выполняться, то не будет выполнено для колоссально большого числа n ; таким образом, гипотеза Римана фактически эквивалентна неравенству Робина, справедливому для любого колоссально большого числа n > 5040.

В 2001–2 Лагариасе продемонстрировал альтернативную форму утверждения Робина, не требующую исключений, с использованием чисел гармоник вместо журнала:

$\sigma (n)<H_{n}+\exp(H_{n})\log(H_{n})$

Или, кроме 8 исключений n = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 24, 60:

$\sigma (n)<\exp(H_{n})\log(H_{n})$

Внешние ссылки

• Кейт Бриггс о колоссальных числах и гипотезе Римана
• Запись в MathWorld
• Замечания о гипотезе Римана и обильных числах
• Подробнее о формулировке RH Робином