Номер торта

Анимация, показывающая плоскости разреза, необходимые для разрезания торта на 15 частей по 4 ломтика (что соответствует пятому номеру торта). Четырнадцать частей будут иметь внешнюю поверхность с одним тетраэдром , вырезанным из середины.

В математике число торта , обозначаемое Cn _{, представляет} собой максимальное количество областей, на которые трехмерный куб можно разделить ровно n плоскостями . Число торта названо так потому, что каждое разбиение куба плоскостью можно представить как срез, сделанный ножом через торт в форме куба . Это трехмерный аналог последовательности ленивого поставщика провизии .

Значения C _n для n = 0, 1, 2,... задаются как 1 , 2 , 4 , 8 , 15 , 26, 42, 64, 93, 130, 176, 232,... (последовательность A000125 в ОЭИС ).

Общая формула

Если н ! обозначает факториал обозначают , а биномиальные коэффициенты через

${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},$

и мы предполагаем, что n для разделения куба доступно плоскостей, тогда n -е число торта равно:

$C_{n}={n \choose 3}+{n \choose 2}+{n \choose 1}+{n \choose 0}={\tfrac {1}{6}}\!\left(n^{3}+5n+6\right)={\tfrac {1}{6}}(n+1)\left(n(n-1)+6\right).$

Свойства

Числа тортов — это трёхмерный аналог двумерной последовательности ленивого поставщика провизии . Разница между последовательными номерами тортов также дает последовательность ленивого поставщика провизии.

Номера тортов (синие) и другие OEIS последовательности в треугольнике Бернулли.

В четвертом столбце треугольника Бернулли ( k = 3) указаны номера тортов для n разрезов, где n ≥ 3.

Альтернативно последовательность может быть получена из суммы до первых четырех членов каждой строки треугольника Паскаля :

к н	0	1	2	3		Сумма
1	1	—	—	—		1
2	1	1	—	—		2
3	1	2	1	—		4
4	1	3	3	1		8
5	1	4	6	4		15
6	1	5	10	10		26
7	1	6	15	20		42
8	1	7	21	35		64
9	1	8	28	56		93
10	1	9	36	84		130

Другие приложения

В n пространственных (не пространственно-временных) измерениях уравнения Максвелла представляют собой $C_{n}$ различные независимые вещественные уравнения.

Внешние ссылки

• Эрик Вайсштейн. «Деление космоса самолетами» . Математический мир . Проверено 14 января 2021 г.
• Эрик Вайсштейн. «Торт номер» . Математический мир . Проверено 14 января 2021 г.