Центрированный номер куба

Центрированный номер куба

35 точек в объемноцентрированной кубической решетке, образующих два кубических слоя вокруг центральной точки.
Всего нет. терминов	Бесконечность
Последовательность ​	Многогранные числа
Формула	$n^{3}+(n+1)^{3}$
Первые сроки	1 , 9 , 35 , 91 , 189 , 341 , 559
ОЭИС Индекс	А005898 Центрированный куб

Центрированное число куба - это центрированное фигурное число , которое подсчитывает точки в трехмерном узоре, образованном точкой, окруженной концентрическими кубическими слоями точек, с i ² точки на квадратных гранях i -го слоя. Эквивалентно, это количество точек в объемно-центрированном кубическом узоре внутри куба, который имеет n + 1 точку вдоль каждого из его ребер.

Первые несколько центрированных чисел куба равны

1 , 9 , 35 , 91 , 189 , 341, 559, 855, 1241, 1729 , 2331, 3059, 3925, 4941, 6119, 7471, 9009, ... (последовательность A005898 в OEIS ).

Формулы

Число центрированного куба для узора с n концентрическими слоями вокруг центральной точки определяется по формуле

$n^{3}+(n+1)^{3}=(2n+1)\left(n^{2}+n+1\right).$

То же число можно также выразить как трапециевидное число (разность двух треугольных чисел ) или сумму последовательных чисел, как

${\binom {(n+1)^{2}+1}{2}}-{\binom {n^{2}+1}{2}}=(n^{2}+1)+(n^{2}+2)+\cdots +(n+1)^{2}.$

Свойства

Благодаря факторизации (2 n + 1)( n ² + n + 1) число центрированного куба не может быть простым числом . Единственные центрированные числа куба, которые также являются квадратными числами, — это 1 и 9. что можно показать, решив x ² = и ³ + 3 y , единственными целочисленными решениями являются (x,y) из {(0,0), (1,2), (3,6), (12,42)}. Подставляя a=(x-1) /2 и b=y/2, мы получаем x^2=2y^3+3y^2+3y+1. Это дает только (a,b) из {(-1/2,0), (0,1), (1,3), (11/2,21)}, где a,b — полуцелые числа.

См. также

• Номер куба

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Число центрированного куба» . Математический мир .