Полигон Рейнхардта

Четыре 15-сторонних многоугольников Рейнхардта (желтые), вписанные в многоугольники Рело (изогнутые черные внешние границы). Диаметры показаны в виде сегментов синей линии внутри каждого многоугольника.

В геометрии многоугольник Рейнхардта — это равносторонний многоугольник, вписанный в многоугольник Рело . Как и в правильных многоугольниках , каждая вершина многоугольника Рейнхардта участвует хотя бы в одной паре, определяющей диаметр многоугольника . Многоугольники Рейнхардта с $n$ стороны существуют, часто в нескольких формах, всякий раз, когда $n$ это не степень двойки . Среди всех полигонов с $n$ стороны, многоугольники Рейнхардта имеют максимально возможный периметр для своего диаметра, максимально возможную ширину для их диаметра и максимально возможную ширину для их периметра. Они названы в честь Карла Рейнхардта , изучавшего их в 1922 году.

Определение и конструкция

Многоугольник Рело представляет собой выпуклую форму со сторонами в форме дуги окружности, каждая из которых сосредоточена на вершине формы и все имеют одинаковый радиус; примером является треугольник Рело . Эти фигуры представляют собой кривые постоянной ширины . Некоторые многоугольники Рело имеют длины сторон, которые иррационально кратны друг другу, но если многоугольник Рело имеет стороны, которые можно разбить на систему дуг одинаковой длины, то многоугольник, образованный как выпуклая оболочка концов этих дуг, определяется как многоугольник Рейнхардта. Обязательно вершины базового многоугольника Рело также являются конечными точками дуг и вершин многоугольника Рейнхардта, но многоугольник Рейнхардта также может иметь дополнительные вершины, внутренние по отношению к сторонам многоугольника Рело.

Если $n$ является степенью двойки , то невозможно образовать многоугольник Рейнхардта с $n$ стороны. Если $n$ , нечетное число то правильный многоугольник с $n$ стороны — это многоугольник Рейнхардта. Любое другое натуральное число должно иметь нечетный делитель. $d$и многоугольник Рейнхардта с $n$ стороны могут быть образованы путем разделения каждой дуги правильного $d$двусторонний многоугольник Рело в $n/d$ меньшие дуги. Следовательно, возможные числа сторон многоугольников Рейнхардта — это вежливые числа , числа, не являющиеся степенями двойки. Когда $n$ является нечетным простым числом или дважды простым числом, существует только одна форма $n$односторонний многоугольник Рейнхардта, но все остальные значения $n$ иметь многоугольники Рейнхардта с несколькими формами.

Габариты и оптимальность

Пары диаметров многоугольника Рейнхардта образуют множество равнобедренных треугольников со сторонами треугольника с углом при вершине. $\pi /n$, по которому можно рассчитать размеры многоугольника. Если длина стороны многоугольника Рейнхардта равна 1, то его периметр равен всего лишь $n$. Диаметр многоугольника (самое длинное расстояние между любыми двумя его точками) равен длине стороны этих равнобедренных треугольников. $1/2\sin(\pi /2n)$. Кривые постоянной ширины многоугольника (кратчайшего расстояния между любыми двумя параллельными опорными линиями ) равны высоте этого треугольника, $1/2\tan(\pi /2n)$. Эти полигоны оптимальны по трем причинам:

• Они имеют самый большой периметр среди всех $n$односторонние многоугольники с указанием их диаметра и наименьшего возможного диаметра среди всех $n$Двухсторонние многоугольники с их периметром.
• Они имеют самую большую ширину среди всех $n$односторонние многоугольники с указанием их диаметра и наименьшего возможного диаметра среди всех $n$Двухсторонние многоугольники с указанием их ширины.
• Они имеют самую большую ширину среди всех $n$двусторонние многоугольники с указанием их периметра и наименьшего возможного периметра среди всех $n$Двухсторонние многоугольники с указанием их ширины.

Связь между периметром и диаметром этих многоугольников была доказана Рейнхардтом. и неоднократно открывались независимо друг от друга. Связь между диаметром и шириной была доказана Бездеком и Фодором в 2000 году; в их работе также исследуются оптимальные многоугольники для этой задачи, когда число сторон равно степени двойки (для которых многоугольников Рейнхардта не существует).

Симметрия и перечисление

The $n$-сторонние многоугольники Рейнхардта, образованные из $d$Односторонние правильные многоугольники Рело симметричны: их можно поворачивать на угол $2\pi /d$ чтобы получить тот же многоугольник. Многоугольники Рейнхардта, обладающие такой вращательной симметрией, называются периодическими , а многоугольники Рейнхардта без вращательной симметрии называются спорадическими . Если $n$ является полупростым числом или произведением степени двойки на нечетную степень простого числа , то все $n$Односторонние многоугольники Рейнхардта являются периодическими. В остальных случаях, когда $n$ имеет два различных нечетных простых фактора и не является произведением этих двух факторов, также существуют спорадические многоугольники Рейнхардта.

Для каждого $n$, существует лишь конечное число различных $n$Односторонние многоугольники Рейнхардта. Если $p$ это наименьший простой делитель $n$, то количество различных $n$-сторонние периодические многоугольники Рейнхардта

$${\frac {p2^{n/p}}{4n}}{\bigl (}1+o(1){\bigr )},$$

где $o(1)$ термин использует мало обозначений O. Однако количество спорадических полигонов Рейнхардта менее изучено, и для большинства значений $n$ в общем числе полигонов Рейнхардта преобладают спорадические.

Числа этих полигонов при малых значениях $n$ (считая два полигона одинаковыми, когда их можно вращать или переворачивать, образуя друг друга):

$n$:	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
#:	1	0	1	1	1	0	2	1	1	2	1	1	5	0	1	5	1	2	10	1	1	12

См. также

• Самый большой маленький многоугольник , многоугольники, увеличивающие площадь своего диаметра.