Вежливый номер

В теории чисел — вежливое число это целое положительное число , которое можно записать как сумму двух или более последовательных положительных целых чисел. Положительное целое число, которое невежливо, называется невежливым . ^[1]^[2] Невежливые числа — это в точности степени двойки , а вежливые числа — это натуральные числа , не являющиеся степенями двойки.

Вежливые числа также называют лестничными числами , потому что диаграммы Юнга , которые графически представляют разбиение вежливого числа на последовательные целые числа (во французской нотации рисования этих диаграмм), напоминают лестницы . ^[3]^[4]^[5] Если все числа в сумме строго больше единицы, образованные таким образом числа также называются трапециевидными числами, поскольку они представляют собой набор точек, расположенных в виде трапеции . ^[6]^[7]^[8]^[9]^[10]^[11]^[12]

Проблема представления чисел в виде суммы последовательных целых чисел и подсчета числа представлений этого типа изучалась Сильвестром . ^[13] Мейсон, ^[14]^[15] Левек , ^[16] и многие другие более поздние авторы. ^[1]^[2]^[17]^[18]^[19]^[20]^[21]^[22]^[23] Вежливые числа описывают возможные числа сторон многоугольников Рейнхардта . ^[24]

Примеры и характеристики

Первые несколько вежливых цифр:

3, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, ... (последовательность A138591 в OEIS ).

Невежливые числа — это в точности степени двойки . ^[13] следует Из теоремы Ламбека–Мозера , что n -е вежливое число — это f ( n + 1), где

f(n)=n+\left\lfloor \log _{2}\left(n+\log _{2}n\right)\right\rfloor .

Вежливость

Вежливость положительного числа определяется как количество способов, которыми оно может быть выражено в виде суммы последовательных целых чисел. Для каждого x вежливость x равна количеству нечетных делителей x , больших единицы. ^[13] Вежливость цифр 1, 2, 3, ...

0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 3, ... (последовательность A069283 в ОЭИС ).

Например, вежливость числа 9 равна 2, потому что оно имеет два нечетных делителя, 3 и 9, и два вежливых представления.

9 = 2 + 3 + 4 = 4 + 5;

вежливость числа 15 равна 3, потому что оно имеет три нечетных делителя: 3, 5 и 15, и (как это известно игрокам в криббедж ) ^[25] три вежливых представления

15 = 4 + 5 + 6 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 7 + 8.

Простой способ расчета вежливости положительного числа путем разложения числа на его простые множители , взяв степени всех простых множителей больше 2, прибавив ко всем из них 1, умножив полученные таким образом числа друг на друга и вычитая 1. Например, 90 имеет вежливость 5, потому что $90=2\times 3^{2}\times 5^{1}$ ; степени 3 и 5 равны соответственно 2 и 1, и применение этого метода $(2+1)\times (1+1)-1=5$ .

Построение вежливых представлений из нечетных делителей.

Чтобы увидеть связь между нечетными делителями и вежливыми представлениями, предположим, что число x имеет нечетный делитель y > 1. Тогда y последовательных целых чисел с центром в x / y (так что их среднее значение равно x / y ) имеют x как свою сумму:

x=\sum _{i={\frac {x}{y}}-{\frac {y-1}{2}}}^{{\frac {x}{y}}+{\frac {y-1}{2}}}i.

Некоторые члены этой суммы могут быть нулевыми или отрицательными. Однако, если термин равен нулю, его можно опустить, а любые отрицательные термины можно использовать для отмены положительных, что приведет к корректному представлению x . (Требование, чтобы y > 1, соответствовало требованию, чтобы вежливое представление имело более одного термина; применение той же конструкции для y = 1 просто привело бы к тривиальному одночленному представлению x = x .)Например, вежливое число x = 14 имеет единственный нетривиальный нечетный делитель 7. Следовательно, оно представляет собой сумму 7 последовательных чисел с центром в 14/7 = 2:

14 = (2 − 3) + (2 − 2) + (2 − 1) + 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3).

Первый член, -1, отменяет более поздний +1, а второй член, ноль, можно опустить, что приводит к вежливому представлению.

14 = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + (2 + 3) = 2 + 3 + 4 + 5.

И наоборот, любое вежливое представление x может быть образовано из этой конструкции. Если представление имеет нечетное количество членов, x / y является средним термином, а если оно имеет четное количество членов и его минимальное значение равно m, оно может быть расширено уникальным способом до более длинной последовательности с той же суммой и нечетное количество терминов, включая 2 m - 1 чисел -( m - 1), -( m - 2), ..., -1, 0, 1, ..., m - 2, m - 1 .После этого расширения снова x / y является средним членом. Благодаря этой конструкции вежливые представления числа и его нечетных делителей, больших единицы, могут быть помещены во взаимно однозначное соответствие , давая взаимно однозначное доказательство характеристики вежливых чисел и вежливости. ^[13]^[26] В более общем смысле, та же идея дает соответствие два к одному между, с одной стороны, представлениями в виде суммы последовательных целых чисел (допускающих ноль, отрицательные числа и одночленные представления) и, с другой стороны, нечетными делителями (включая 1). ^[15]

Другое обобщение этого результата гласит, что для любого n количество разбиений n на нечетные числа, имеющие k различных значений, равно количеству разбиений n на различные числа, имеющие k максимальные серии последовательных чисел. ^[13]^[27]^[28] Здесь серия представляет собой одно или несколько последовательных значений, при этом следующее большее и следующее меньшее последовательные значения не являются частью раздела; например, раздел 10 = 1 + 4 + 5 имеет два пробега: 1 и 4 + 5.Вежливое представление имеет один проход, а раздел с одним значением d эквивалентен факторизации n как произведение d ⋅ ( n / d ), поэтому особый случай k = 1 этого результата снова утверждает эквивалентность между вежливыми представлениями. и нечетные множители (включая в данном случае тривиальное представление n = n и тривиальный нечетный множитель 1).

Трапецеидальные числа

Если вежливое представление начинается с 1, то представленное таким образом число представляет собой треугольное число.

T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}=1+2+\cdots +n.

В противном случае это разность двух непоследовательных треугольных чисел.

i+(i+1)+(i+2)+\cdots +j=T_{j}-T_{i-1}\quad (j>i\geq 2).

Этот второй случай называется трапециевидным числом. ^[12] Можно также рассмотреть вежливые числа, которые не являются трапециевидными. Единственными такими числами являются треугольные числа только с одним нетривиальным нечетным делителем, поскольку для этих чисел, согласно описанной ранее биекции , нечетный делитель соответствует треугольному представлению и других вежливых представлений быть не может. Таким образом, нетрапециевидное вежливое число должно иметь вид степени двойки, умноженной на нечетное простое число. Как отмечают Джонс и Лорд, ^[12] существует ровно два типа треугольных чисел такой формы:

четные совершенные числа 2 ^{п - 1}(2 ^н − 1) образовано произведением простого числа Мерсенна 2 ^н − 1 с половиной ближайшей степени двойки , и
продукты 2 ^{п - 1}(2 ^н + 1) простого числа Ферма 2 ^н + 1 с половиной ближайшей степени двойки.

(последовательность A068195 в OEIS ). Например, идеальное число 28 = 2. ^3 − 1(2 ³ − 1) и число 136 = 2 ^4 − 1(2 ⁴ + 1) оба являются вежливыми номерами этого типа. Предполагается, что существует бесконечно много простых чисел Мерсенна, и в этом случае существует также бесконечно много вежливых чисел этого типа.

Ссылки

↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Адамс, Кен (март 1993 г.), «Насколько вежлив x ?», The Mathematical Gazette , 77 (478): 79–80, doi : 10.2307/3619263 , JSTOR 3619263 , S2CID 171530924 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Григгс, Терри С. (декабрь 1991 г.), «Невежливые числа», The Mathematical Gazette , 75 (474): 442–443, doi : 10.2307/3618630 , JSTOR 3618630 , S2CID 171681914 .
^ Мейсон, Джон; Бертон, Леоне ; Стейси, Кэй (1982), Математическое мышление , Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-10238-3 .
^ Стейси, К .; Гровс, С. (1985), Стратегии решения проблем , Мельбурн: Широта .
^ Стейси, К .; Скотт, Н. (2000), «Ориентация на глубокую структуру при рассмотрении примеров: ключ к успешному решению проблем», в Карилло, Дж.; Контрерас, Л.К. (ред.), Решение проблем на заре 21 века: международный взгляд с разных точек зрения и уровней образования (PDF) , Уэльва, Испания: Эрг, стр. 119–147, заархивировано из оригинала (PDF) 26 июля 2008 г.
^ Геймер, Карлтон; Редер, Дэвид В.; Уоткинс, Джон Дж. (1985), «Трапециевидные числа», Mathematics Magazine , 58 (2): 108–110, doi : 10.2307/2689901 , JSTOR 2689901 .
^ Жан, Шарль-Э. (март 1991 г.), «Les nombres Trapézoidaux» (французский) , Bulletin de l'AMQ : 6–11 .
^ Хаггард, Пол В.; Моралес, Келли Л. (1993), «Обнаружение связей и закономерностей путем изучения трапециевидных чисел», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 24 (1): 85–90, doi : 10.1080/0020739930240111 .
^ Фейнберг-МакБрайан, Кэрол (1996), «Случай трапециевидных чисел», Учитель математики , 89 (1): 16–24, doi : 10.5951/MT.89.1.0016 .
^ ), «Трапециевидные числа», Математика в школе , 5:42 Смит, Джим ( 1997 .
^ Верхуфф, Т. (1999), «Прямоугольные и трапециевидные конструкции» , Журнал целочисленных последовательностей , 2 : 16, Бибкод : 1999JIntS...2...16V , Статья 99.1.6 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Джонс, Крис; Лорд, Ник (1999), «Характеристика нетрапециевидных чисел», The Mathematical Gazette , 83 (497): 262–263, doi : 10.2307/3619053 , JSTOR 3619053 , S2CID 125545112 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Сильвестр, Джей Джей ; Франклин, Ф. (1882), «Конструктивная теория разделов, состоящая из трех актов: взаимодействия и исхода» , American Journal of Mathematics , 5 (1): 251–330, doi : 10.2307/2369545 , JSTOR 2369545 . В собрании математических статей Джеймса Джозефа Сильвестра (декабрь 1904 г.) Х. Ф. Бейкера, изд. Сильвестр определяет класс разделения на отдельные целые числа как количество блоков последовательных целых чисел в разделе, поэтому в его обозначениях вежливое разделение имеет первый класс.
^ Мейсон, Т.Э. (1911), «О представлении числа как суммы последовательных целых чисел», Труды Академии наук Индианы : 273–274 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Мейсон, Томас Э. (1912), «О представлении целого числа как суммы последовательных целых чисел», American Mathematical Monthly , 19 (3): 46–50, doi : 10.2307/2972423 , JSTOR 2972423 , MR 1517654 .
^ Левек, WJ (1950), «О представлениях в виде суммы последовательных целых чисел», Canadian Journal of Mathematics , 2 : 399–405, doi : 10.4153/CJM-1950-036-3 , MR 0038368 , S2CID 124093945 ,
^ Понг, Вай Ян (2007), «Суммы последовательных целых чисел», College Math. J. , 38 (2): 119–123, arXiv : math/0701149 , Bibcode : 2007math......1149P , doi : 10.1080/07468342.2007.11922226 , MR 2293915 , S2CID 14169613 .
^ Бритт, Майкл Джей Си; Фрадин, Лилли; Филипс, Кэти; Фельдман, Дима; Купер, Леон Н. (2005), «О суммах последовательных целых чисел», Quart. Прил. Математика. , 63 (4): 791–792, doi : 10.1090/S0033-569X-05-00991-1 , MR 2187932 .
^ Френцен, CL (1997), «Доказательство без слов: суммы последовательных положительных целых чисел», Math. Маг. , 70 (4): 294, номер документа : 10.1080/0025570X.1997.11996560 , JSTOR 2690871 , MR 1573264 .
^ Гай, Роберт (1982), «Суммы последовательных целых чисел» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 20 (1): 36–38, Zbl 0475.10014 .
^ Апостол, Том М. (2003), «Суммы последовательных положительных целых чисел», The Mathematical Gazette , 87 (508): 98–101, doi : 10.1017/S002555720017216X , JSTOR 3620570 , S2CID 125202845 .
^ Прилипп, Роберт В.; Куензи, Норберт Дж. (1975), «Суммы последовательных положительных целых чисел», Учитель математики , 68 (1): 18–21, doi : 10.5951/MT.68.1.0018 .
^ Паркер, Джон (1998), «Суммы последовательных целых чисел», Mathematics in School , 27 (2): 8–11 .
^ Моссингхофф, Майкл Дж. (2011), «Перечисление изодиаметрических и изопериметрических многоугольников», Журнал комбинаторной теории , серия A, 118 (6): 1801–1815, doi : 10.1016/j.jcta.2011.03.004 , MR 2793611
^ Грэм, Рональд ; Кнут, Дональд ; Паташник, Орен (1988), «Задача 2.30», Конкретная математика , Аддисон-Уэсли, с. 65, ISBN 978-0-201-14236-5 .
^ Вадерлинд, Пол ; Гай, Ричард К .; Ларсон, Лорен К. (2002), Пытливый решатель проблем , Математическая ассоциация Америки, стр. 205–206, ISBN 978-0-88385-806-6 .
^ Эндрюс, GE (1966), «Об обобщениях теоремы разделения Эйлера», Michigan Mathematical Journal , 13 (4): 491–498, doi : 10.1307/mmj/1028999609 , MR 0202617 .
^ Рамамани, В.; Венкатачалиенгар, К. (1972), «О теореме Сильвестра о разделе», The Michigan Mathematical Journal , 19 (2): 137–140, doi : 10.1307/mmj/1029000844 , MR 0304323 .

Внешние ссылки

Вежливые числа , NRICH, Кембриджский университет, декабрь 2002 г.
Знакомство с ранговыми суммами , Р. Нотт.
Есть ли закономерность в наборе трапециевидных чисел? Вопрос дня на сайте Intellectualism.org, 2 октября 2003 г. С диаграммой, показывающей трапециевидные числа, отмеченные цветом в зависимости от количества терминов в их разложениях.

[Adams1993-1] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Адамс, Кен (март 1993 г.), «Насколько вежлив x ?», The Mathematical Gazette , 77 (478): 79–80, doi : 10.2307/3619263 , JSTOR 3619263 , S2CID 171530924 .

[Griggs1991-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Григгс, Терри С. (декабрь 1991 г.), «Невежливые числа», The Mathematical Gazette , 75 (474): 442–443, doi : 10.2307/3618630 , JSTOR 3618630 , S2CID 171681914 .

[3] Мейсон, Джон; Бертон, Леоне ; Стейси, Кэй (1982), Математическое мышление , Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-10238-3 .

[4] Стейси, К .; Гровс, С. (1985), Стратегии решения проблем , Мельбурн: Широта .

[5] Стейси, К .; Скотт, Н. (2000), «Ориентация на глубокую структуру при рассмотрении примеров: ключ к успешному решению проблем», в Карилло, Дж.; Контрерас, Л.К. (ред.), Решение проблем на заре 21 века: международный взгляд с разных точек зрения и уровней образования (PDF) , Уэльва, Испания: Эрг, стр. 119–147, заархивировано из оригинала (PDF) 26 июля 2008 г.

[6] Геймер, Карлтон; Редер, Дэвид В.; Уоткинс, Джон Дж. (1985), «Трапециевидные числа», Mathematics Magazine , 58 (2): 108–110, doi : 10.2307/2689901 , JSTOR 2689901 .

[7] Жан, Шарль-Э. (март 1991 г.), «Les nombres Trapézoidaux» (французский) , Bulletin de l'AMQ : 6–11 .

[8] Хаггард, Пол В.; Моралес, Келли Л. (1993), «Обнаружение связей и закономерностей путем изучения трапециевидных чисел», Международный журнал математического образования в области науки и технологий , 24 (1): 85–90, doi : 10.1080/0020739930240111 .

[9] Фейнберг-МакБрайан, Кэрол (1996), «Случай трапециевидных чисел», Учитель математики , 89 (1): 16–24, doi : 10.5951/MT.89.1.0016 .

[10] ), «Трапециевидные числа», Математика в школе , 5:42 Смит, Джим ( 1997 .

[11] Верхуфф, Т. (1999), «Прямоугольные и трапециевидные конструкции» , Журнал целочисленных последовательностей , 2 : 16, Бибкод : 1999JIntS...2...16V , Статья 99.1.6 .

[JonesLord99-12] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с Джонс, Крис; Лорд, Ник (1999), «Характеристика нетрапециевидных чисел», The Mathematical Gazette , 83 (497): 262–263, doi : 10.2307/3619053 , JSTOR 3619053 , S2CID 125545112 .

[Sylvester-13] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Сильвестр, Джей Джей ; Франклин, Ф. (1882), «Конструктивная теория разделов, состоящая из трех актов: взаимодействия и исхода» , American Journal of Mathematics , 5 (1): 251–330, doi : 10.2307/2369545 , JSTOR 2369545 . В собрании математических статей Джеймса Джозефа Сильвестра (декабрь 1904 г.) Х. Ф. Бейкера, изд. Сильвестр определяет класс разделения на отдельные целые числа как количество блоков последовательных целых чисел в разделе, поэтому в его обозначениях вежливое разделение имеет первый класс.

[14] Мейсон, Т.Э. (1911), «О представлении числа как суммы последовательных целых чисел», Труды Академии наук Индианы : 273–274 .

[Mason1912-15] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Мейсон, Томас Э. (1912), «О представлении целого числа как суммы последовательных целых чисел», American Mathematical Monthly , 19 (3): 46–50, doi : 10.2307/2972423 , JSTOR 2972423 , MR 1517654 .

[16] Левек, WJ (1950), «О представлениях в виде суммы последовательных целых чисел», Canadian Journal of Mathematics , 2 : 399–405, doi : 10.4153/CJM-1950-036-3 , MR 0038368 , S2CID 124093945 ,

[17] Понг, Вай Ян (2007), «Суммы последовательных целых чисел», College Math. J. , 38 (2): 119–123, arXiv : math/0701149 , Bibcode : 2007math......1149P , doi : 10.1080/07468342.2007.11922226 , MR 2293915 , S2CID 14169613 .

[18] Бритт, Майкл Джей Си; Фрадин, Лилли; Филипс, Кэти; Фельдман, Дима; Купер, Леон Н. (2005), «О суммах последовательных целых чисел», Quart. Прил. Математика. , 63 (4): 791–792, doi : 10.1090/S0033-569X-05-00991-1 , MR 2187932 .

[19] Френцен, CL (1997), «Доказательство без слов: суммы последовательных положительных целых чисел», Math. Маг. , 70 (4): 294, номер документа : 10.1080/0025570X.1997.11996560 , JSTOR 2690871 , MR 1573264 .

[20] Гай, Роберт (1982), «Суммы последовательных целых чисел» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 20 (1): 36–38, Zbl 0475.10014 .

[21] Апостол, Том М. (2003), «Суммы последовательных положительных целых чисел», The Mathematical Gazette , 87 (508): 98–101, doi : 10.1017/S002555720017216X , JSTOR 3620570 , S2CID 125202845 .

[22] Прилипп, Роберт В.; Куензи, Норберт Дж. (1975), «Суммы последовательных положительных целых чисел», Учитель математики , 68 (1): 18–21, doi : 10.5951/MT.68.1.0018 .

[23] Паркер, Джон (1998), «Суммы последовательных целых чисел», Mathematics in School , 27 (2): 8–11 .

[24] Моссингхофф, Майкл Дж. (2011), «Перечисление изодиаметрических и изопериметрических многоугольников», Журнал комбинаторной теории , серия A, 118 (6): 1801–1815, doi : 10.1016/j.jcta.2011.03.004 , MR 2793611

[25] Грэм, Рональд ; Кнут, Дональд ; Паташник, Орен (1988), «Задача 2.30», Конкретная математика , Аддисон-Уэсли, с. 65, ISBN 978-0-201-14236-5 .

[26] Вадерлинд, Пол ; Гай, Ричард К .; Ларсон, Лорен К. (2002), Пытливый решатель проблем , Математическая ассоциация Америки, стр. 205–206, ISBN 978-0-88385-806-6 .

[27] Эндрюс, GE (1966), «Об обобщениях теоремы разделения Эйлера», Michigan Mathematical Journal , 13 (4): 491–498, doi : 10.1307/mmj/1028999609 , MR 0202617 .

[28] Рамамани, В.; Венкатачалиенгар, К. (1972), «О теореме Сильвестра о разделе», The Michigan Mathematical Journal , 19 (2): 137–140, doi : 10.1307/mmj/1029000844 , MR 0304323 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]