Четырехугольник

Четырехугольник
Четырехугольник
	Некоторые виды четырехугольников
Ребра и вершины	4
Символ Шлефли	{4} (для квадрата)
Область	различные методы; ; см. ниже
Внутренний угол ( градусы )	90° (для квадрата и прямоугольника)

В геометрии четырехугольник — это четырехсторонний многоугольник , имеющий четыре ребра (стороны) и четыре угла (вершины). Это слово происходит от латинских слов «квадри» (вариант слова «четыре») и «latus» , что означает «сторона». Его также называют тетрагоном , производным от греческого слова «тетра», означающего «четыре», и «гона», означающего «угол» или «угол», по аналогии с другими многоугольниками (например, пятиугольником ). Поскольку «гон» означает «угол», его по аналогии называют четырехугольником , или 4-угольником. Четырехугольник с вершинами $A$ , $B$ , $C$ и $D$ иногда обозначается как $\square ABCD$ . ^[1]

Четырехугольники бывают простыми (не самопересекающимися) или сложными (самопересекающимися или скрещенными). Простые четырехугольники бывают выпуклыми или вогнутыми .

Внутренние углы простого (и плоского ) четырехугольника ABCD в сумме составляют 360 градусов дуги , то есть ^[1]

\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.

Это частный случай формулы суммы внутренних углов n -угольника: S = ( n - 2) × 180 °. ^[2]

Все несамопересекающиеся четырехугольники замостили плоскость путем многократного вращения вокруг середин своих ребер. ^[3]

Простые четырёхугольники [ править ]

Любой четырехугольник, не являющийся самопересекающимся, является простым четырехугольником.

Выпуклый четырехугольник [ править ]

В выпуклом четырехугольнике все внутренние углы меньше 180 °, и обе диагонали лежат внутри четырехугольника.

Неправильный четырехугольник ( британский английский ) или трапеция ( североамериканский английский ): ни одна сторона не является параллельной. (В британском английском это когда-то называлось трапецией . Дополнительную информацию см. в разделе «Трапеция § Трапеция против трапеции» .)
Трапеция (Великобритания) или трапеция (США): по крайней мере одна пара противоположных сторон параллельна . Трапеция (Великобритания) и трапеции (США) включают параллелограммы.
Равнобедренная трапеция (Великобритания) или равнобедренная трапеция (США): одна пара противоположных сторон параллельны, а углы при основании равны по мере. Альтернативные определения - это четырехугольник с осью симметрии, делящей пополам одну пару противоположных сторон, или трапеция с диагоналями одинаковой длины.
Параллелограмм : четырехугольник с двумя парами параллельных сторон. Эквивалентные условия заключаются в том, что противоположные стороны имеют одинаковую длину; что противоположные углы равны; или что диагонали делят друг друга пополам. К параллелограммам относятся ромбы (в том числе прямоугольники, называемые квадратами) и ромбоиды (в том числе прямоугольники, называемые продолговатыми). Другими словами, параллелограммы включают в себя все ромбы и все ромбоиды, а значит, и все прямоугольники.
Ромб , ромб: ^[1]все четыре стороны имеют одинаковую длину (равносторонние). Эквивалентное условие состоит в том, что диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам. Неофициально: «передвинутый квадрат» (но строго включая и квадрат).
Ромбовидный : параллелограмм, у которого смежные стороны имеют неравную длину, а некоторые углы являются косыми (эквивалент, не имеющий прямых углов). Неофициально: «передвинутый продолговатый». Не все ссылки совпадают; некоторые определяют ромб как параллелограмм, который не является ромбом. ^[4]
Прямоугольник : все четыре угла прямые (равноугольные). Эквивалентным условием является то, что диагонали делят друг друга пополам и равны по длине. К прямоугольникам относятся квадраты и прямоугольники. Неофициально: «коробочка или продолговатая форма» (в том числе квадратная).
Квадрат (правильный четырехугольник): все четыре стороны имеют одинаковую длину (равносторонний), и все четыре угла являются прямыми. Эквивалентным условием является то, что противоположные стороны параллельны (квадрат — это параллелограмм), а диагонали перпендикулярно делят друг друга пополам и имеют одинаковую длину. Четырехугольник является квадратом тогда и только тогда, когда он одновременно является ромбом и прямоугольником (т. е. имеет четыре равные стороны и четыре равных угла).
Продолговатый : длиннее ширины или шире длины (т. е. прямоугольник, не являющийся квадратом). ^[5]
Кайт : две пары соседних сторон имеют одинаковую длину. Это означает, что одна диагональ делит змей на равные треугольники , и поэтому углы между двумя парами равных сторон равны по мере. Это также означает, что диагонали перпендикулярны. Воздушные змеи включают ромбы.

Касательный четырёхугольник : четыре стороны касаются вписанной окружности. Выпуклый четырехугольник является касательным тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны.
Тангенциальная трапеция : трапеция, четыре стороны которой касаются вписанной окружности .
Циклический четырехугольник : четыре вершины лежат на описанной окружности . Выпуклый четырехугольник является вписанным тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°.
Правый кайт : воздушный змей с двумя противоположными прямыми углами. Это тип вписанного четырехугольника.
Гармонический четырехугольник : вписанный четырехугольник, у которого произведения длин противоположных сторон равны.
Бицентрический четырехугольник : он одновременно тангенциальный и циклический.
Ортодиагональный четырехугольник : диагонали пересекаются под прямым углом .
Равнодиагональный четырехугольник : диагонали имеют одинаковую длину.
Внекасательный четырехугольник : четыре продолжения сторон касаются вписанной окружности .
Равный четырёхугольник имеет две противоположные равные стороны, которые в вытянутом состоянии сходятся под углом 60°.
Четырехугольник Ватта — это четырехугольник, у которого пара противоположных сторон одинаковой длины. ^[6]
Четырехугольник четырехугольника — это выпуклый четырехугольник, все четыре вершины которого лежат на периметре квадрата. ^[7]
Диаметральный четырехугольник — это вписанный в окружность четырехугольник, одна из сторон которого равна диаметру описанной окружности. ^[8]
Четырёхугольник Ельмслева — четырёхугольник с двумя прямыми углами в противоположных вершинах. ^[9]

Вогнутые четырехугольники [ править ]

В вогнутом четырехугольнике один внутренний угол больше 180°, а одна из двух диагоналей лежит вне четырехугольника.

Дротик четырехугольник с двусторонней симметрией , (или наконечник стрелы) представляет собой вогнутый подобный воздушному змею, но у которого один внутренний угол является рефлекторным. См. Кайт .

Сложные четырёхугольники [ править ]

четырехугольник Самопересекающийся называется по-разному: перекрестным четырехугольником , скрещенным четырехугольником , бабочкой четырехугольником- или с галстуком-бабочкой четырехугольником . В скрещенном четырехугольнике четыре «внутренних» угла по обе стороны от пересечения (два острых и два рефлекторных , все слева или все справа, как показано на рисунке) в сумме составляют 720°. ^[10]

Перекрещенная трапеция (США) или трапеция (Содружество): ^[11] скрещенный четырехугольник, у которого одна пара несмежных сторон параллельна (как у трапеции ).
Антипараллелограмм : перекрещенный четырехугольник, в котором каждая пара несмежных сторон имеет одинаковую длину (как в параллелограмме ).
Перекрещенный прямоугольник : антипараллелограмм, стороны которого представляют собой две противоположные стороны и две диагонали прямоугольника , следовательно, имеющий одну пару параллельных противоположных сторон.
Скрещенный квадрат : частный случай скрещенного прямоугольника, в котором две стороны пересекаются под прямым углом.

Специальные сегменты линий [ править ]

Две диагонали выпуклого четырехугольника — это отрезки , соединяющие противоположные вершины.

Две бимедианы выпуклого четырехугольника — это отрезки, соединяющие середины противоположных сторон. ^[12] Они пересекаются в «центроиде вершины» четырехугольника (см. § Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике ниже).

Четыре высоты выпуклого четырехугольника представляют собой перпендикуляры к стороне, проходящие через середину противоположной стороны. ^[13]

Площадь выпуклого четырехугольника [ править ]

Существуют различные общие формулы для площади $K$ выпуклого четырехугольника ABCD со сторонами $a = AB, b = BC, c = CD и d = DA$ .

Тригонометрические формулы [ править ]

Площадь можно выразить в тригонометрических терминах как ^[14]

K={\tfrac {1}{2}}pq\sin \theta ,

где длины диагоналей равны $p$ и $q$ , а угол между ними равен $θ$ . ^[15] В случае ортодиагонального четырехугольника (например, ромба, квадрата и воздушного змея) эта формула сводится к $K={\tfrac {pq}{2}}$ поскольку $θ$ равен $90°$ .

Площадь также можно выразить через бимедианы как ^[16]

K=mn\sin \varphi ,

где длины бимедиан равны $m$ и $n$ , а угол между ними равен $φ$ .

Формула Бретшнейдера ^[17]^[14] выражает площадь через стороны и два противоположных угла:

{\begin{aligned}K&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{2}}abcd\;[1+\cos(A+C)]}}\\&={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\,\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}(A+C)}}\end{aligned}}

где стороны по порядку — $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , где $s$ — полупериметр, а $A$ и $C$ — два (фактически любые два) противоположных угла. Это сводится к формуле Брахмагупты для площади вписанного четырехугольника, когда $A + C = 180 °$ .

Другая формула площади, выражающая стороны и углы, где угол $C$ находится между сторонами $b$ и $c$ , а $угол A$ — между сторонами $a$ и $d$ :

K={\tfrac {1}{2}}ad\sin {A}+{\tfrac {1}{2}}bc\sin {C}.

В случае вписанного четырехугольника последняя формула принимает вид $K={\tfrac {1}{2}}(ad+bc)\sin {A}.$

В параллелограмме, у которого обе пары противоположных сторон и углов равны, эта формула сводится к $K=ab\cdot \sin {A}.$

В качестве альтернативы мы можем записать площадь через стороны и угол пересечения $θ$ диагоналей $, если θ$ не равен $90 °$ : ^[18]

K={\tfrac {1}{4}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right|.

В случае параллелограмма последняя формула принимает вид $K={\tfrac {1}{2}}\left|\tan \theta \right|\cdot \left|a^{2}-b^{2}\right|.$

Другая формула площади, включающая стороны $a$ , $b$ , $c$ , $d$ : ^[16]

K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\bigl (}(a^{2}+c^{2})-2x^{2}{\bigr )}{\bigl (}(b^{2}+d^{2})-2x^{2}{\bigr )}}}\sin {\varphi }

где $x$ — расстояние между серединами диагоналей, а $φ$ — угол между бимедианами .

Последняя формула тригонометрической площади, включающая стороны $a$ , $b$ , $c$ , $d$ и угол $α$ (между $a$ и $b$ ): ^[19]

K={\tfrac {1}{2}}ab\sin {\alpha }+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4c^{2}d^{2}-(c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}+2ab\cos {\alpha })^{2}}},

который также можно использовать для определения площади вогнутого четырехугольника (имеющего вогнутую часть, противоположную углу $α$ ), просто изменив первый знак $+$ на $-$ .

Нетригонометрические формулы [ править ]

Следующие две формулы выражают площадь через стороны $a$ , $b$ , $c$ и $d$ , полупериметр $s$ и диагонали $p$ , $q$ :

K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-{\tfrac {1}{4}}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}},

^[20]

K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4p^{2}q^{2}-\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}\right)^{2}}}.

^[21]

Первый сводится к формуле Брахмагупты в случае циклического четырехугольника, поскольку тогда $pq = ac + bd$ .

Площадь также можно выразить через бимедианы $m$ , $n$ и диагонали $p$ , $q$ :

K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(m+n+p)(m+n-p)(m+n+q)(m+n-q)}},

^[22]

K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}q^{2}-(m^{2}-n^{2})^{2}}}.

^[23]^{: Тэм. 7}

Фактически, любых трех из четырех значений $m$ , $n$ , $p$ и $q$ достаточно для определения площади, поскольку в любом четырехугольнике четыре значения связаны соотношением $p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).$ ^[24]^{: п. 126} Соответствующие выражения: ^[25]

K={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {[(m+n)^{2}-p^{2}]\cdot [p^{2}-(m-n)^{2}]}},

если заданы длины двух бимедиан и одной диагонали, и ^[25]

K={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {[(p+q)^{2}-4m^{2}]\cdot [4m^{2}-(p-q)^{2}]}},

если заданы длины двух диагоналей и одной бимедианы.

Векторные формулы [ править ]

Площадь четырехугольника $ABCD$ можно вычислить с помощью векторов . Пусть векторы $AC$ и $BD$ образуют диагонали от $A$ до $C$ от $B$ до $D.$ и Тогда площадь четырехугольника равна

K={\tfrac {1}{2}}|\mathbf {AC} \times \mathbf {BD} |,

что составляет половину величины векторного произведения векторов $AC$ и $BD$ . В двумерном евклидовом пространстве, выражая вектор $AC$ как свободный вектор в декартовом пространстве, равный $(x 1, y 1)$ и $BD$ как $(x 2, y 2)$ , это можно переписать как:

K={\tfrac {1}{2}}|x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}|.

Диагонали [ править ]

Свойства диагоналей в четырёхугольниках [ править ]

В следующей таблице указано, делят ли диагонали в некоторых из самых основных четырехугольников пополам друг друга, перпендикулярны ли их диагонали и имеют ли их диагонали одинаковую длину. ^[26] Список применим к наиболее общим случаям и исключает именованные подмножества.

Четырехугольник	Биссектрисы диагоналей	Перпендикулярные диагонали	Равные диагонали
Трапеция	Нет	См. примечание 1.	Нет
Равнобедренная трапеция	Нет	См. примечание 1.	Да
Параллелограмм	Да	Нет	Нет
Видеть	См. примечание 2.	Да	См. примечание 2.
Прямоугольник	Да	Нет	Да
Ромб	Да	Да	Нет
Квадрат	Да	Да	Да

Примечание 1. Наиболее распространенные трапеции и равнобедренные трапеции не имеют перпендикулярных диагоналей, но существует бесконечное количество (несходных) трапеций и равнобедренных трапеций, которые имеют перпендикулярные диагонали и не являются какими-либо другими названными четырехугольниками.
Примечание 2: В воздушном змее одна диагональ делит другую пополам. Самый общий воздушный змей имеет неравные диагонали, но существует бесконечное количество (непохожих) воздушных змеев, у которых диагонали равны по длине (и воздушные змеи не являются какими-либо другими названными четырехугольниками).

Длины диагоналей [ править ]

Длины диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD можно вычислить, используя закон косинусов в каждом треугольнике, образованном одной диагональю и двумя сторонами четырехугольника. Таким образом

p={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos {B}}}={\sqrt {c^{2}+d^{2}-2cd\cos {D}}}

и

q={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos {A}}}={\sqrt {b^{2}+c^{2}-2bc\cos {C}}}.

Другие, более симметричные формулы для длин диагоналей: ^[27]

p={\sqrt {\frac {(ac+bd)(ad+bc)-2abcd(\cos {B}+\cos {D})}{ab+cd}}}

и

q={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)-2abcd(\cos {A}+\cos {C})}{ad+bc}}}.

Обобщения закона параллелограмма и Птолемея теоремы

В любом выпуклом четырехугольнике ABCD сумма квадратов четырех сторон равна сумме квадратов двух диагоналей плюс четырехкратный квадрат отрезка, соединяющего середины диагоналей. Таким образом

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=p^{2}+q^{2}+4x^{2}

где x — расстояние между серединами диагоналей. ^[24]^{: стр.126} Это иногда называют теоремой Эйлера о четырехугольниках и является обобщением закона параллелограмма .

Немецкий математик Карл Антон Бретшнейдер вывел в 1842 году следующее обобщение теоремы Птолемея относительно произведения диагоналей в выпуклом четырехугольнике. ^[28]

p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos {(A+C)}.

Это соотношение можно рассматривать как закон косинусов четырехугольника. В вписанном четырёхугольнике , где A + C = 180°, оно сводится к pq = ac + bd . Поскольку cos ( A + C ) ≥ −1, это также дает доказательство неравенства Птолемея.

метрические отношения Другие

Если X и Y — основания нормалей B и D к диагонали AC = p в выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA , то ^[29]^{: стр. 14}

XY={\frac {|a^{2}+c^{2}-b^{2}-d^{2}|}{2p}}.

В выпуклом четырехугольнике ABCD со сторонами a = AB , b = BC , c = CD , d = DA и диагонали пересекаются в точке E ,

efgh(a+c+b+d)(a+c-b-d)=(agh+cef+beh+dfg)(agh+cef-beh-dfg)

где e = AE , f = BE , g = CE и h = DE . ^[30]

Форма и размеры выпуклого четырехугольника полностью определяются длинами его последовательных сторон и одной диагонали между двумя заданными вершинами. Две диагонали p, q и длины четырех сторон a, b, c, d четырехугольника связаны между собой. ^[14] Кэли -Менгера определителем следующим образом:

\det {\begin{bmatrix}0&a^{2}&p^{2}&d^{2}&1\\a^{2}&0&b^{2}&q^{2}&1\\p^{2}&b^{2}&0&c^{2}&1\\d^{2}&q^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.

Биссектрисы [ править ]

Биссектрисы внутреннего угла выпуклого четырехугольника образуют вписанный четырехугольник. ^[24]^{: стр.127}(то есть четыре точки пересечения соседних биссектрис соприкасаются ) или совпадают . В последнем случае четырехугольник является касательным четырехугольником .

В четырехугольнике ABCD , если биссектрисы A B и C пересекаются на диагонали BD , то биссектрисы и D пересекаются на диагонали AC . ^[31]

Бимедианы [ править ]

Бимедианы середины четырехугольника — это отрезки, соединяющие противоположных сторон. Пересечение бимедиан является центроидом вершин четырехугольника. ^[14]

Середины сторон любого четырехугольника (выпуклого, вогнутого или скрещенного) являются вершинами параллелограмма, называемого параллелограммом Вариньона . Он имеет следующие свойства:

Каждая пара противоположных сторон параллелограмма Вариньона параллельна диагонали исходного четырехугольника.
Сторона параллелограмма Вариньона вдвое короче диагонали исходного четырехугольника, которому он параллелен.
Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырехугольника. Это верно для выпуклых, вогнутых и скрещенных четырехугольников при условии, что площадь последнего определяется как разность площадей двух треугольников, из которых он состоит. ^[32]
Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырехугольника.
Диагонали параллелограмма Вариньона являются бимедианами исходного четырехугольника.

Две бимедианы в четырехугольнике и отрезок, соединяющий середины диагоналей в этом четырехугольнике, совпадают и делятся пополам точкой пересечения. ^[24]^{: стр. 125}

В выпуклом четырехугольнике со сторонами a , b , c и d длина бимедианы, соединяющей середины сторон a и c , равна

m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {-a^{2}+b^{2}-c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}}}

где p и q — длины диагоналей. ^[33] Длина бимедианы, соединяющей середины сторон b и d , равна

n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}+p^{2}+q^{2}}}.

Следовательно ^[24]^{: стр.126}

\displaystyle p^{2}+q^{2}=2(m^{2}+n^{2}).

Это также следствие закона параллелограмма , примененного в параллелограмме Вариньона.

Длины бимедиан также можно выразить через две противоположные стороны и расстояние x между серединами диагоналей. Это возможно при использовании теоремы Эйлера о четырехугольниках в приведенных выше формулах. Откуда ^[23]

m={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+d^{2})-4x^{2}}}

и

n={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4x^{2}}}.

Обратите внимание, что две противоположные стороны в этих формулах не являются двумя, которые соединяет бимедиана.

существует следующая двойственная связь: В выпуклом четырехугольнике между бимедианами и диагоналями ^[29]

Две бимедианы имеют одинаковую длину тогда и только тогда, когда две диагонали перпендикулярны .
Две бимедианы перпендикулярны тогда и только тогда, когда две диагонали имеют одинаковую длину.

Тригонометрические тождества [ править ]

Четыре угла простого четырехугольника ABCD удовлетворяют следующим тождествам: ^[34]

\sin A+\sin B+\sin C+\sin D=4\sin {\tfrac {1}{2}}(A+B)\,\sin {\tfrac {1}{2}}(A+C)\,\sin {\tfrac {1}{2}}(A+D)

и

{\frac {\tan A\,\tan {B}-\tan C\,\tan D}{\tan A\,\tan C-\tan B\,\tan D}}={\frac {\tan(A+C)}{\tan(A+B)}}.

Также, ^[35]

{\frac {\tan A+\tan B+\tan C+\tan D}{\cot A+\cot B+\cot C+\cot D}}=\tan {A}\tan {B}\tan {C}\tan {D}.

В последних двух формулах ни один угол не может быть прямым , поскольку tan 90° не определен.

Позволять $a$ , $b$ , $c$ , $d$ — стороны выпуклого четырехугольника, $s$ это полупериметр, и $A$ и $C$ противоположные углы, то ^[36]

ad\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}A+bc\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}C=(s-a)(s-d)

и

bc\sin ^{2}{\tfrac {1}{2}}C+ad\cos ^{2}{\tfrac {1}{2}}A=(s-b)(s-c)

.

Мы можем использовать эти тождества для вывода формулы Бретшнайдера .

Неравенства [ править ]

Площадь [ править ]

Если выпуклый четырехугольник имеет последовательные стороны a , b , c , d и диагонали p , q , то его площадь K удовлетворяет условию ^[37]

K\leq {\tfrac {1}{4}}(a+c)(b+d)

с равенством только для прямоугольника .

K\leq {\tfrac {1}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})

с равенством только для квадрата .

K\leq {\tfrac {1}{4}}(p^{2}+q^{2})

с равенством только в том случае, если диагонали перпендикулярны и равны.

K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {(a^{2}+c^{2})(b^{2}+d^{2})}}

с равенством только для прямоугольника. ^[16]

Из формулы Бретшнейдера непосредственно следует, что площадь четырехугольника удовлетворяет условию

K\leq {\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}

с равенством тогда и только тогда, когда четырехугольник является вписанным или вырожденным, так что одна сторона равна сумме трех других (он сжался в отрезок , поэтому площадь равна нулю).

Площадь любого четырехугольника также удовлетворяет неравенству ^[38]

\displaystyle K\leq {\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}.

Обозначая периметр как L , имеем ^[38]^{: стр.114}

K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2},

с равенством только в случае квадрата.

Площадь выпуклого четырехугольника также удовлетворяет

K\leq {\tfrac {1}{2}}pq

для длин диагоналей p и q с равенством тогда и только тогда, когда диагонали перпендикулярны.

Пусть a , b , c , d — длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD площади K и диагоналей AC = p , BD = q . Затем ^[39]

K\leq {\tfrac {1}{8}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+p^{2}+q^{2}+pq-ac-bd)

с равенством только для квадрата.

Пусть a , b , c , d — длины сторон выпуклого четырехугольника ABCD площади K , тогда справедливо следующее неравенство: ^[40]

K\leq {\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}(ab+ac+ad+bc+bd+cd)-{\frac {1}{2(1+{\sqrt {3}})^{2}}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})

с равенством только для квадрата.

Диагонали и бимедианы [ править ]

Следствием теоремы Эйлера о четырехугольниках является неравенство

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\geq p^{2}+q^{2}

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является параллелограммом .

Эйлер также обобщил теорему Птолемея , которая представляет собой равенство в вписанном четырехугольнике , в неравенство для выпуклого четырехугольника. В нем говорится, что

pq\leq ac+bd

где равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник вписанный. ^[24]^{: стр.128–129} Это часто называют неравенством Птолемея .

В любом выпуклом четырехугольнике бимедианы m, n и диагонали p, q связаны неравенством

pq\leq m^{2}+n^{2},

причем равенство выполняется тогда и только тогда, когда диагонали равны. ^[41]^{: Предложение 1} Это следует непосредственно из четырехугольного тождества $m^{2}+n^{2}={\tfrac {1}{2}}(p^{2}+q^{2}).$

Стороны [ править ]

Стороны a , b , c и d любого четырехугольника удовлетворяют условиям ^[42]^{: с.228, №275}

a^{2}+b^{2}+c^{2}>{\tfrac {1}{3}}d^{2}

и ^[42]^{: с.234, №466}

a^{4}+b^{4}+c^{4}\geq {\tfrac {1}{27}}d^{4}.

Максимальные и минимальные свойства [ править ]

Среди всех четырехугольников с данным периметром наибольшую площадь имеет квадрат . Это называется изопериметрической теоремой для четырехугольников . Это прямое следствие неравенства площадей. ^[38]^{: стр.114}

K\leq {\tfrac {1}{16}}L^{2}

где K — площадь выпуклого четырехугольника с L. периметром Равенство имеет место тогда и только тогда, когда четырехугольник является квадратом. Теорема двойственности утверждает, что из всех четырехугольников заданной площади квадрат имеет наименьший периметр.

Четырехугольник с заданными длинами сторон, имеющий максимальную площадь, является вписанным четырехугольником . ^[43]

Из всех выпуклых четырехугольников с заданными диагоналями ортодиагональный четырехугольник . наибольшую площадь имеет ^[38]^{: стр.119} Это прямое следствие того, что площадь выпуклого четырехугольника удовлетворяет равенству

K={\tfrac {1}{2}}pq\sin {\theta }\leq {\tfrac {1}{2}}pq,

где θ — угол между диагоналями p и q . Равенство имеет место тогда и только тогда, когда θ = 90°.

Если P — внутренняя точка выпуклого четырехугольника ABCD , то

AP+BP+CP+DP\geq AC+BD.

Из этого неравенства следует, что точка внутри четырехугольника, минимизирующая сумму расстояний до вершин, является пересечением диагоналей. Следовательно, эта точка является точкой Ферма выпуклого четырехугольника. ^[44]^{: стр. 120}

Замечательные точки и линии в выпуклом четырёхугольнике [ править ]

Центр четырехугольника можно определить несколькими способами. «Центроид вершины» возникает из-за того, что четырехугольник считается пустым, но имеет равные массы в вершинах. «Боковой центроид» возникает из-за того, что стороны имеют постоянную массу на единицу длины. Обычный центр, называемый просто центроидом (центром площади), возникает из-за того, что поверхность четырехугольника имеет постоянную плотность. Эти три пункта, как правило, не являются одним и тем же. ^[45]

«Центроид вершины» — это пересечение двух бимедиан . ^[46] Как и в случае с любым многоугольником, координаты x и y центроида вершины являются средними арифметическими координатами x и y вершин.

«Центр тяжести площади» четырехугольника ABCD можно построить следующим образом. Пусть G _a , G _b , G _c , G _d — центры тяжести треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно. Тогда «центр тяжести площади» — это пересечение линий G _a G _c и G _b G _d . ^[47]

общем выпуклом четырехугольнике ABCD нет естественных аналогий центру описанной окружности и ортоцентру треугольника В . Но две такие точки можно построить следующим образом. Пусть O _a , Ob _b , O _c , O _d — центры описанных треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно; и обозначим через H _a , H _b , H _c , H _d ортоцентры в тех же треугольниках. Тогда пересечение прямых O _a O _c и O _b O _d называется квазицентром окружности , а пересечение прямых H _a H _c и H _b H _d называется квазиортоцентром выпуклого четырехугольника. ^[47]Эти точки можно использовать для определения линии Эйлера четырехугольника. В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр H , «центр тяжести площади» G и квазиокружный центр O лежат на одной прямой в этом порядке, и HG = 2 GO . ^[47]

Также можно определить квазинижнеточечный центр E как пересечение прямых E _a E _c и E _b E _d , где E _a , E _b , E _c , E _d — девятиточечные центры треугольников BCD , ACD , ABD , ABC соответственно. Тогда E — середина OH . ^[47]

Другой замечательной линией в выпуклом четырехугольнике, не являющемся параллелограммом, является линия Ньютона , которая соединяет середины диагоналей, причем отрезок, соединяющий эти точки, делится пополам центроидом вершины. Еще одна интересная линия (в некотором смысле двойственная линии Ньютона ) — это линия, соединяющая точку пересечения диагоналей с центроидом вершины. Линия примечательна тем, что она содержит центр тяжести (площади). Центроид вершины делит отрезок, соединяющий пересечение диагоналей и центроид (площади) в соотношении 3:1. ^[48]

Для любого четырехугольника ABCD с точками P и Q пересечения AD и BC и AB и CD соответственно окружности (PAB), (PCD), (QAD) и (QBC) проходят через общую точку M , называемую микелевой точкой. точка. ^[49]

Для выпуклого четырехугольника ABCD , в котором E — точка пересечения диагоналей, а F — точка пересечения продолжений сторон BC и AD , пусть ω — окружность, проходящая через E и F , которая пересекает CB внутри в точках M и DA внутри. у Н. Пусть CA снова встретит ω в точке L , а DB снова встретит ω в K. точке Тогда справедливо: прямые NK и ML пересекаются в точке Р , расположенной на стороне АВ ; прямые NL и KM пересекаются в точке Q , расположенной на стороне CD . Точки P и Q называются «точками Паскаля», образованными окружностью ω на сторонах AB и CD . ^[50] ^[51] ^[52]

Другие свойства выпуклых четырехугольников [ править ]

Пусть на всех сторонах четырёхугольника нарисованы внешние квадраты. Отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, а) равны по длине и (б) перпендикулярны . Таким образом, эти центры являются вершинами ортодиагонального четырехугольника . Это называется теоремой Ван Обеля .
Для любого простого четырехугольника с заданными длинами ребер существует вписанный четырехугольник с такими же длинами ребер. ^[43]
Четыре меньших треугольника, образованных диагоналями и сторонами выпуклого четырехугольника, обладают тем свойством, что произведение площадей двух противоположных треугольников равно произведению площадей двух других треугольников. ^[53]

Таксономия [ править ]

Иерархическая систематика четырехугольников показана на рисунке справа. Низшие классы — это частные случаи высших классов, с которыми они связаны. Обратите внимание, что слово «трапеция» здесь относится к североамериканскому определению (британский эквивалент — трапеция). Инклюзивные определения используются повсюду.

Перекос четырехугольников [ править ]

Неплоский четырехугольник называется косым четырехугольником . Формулы для расчета двугранных углов на основе длин ребер и угла между двумя соседними краями были выведены для изучения свойств таких молекул, как циклобутан , которые содержат «сморщенное» кольцо из четырех атомов. ^[54] Исторически термин «четырехугольник» также использовался для обозначения перекошенного четырехугольника. ^[55] Косой четырехугольник вместе со своими диагоналями образует (возможно, неправильный) тетраэдр пара противоположных ребер , и наоборот, каждый косой четырехугольник происходит из тетраэдра, в котором удалена .

См. также [ править ]

Полный четырехугольник
Построение перпендикулярной биссектрисы четырехугольника
Четырехугольник Саккери
Виды сетки § Четырехугольная
Четырехугольник (география)
Гомография . Любой четырехугольник можно преобразовать в другой четырехугольник с помощью проективного преобразования (гомографии).

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с «Четырехугольники – Квадрат, Прямоугольник, Ромб, Трапеция, Параллелограмм» . Mathsisfun.com . Проверено 2 сентября 2020 г.
^ «Сумма углов многоугольника» . Куемат . Проверено 22 июня 2022 г.
^ Мартин, Джордж Эдвард (1982), Геометрия преобразований , Тексты для бакалавров по математике, Springer-Verlag, Теорема 12.1, стр. 120, doi : 10.1007/978-1-4612-5680-9 , ISBN 0-387-90636-3 , МР 0718119
^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 мая 2014 года . Проверено 20 июня 2013 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )
^ «Калькулятор прямоугольников» . Cleavebooks.co.uk . Проверено 1 марта 2022 г.
^ Киди, Г.; Весы, П.; Немет, СЗ (2004). «Связи Ватта и четырехугольники» . Математический вестник . 88 (513): 475–492. дои : 10.1017/S0025557200176107 . S2CID 125102050 .
^ Джобингс, АК (1997). «Квадрика четырехугольников». Математический вестник . 81 (491): 220–224. дои : 10.2307/3619199 . JSTOR 3619199 . S2CID 250440553 .
^ Борегар, РА (2009). «Диаметрические четырехугольники с двумя равными сторонами». Математический журнал колледжа . 40 (1): 17–21. дои : 10.1080/07468342.2009.11922331 . S2CID 122206817 .
^ Хартсхорн, Р. (2005). Геометрия: Евклид и не только . Спрингер. стр. 429–430. ISBN 978-1-4419-3145-0 .
^ «Звезды: второй взгляд» (PDF) . Mysite.mweb.co.za . Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 года . Проверено 1 марта 2022 г.
^ Батлер, Дэвид (6 апреля 2016 г.). «Перекрещенная трапеция» . Осмысление собственного смысла . Проверено 13 сентября 2017 г.
^ Э.В. Вайсштейн. «Бимедиан» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram.
^ Э.В. Вайсштейн. «Малтитут» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Вайсштейн, Эрик В. «Четырехугольник» . mathworld.wolfram.com . Проверено 2 сентября 2020 г.
^ Харрис, Дж. «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 86, июль 2002 г., 310–311.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Йозефссон, Мартин (2013), «Пять доказательств характеристики площади прямоугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 13 : 17–21 .
^ Р. А. Джонсон, Расширенная евклидова геометрия , 2007, Dover Publ. , п. 82.
^ Митчелл, Дуглас В., «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 93, июль 2009 г., 306–309.
^ «Формулы треугольника» (PDF) . mathcentre.ac.uk . 2009 . Проверено 26 июня 2023 г.
^ Дж. Л. Кулидж, «Исторически интересная формула площади четырехугольника», American Mathematical Monthly , 46 (1939) 345–347.
^ Э.В. Вайсштейн. «Формула Бретшнейдера» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram.
^ Арчибальд, Р.К., «Площадь четырехугольника», American Mathematical Monthly , 29 (1922), стр. 29–36.
^ Перейти обратно: ^а ^б Йозефссон, Мартин (2011), «Площадь бицентрического четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 155–164 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж Альтшиллер-Корт, Натан, Геометрия колледжа , Dover Publ., 2007.
^ Перейти обратно: ^а ^б Йозефссон, Мартин (2016) «100.31 Формулы типа Герона для четырехугольников», The Mathematical Gazette , 100 (549), стр. 505–508.
^ «Диагонали четырехугольников — перпендикулярные, биссектрисы или оба» . Math.okstate.edu . Проверено 1 марта 2022 г.
^ Рашид, М.А. и Аджибаде, А.О., «Два условия того, чтобы четырехугольник был циклическим, выраженные через длины его сторон», Int. Дж. Математика. Образование. наук. Технол. , том. 34 (2003) нет. 5, стр. 739–799.
^ Андрееску, Титу и Андрика, Дориан, Комплексные числа от А до... Я , Биркхойзер, 2006, стр. 207–209.
^ Перейти обратно: ^а ^б Йозефссон, Мартин (2012), «Характеристики ортодиагональных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 13–25 .
^ Хен, Ларри (2011), «Новая формула, касающаяся диагоналей и сторон четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 211–212 .
^ Леверша, Джерри, «Свойство диагоналей вписанного четырехугольника», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 116–118.
^ HSM Coxeter и SL Greitzer, «Возвращение к геометрии», MAA, 1967, стр. 52–53.
^ «Матееску Константин, ответ на неравенство диагонали » .
^ К.В. Дурелл и А. Робсон, Расширенная тригонометрия , Дувр, 2003, стр. 267.
^ «Оригинальные задачи, предложенные Стэнли Рабиновицем, 1963–2005 гг.» (PDF) . Mathpropress.com . Проверено 1 марта 2022 г.
^ «Э.А. Хосе Гарсиа, Две идентичности и их последствия, MATINF, 6 (2020) 5-11» . Matinf.upit.ro . Проверено 1 марта 2022 г.
^ О. Боттема, Геометрические неравенства , Издательство Wolters-Noordhoff, Нидерланды, 1969, стр. 129, 132.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2009), Когда меньше значит больше: визуализация базового неравенства , Математическая ассоциация Америки, стр. 68 .
^ Дао Тхань Оай, Леонард Джуджук, Задача 12033, American Mathematical Monthly, март 2018 г., стр. 277
^ Леонард Михай Джуджюк; Дао Тхань Оай; Кадир Алтынтас (2018). «Неравенство, связанное с длинами и площадью выпуклого четырехугольника» (PDF) . Международный журнал геометрии . 7 : 81–86.
^ Йозефссон, Мартин (2014). «Свойства равнодиагональных четырехугольников» . Форум Геометрикорум . 14 : 129–144.
^ Перейти обратно: ^а ^б «Неравенства, предложенные в Crux Mathematicorum (от тома 1, № 1 до тома 4, № 2, известного как «Эврика»)» (PDF) . Имомат.com . Проверено 1 марта 2022 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Питер, Томас, «Максимизация площади четырехугольника», The College Mathematics Journal , Vol. 34, № 4 (сентябрь 2003 г.), стр. 315–316.
^ Альсина, Клод; Нельсен, Роджер (2010). Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . Математическая ассоциация Америки. стр. 100-1 114, 119, 120, 261 ISBN . 978-0-88385-348-1 .
^ «Два центра масс четырехугольника» . Sites.math.washington.edu . Проверено 1 марта 2022 г.
^ Хонсбергер, Росс, Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Math. доц. Амер., 1995, стр. 35–41.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных прямых, относящихся к четырехугольнику» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295 .
^ Джон Борис Миллер. «Центр тяжести четырехугольника» (PDF) . Austmd.org.au . Проверено 1 марта 2022 г.
^ Чен, Эван (2016). Евклидова геометрия в математических олимпиадах . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. п. 198. ИСБН 9780883858394 .
^ Дэвид, Фрайверт (2019), «Четырехугольники с точками Паскаля, вписанные в циклический четырехугольник», The Mathematical Gazette , 103 (557): 233–239, doi : 10.1017/mag.2019.54 , S2CID 233360695 .
^ Дэвид, Фрайверт (2019), «Набор прямоугольников, вписанных в ортодиагональный четырехугольник и определяемых кругами Паскаля-Пойнтса» , Журнал по геометрии и графике , 23 : 5–27 .
^ Дэвид, Фрайверт (2017), «Свойства окружности точек Паскаля в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями» (PDF) , Forum Geometricorum , 17 : 509–526 .
^ Йозефссон, Мартин (2013). «Характеристики трапеций» (PDF) . Форум Геометрикорум . 13 : 23–35.
^ Барнетт, член парламента; Капитани, Дж. Ф. (2006). «Модульная химическая геометрия и символьный расчет». Международный журнал квантовой химии . 106 (1): 215–227. Бибкод : 2006IJQC..106..215B . дои : 10.1002/qua.20807 .
^ Гамильтон, Уильям Роуэн (1850). «О некоторых результатах, полученных с помощью кватернионного анализа в отношении записи многоугольников «гош» на поверхностях второго порядка» (PDF) . Труды Королевской ирландской академии . 4 : 380–387.

Внешние ссылки [ править ]

«Четырехугольник полный» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Четырехугольники, образованные биссектрисами , проективная коллинеарность и интерактивная классификация четырехугольников с разрезанием узла
Определения и примеры четырехугольников , а также Определение и свойства четырехугольников из Mathopenref.
(Динамическое) иерархическое четырехугольное дерево в эскизах динамической геометрии
Расширенная классификация четырехугольников. Архивировано 30 декабря 2019 г. на Wayback Machine на домашней странице Dynamic Math Learning. Архивировано 25 августа 2018 г. на Wayback Machine.
Роль и функция иерархической классификации четырехугольников Майкла де Вильерса.

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с «Четырехугольники – Квадрат, Прямоугольник, Ромб, Трапеция, Параллелограмм» . Mathsisfun.com . Проверено 2 сентября 2020 г.

[2] «Сумма углов многоугольника» . Куемат . Проверено 22 июня 2022 г.

[3] Мартин, Джордж Эдвард (1982), Геометрия преобразований , Тексты для бакалавров по математике, Springer-Verlag, Теорема 12.1, стр. 120, doi : 10.1007/978-1-4612-5680-9 , ISBN 0-387-90636-3 , МР 0718119

[4] «Архивная копия» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 мая 2014 года . Проверено 20 июня 2013 г. {{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

[5] «Калькулятор прямоугольников» . Cleavebooks.co.uk . Проверено 1 марта 2022 г.

[6] Киди, Г.; Весы, П.; Немет, СЗ (2004). «Связи Ватта и четырехугольники» . Математический вестник . 88 (513): 475–492. дои : 10.1017/S0025557200176107 . S2CID 125102050 .

[7] Джобингс, АК (1997). «Квадрика четырехугольников». Математический вестник . 81 (491): 220–224. дои : 10.2307/3619199 . JSTOR 3619199 . S2CID 250440553 .

[8] Борегар, РА (2009). «Диаметрические четырехугольники с двумя равными сторонами». Математический журнал колледжа . 40 (1): 17–21. дои : 10.1080/07468342.2009.11922331 . S2CID 122206817 .

[9] Хартсхорн, Р. (2005). Геометрия: Евклид и не только . Спрингер. стр. 429–430. ISBN 978-1-4419-3145-0 .

[10] «Звезды: второй взгляд» (PDF) . Mysite.mweb.co.za . Архивировано из оригинала (PDF) 3 марта 2016 года . Проверено 1 марта 2022 г.

[11] Батлер, Дэвид (6 апреля 2016 г.). «Перекрещенная трапеция» . Осмысление собственного смысла . Проверено 13 сентября 2017 г.

[12] Э.В. Вайсштейн. «Бимедиан» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram.

[13] Э.В. Вайсштейн. «Малтитут» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram.

[:1-14] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Вайсштейн, Эрик В. «Четырехугольник» . mathworld.wolfram.com . Проверено 2 сентября 2020 г.

[15] Харрис, Дж. «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 86, июль 2002 г., 310–311.

[Josefsson4-16] Перейти обратно: ^а ^б ^с Йозефссон, Мартин (2013), «Пять доказательств характеристики площади прямоугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 13 : 17–21 .

[17] Р. А. Джонсон, Расширенная евклидова геометрия , 2007, Dover Publ. , п. 82.

[Mitchell-18] Митчелл, Дуглас В., «Площадь четырехугольника», Mathematical Gazette 93, июль 2009 г., 306–309.

[19] «Формулы треугольника» (PDF) . mathcentre.ac.uk . 2009 . Проверено 26 июня 2023 г.

[20] Дж. Л. Кулидж, «Исторически интересная формула площади четырехугольника», American Mathematical Monthly , 46 (1939) 345–347.

[21] Э.В. Вайсштейн. «Формула Бретшнейдера» . MathWorld — веб-ресурс Wolfram.

[22] Арчибальд, Р.К., «Площадь четырехугольника», American Mathematical Monthly , 29 (1922), стр. 29–36.

[Josefsson3-23] Перейти обратно: ^а ^б Йозефссон, Мартин (2011), «Площадь бицентрического четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 155–164 .

[Altshiller-Court-24] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж Альтшиллер-Корт, Натан, Геометрия колледжа , Dover Publ., 2007.

[Josefsson6-25] Перейти обратно: ^а ^б Йозефссон, Мартин (2016) «100.31 Формулы типа Герона для четырехугольников», The Mathematical Gazette , 100 (549), стр. 505–508.

[26] «Диагонали четырехугольников — перпендикулярные, биссектрисы или оба» . Math.okstate.edu . Проверено 1 марта 2022 г.

[27] Рашид, М.А. и Аджибаде, А.О., «Два условия того, чтобы четырехугольник был циклическим, выраженные через длины его сторон», Int. Дж. Математика. Образование. наук. Технол. , том. 34 (2003) нет. 5, стр. 739–799.

[28] Андрееску, Титу и Андрика, Дориан, Комплексные числа от А до... Я , Биркхойзер, 2006, стр. 207–209.

[Josefsson-29] Перейти обратно: ^а ^б Йозефссон, Мартин (2012), «Характеристики ортодиагональных четырехугольников» (PDF) , Forum Geometricorum , 12 : 13–25 .

[30] Хен, Ларри (2011), «Новая формула, касающаяся диагоналей и сторон четырехугольника» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 211–212 .

[31] Леверша, Джерри, «Свойство диагоналей вписанного четырехугольника», Mathematical Gazette 93, март 2009 г., 116–118.

[32] HSM Coxeter и SL Greitzer, «Возвращение к геометрии», MAA, 1967, стр. 52–53.

[33] «Матееску Константин, ответ на неравенство диагонали » .

[34] К.В. Дурелл и А. Робсон, Расширенная тригонометрия , Дувр, 2003, стр. 267.

[35] «Оригинальные задачи, предложенные Стэнли Рабиновицем, 1963–2005 гг.» (PDF) . Mathpropress.com . Проверено 1 марта 2022 г.

[36] «Э.А. Хосе Гарсиа, Две идентичности и их последствия, MATINF, 6 (2020) 5-11» . Matinf.upit.ro . Проверено 1 марта 2022 г.

[37] О. Боттема, Геометрические неравенства , Издательство Wolters-Noordhoff, Нидерланды, 1969, стр. 129, 132.

[Alsina-38] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер (2009), Когда меньше значит больше: визуализация базового неравенства , Математическая ассоциация Америки, стр. 68 .

[39] Дао Тхань Оай, Леонард Джуджук, Задача 12033, American Mathematical Monthly, март 2018 г., стр. 277

[40] Леонард Михай Джуджюк; Дао Тхань Оай; Кадир Алтынтас (2018). «Неравенство, связанное с длинами и площадью выпуклого четырехугольника» (PDF) . Международный журнал геометрии . 7 : 81–86.

[J2014-41] Йозефссон, Мартин (2014). «Свойства равнодиагональных четырехугольников» . Форум Геометрикорум . 14 : 129–144.

[Crux-42] Перейти обратно: ^а ^б «Неравенства, предложенные в Crux Mathematicorum (от тома 1, № 1 до тома 4, № 2, известного как «Эврика»)» (PDF) . Имомат.com . Проверено 1 марта 2022 г.

[Peter-43] Перейти обратно: ^а ^б Питер, Томас, «Максимизация площади четырехугольника», The College Mathematics Journal , Vol. 34, № 4 (сентябрь 2003 г.), стр. 315–316.

[autogenerated1-44] Альсина, Клод; Нельсен, Роджер (2010). Очаровательные доказательства: путешествие в элегантную математику . Математическая ассоциация Америки. стр. 100-1 114, 119, 120, 261 ISBN . 978-0-88385-348-1 .

[45] «Два центра масс четырехугольника» . Sites.math.washington.edu . Проверено 1 марта 2022 г.

[46] Хонсбергер, Росс, Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Math. доц. Амер., 1995, стр. 35–41.

[Myakishev-47] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных прямых, относящихся к четырехугольнику» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295 .

[48] Джон Борис Миллер. «Центр тяжести четырехугольника» (PDF) . Austmd.org.au . Проверено 1 марта 2022 г.

[49] Чен, Эван (2016). Евклидова геометрия в математических олимпиадах . Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки. п. 198. ИСБН 9780883858394 .

[Fraivert-50] Дэвид, Фрайверт (2019), «Четырехугольники с точками Паскаля, вписанные в циклический четырехугольник», The Mathematical Gazette , 103 (557): 233–239, doi : 10.1017/mag.2019.54 , S2CID 233360695 .

[Fraivert2-51] Дэвид, Фрайверт (2019), «Набор прямоугольников, вписанных в ортодиагональный четырехугольник и определяемых кругами Паскаля-Пойнтса» , Журнал по геометрии и графике , 23 : 5–27 .

[Fraivert3-52] Дэвид, Фрайверт (2017), «Свойства окружности точек Паскаля в четырехугольнике с перпендикулярными диагоналями» (PDF) , Forum Geometricorum , 17 : 509–526 .

[53] Йозефссон, Мартин (2013). «Характеристики трапеций» (PDF) . Форум Геометрикорум . 13 : 23–35.

[54] Барнетт, член парламента; Капитани, Дж. Ф. (2006). «Модульная химическая геометрия и символьный расчет». Международный журнал квантовой химии . 106 (1): 215–227. Бибкод : 2006IJQC..106..215B . дои : 10.1002/qua.20807 .

[55] Гамильтон, Уильям Роуэн (1850). «О некоторых результатах, полученных с помощью кватернионного анализа в отношении записи многоугольников «гош» на поверхностях второго порядка» (PDF) . Труды Королевской ирландской академии . 4 : 380–387.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]