Самый большой маленький многоугольник

Самый большой маленький многоугольник с 6 сторонами (слева); справа правильный многоугольник того же диаметра, но меньшей площади.

В геометрии самый большой маленький многоугольник для числа n — это n- сторонний многоугольник которого равен , диаметр единице (то есть каждые две его точки находятся на единичном расстоянии друг от друга) и который имеет наибольшую площадь диаметра один среди всех n . -гонов. Одно неединственное решение, когда n = 4, — это квадрат , а решение — правильный многоугольник , когда n — нечетное число, но в противном случае решение является неправильным.

Четырехугольники

Для n = 4 площадь произвольного четырехугольника определяется формулой S = pq sin( θ )/2, где p и q — две диагонали четырехугольника, а θ — любой из углов, которые они образуют друг с другом. Чтобы диаметр был не более 1, и p , и q сами должны быть не более 1. Следовательно, четырехугольник имеет наибольшую площадь, когда три фактора в формуле площади максимальны по отдельности, при этом p = q = 1 и sin( θ ) = 1. Условие p = q означает, что четырёхугольник является равнодиагональным четырёхугольником (его диагонали имеют одинаковую длину), а условие sin( θ ) = 1 означает, что это ортодиагональный четырёхугольник (его диагонали пересекаются справа). углы). К четырехугольникам этого типа относится квадрат с единичными диагоналями, площадь которого равна 1/2. Однако бесконечно много других ортодиагональных и равнодиагональных четырехугольников также имеют диаметр 1 и ту же площадь, что и квадрат, поэтому в этом случае решение не является единственным.

Нечетное количество сторон

Для нечетных значений n показал Карл Рейнхардт в 1922 году , что правильный многоугольник имеет наибольшую площадь среди всех многоугольников диаметром один.

Четное количество сторон

В случае n = 6 единственный оптимальный многоугольник не является правильным. Решение этого случая было опубликовано в 1975 году Рональдом Грэмом , отвечая на вопрос, заданный в 1956 году Ханфридом Ленцем ; он имеет форму неправильного равнодиагонального пятиугольника, к одной из сторон которого прикреплен тупой равнобедренный треугольник, причем расстояние от вершины треугольника до противоположной вершины пятиугольника равно диагоналям пятиугольника. Его площадь равна 0,674981.... (последовательность A111969 в OEIS ), число, которое удовлетворяет уравнению (хотя и не выражается в радикалах из-за наличия группы Галуа S ₁₀ )

4096 х ¹⁰ +8192 х ⁹ − 3008 х ⁸ − 30848x ⁷ + 21056 х ⁶ + 146496 х ⁵ − 221360 х ⁴ + 1232 х ³ + 144464 х ² − 78488 х + 11993 = 0.

Грэм предположил, что оптимальное решение для общего случая четных значений n состоит таким же образом из равнодиагонального ( n − 1)-угольника, к одной из сторон которого прикреплен равнобедренный треугольник, вершина которого находится на единице расстояния от противоположной ( n − 1)-вершина угольника. В случае n = 8 это было подтверждено компьютерным расчетом Audet et al. Доказательство Грэма того, что его шестиугольник оптимален, и компьютерное доказательство случая n = 8 включали анализ всех возможных n -вершинных треклов с прямыми краями.

Полная гипотеза Грэма, характеризующая решение самой большой задачи о маленьких многоугольниках для всех четных значений n , была доказана в 2007 году Фостером и Сабо.

См. также

• Маленький восьмиугольник Хансена
• Многоугольник Рейнхардта , многоугольники, увеличивающие периметр за счет своего диаметра, максимизирующие ширину за счет своего диаметра и максимизирующие ширину за счет своего периметра.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Самый большой маленький многоугольник» , MathWorld
• Самый большой маленький шестиугольник Грэма из Зала шестиугольников.