Внутренние и внешние углы
 | Эта статья нуждается в дополнительных цитатах для проверки . ( ноябрь 2023 г. ) |
| Виды углов |
|---|
| 2D углы |
| сферический |
| 2D пары углов |
Соседний |
| 3D углы |
| Твердый |
В геометрии угол сторонами многоугольника . образован двумя смежными Для простого (несамопересекающегося) многоугольника, независимо от того, выпуклый он или невыпуклый , этот угол называется внутренний угол (или внутренний угол ), если точка внутри угла находится внутри многоугольника. Многоугольник имеет ровно один внутренний угол на каждую вершину .
Если каждый внутренний угол простого многоугольника меньше прямого угла ( π радиан или 180°), то многоугольник называется выпуклым .
Напротив, Внешний угол (также называемый углом поворота или внешним углом ) — это угол, образованный одной стороной простого многоугольника и линией, продолженной от соседней стороны . [1] : стр. 261–264.
Свойства [ править ]
- Сумма внутреннего угла и внешнего угла при одной и той же вершине равна π радиан (180°).
- Сумма всех внутренних углов простого многоугольника равна π( n -2) радиан или 180( n -2) градусов, где n — количество сторон. Формулу можно доказать с помощью математической индукции : начать с треугольника, для которого сумма углов равна 180°, затем заменить одну сторону двумя сторонами, соединенными в другой вершине, и так далее.
- Сумма внешних углов любого простого выпуклого или невыпуклого многоугольника, если в каждой вершине предполагается только один из двух внешних углов, равна 2π радиан (360°).
- На величину внешнего угла в вершине не влияет то, какая сторона расширена: два внешних угла, которые могут быть образованы в вершине путем поочередного продления одной или другой стороны, являются вертикальными углами и, следовательно, равны.
Расширение для пересекающихся полигонов [ править ]
Концепция внутреннего угла может быть последовательно расширена на пересекающиеся многоугольники, такие как звездчатые многоугольники, используя концепцию направленных углов . В общем случае сумма внутренних углов в градусах любого замкнутого многоугольника, включая скрещенные (самопересекающиеся), равна 180( n –2 k )°, где n — количество вершин, а строго положительное целое число k - это количество полных (360 °) оборотов, которые человек совершает, проходя по периметру многоугольника. Другими словами, сумма всех внешних углов равна 2π к радиан или 360 к градусов. Пример: для обычных выпуклых многоугольников вогнутых многоугольников и k = 1, поскольку сумма внешних углов равна 360 °, и при обходе периметра человек совершает только один полный оборот.
Ссылки [ править ]
- ^ Посаментье, Альфред С. и Леманн, Ингмар. Тайны треугольников , Книги Прометея, 2012.
Внешние ссылки [ править ]
- Внутренние углы треугольника
- Сумма внутренних углов многоугольников: общая формула . Предоставляет интерактивное действие Java, которое расширяет формулу суммы внутренних углов для простых замкнутых многоугольников, включив в нее скрещенные (сложные) многоугольники.