Пи

Эта статья о математической константе. Чтобы узнать о греческой букве, см. Пи (буква) . Чтобы узнать о других значениях, см. Pi (значения) и PI .

Не путать с Пирогом .

Число π ( / p aɪ / ; пишется как « » ) — математическая константа представляющая собой отношение к длины окружности , пи ее диаметру , примерно равное 3,14159. Число π встречается во многих формулах математики и физики . Это иррациональное число , то есть его нельзя точно выразить как отношение двух целых чисел, хотя такие дроби, как ${\tfrac {22}{7}}$обычно используются для его аппроксимации . Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не входит в постоянно повторяющийся шаблон . Это трансцендентное число , что означает, что оно не может быть решением уравнения, включающего только конечные суммы, произведения, степени и целые числа. Трансцендентность числа π подразумевает, что невозможно решить древнюю задачу квадратуры круга с помощью циркуля и линейки . Десятичные цифры числа π расположены случайным образом . но никаких доказательств этой гипотезы найдено не было.

На протяжении тысячелетий математики пытались расширить свое понимание числа π , иногда вычисляя его значение с высокой степенью точности. Древним цивилизациям, включая египтян и вавилонян требовалось довольно точное приближение числа π , для практических вычислений . Около 250   г. до н. э. греческий математик Архимед создал алгоритм, позволяющий аппроксимировать число π с произвольной точностью. В V веке нашей эры китайские математики аппроксимировали число π до семи цифр, а индийские математики сделали пятизначное приближение, используя геометрические методы. Первая вычислительная формула для числа π , основанная на бесконечных рядах , была открыта тысячелетие спустя. Самое раннее известное использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру было сделано валлийским математиком Уильямом Джонсом в 1706 году.

Изобретение исчисления вскоре привело к вычислению сотен цифр числа π , достаточных для всех практических научных вычислений. Тем не менее, в 20-м и 21-м веках математики и ученые-компьютерщики использовали новые подходы, которые в сочетании с увеличением вычислительной мощности расширили десятичное представление числа π до многих триллионов цифр. Эти вычисления мотивированы разработкой эффективных алгоритмов расчета числовых рядов, а также стремлением человека побить рекорды. Обширные вычисления также использовались для тестирования суперкомпьютеров , а также стресс-тестирования потребительского компьютерного оборудования.

Поскольку его определение относится к кругу, π встречается во многих формулах тригонометрии и геометрии , особенно в тех, которые касаются кругов, эллипсов и сфер. Он также встречается в формулах из других тем науки, таких как космология , фракталы , термодинамика , механика и электромагнетизм . Оно также появляется в областях, имеющих мало общего с геометрией, таких как теория чисел и статистика , и в современном математическом анализе может быть определена без какой-либо ссылки на геометрию. Повсеместное распространение числа π делает его одной из наиболее широко известных математических констант внутри и за пределами науки. несколько книг, посвященных числу π Издано , а рекордные вычисления цифр π часто попадают в заголовки новостей.

Основы

Имя

Символ, используемый математиками для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру, — это строчная греческая буква π , иногда записываемая как «пи». В английском языке π произносится как «пирог» ( / p aɪ / PY ). В математическом использовании строчная буква π отличается от ее заглавной и увеличенной аналогии Π , которая обозначает произведение последовательности , аналогично тому, как Σ обозначает суммирование .

Выбор символа π обсуждается в разделе «Принятие символа π» .

Определение

Длина окружности чуть более чем в три раза превышает ее диаметр. Точное соотношение называется π .

π определяется как отношение окружности длины C ее d к диаметру : обычно

$$\pi ={\frac {C}{d}}$$

Соотношение ${\textstyle {\frac {C}{d}}}$является постоянным, независимо от размера круга. Например, если диаметр круга в два раза больше диаметра другого круга, его окружность также будет в два раза больше, сохраняя соотношение ${\textstyle {\frac {C}{d}}}$. Это определение π неявно использует плоскую (евклидову) геометрию ; хотя понятие круга можно распространить на любую кривую (неевклидову) геометрию , эти новые круги больше не будут удовлетворять формуле ${\textstyle \pi ={\frac {C}{d}}}$.

Здесь длина окружности — это длина дуги по периметру круга, величина, которую можно формально определить независимо от геометрии с помощью пределов — понятия в исчислении . Например, можно напрямую вычислить длину дуги верхней половины единичного круга, заданную в декартовых координатах уравнением ${\textstyle x^{2}+y^{2}=1}$, как интеграл :

$$\pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$$

Такой интеграл был принят в качестве определения π Карлом Вейерштрассом , который определил его непосредственно как интеграл в 1841 году.

Интеграция больше не широко используется в первом аналитическом определении, потому что, как Реммерт 2012 объясняет , дифференциальное исчисление обычно предшествует интегральному исчислению в университетской программе, поэтому желательно иметь определение π , не опирающееся на последнее. Одно из таких определений принадлежит Ричарду Бальтцеру. и популяризирован Эдмундом Ландау , имеет следующий вид: π — это удвоенное наименьшее положительное число, при котором косинус равен 0. π также является наименьшим положительным числом, при котором синусоидальная функция равна нулю, и разницей между последовательными нулями синусоидальной функции. Косинус и синус можно определить независимо от геометрии как степенной ряд : или как решение дифференциального уравнения .

Подобным же образом π можно определить, используя экспоненты z exp свойства комплексной комплексной переменной z . Как и косинус, комплексная экспонента может быть определена одним из нескольких способов. Набор комплексных чисел, при которых exp z равен единице, представляет собой (мнимую) арифметическую прогрессию вида:

$$\{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb {Z} \}$$

и существует единственное положительное действительное число π , обладающее этим свойством.

Вариацией той же идеи, использующей сложные математические концепции топологии и алгебры , является следующая теорема: существует единственный ( точностью до автоморфизма ) непрерывный изоморфизм группы с R / Z действительных чисел при сложении целых по модулю ( группа круга ) на мультипликативную группу чисел единицы комплексных . Тогда число π определяется как половина величины производной этого гомоморфизма.

Иррациональность и нормальность

π — иррациональное число , то есть его нельзя записать как отношение двух целых чисел . Такие дроби, как 22/7 ​ и ​ 355/113 . обыкновенная обычно используются для аппроксимации числа π , но никакая дробь (отношение целых чисел) не может быть его точным значением Поскольку число π иррационально, оно имеет бесконечное количество цифр в своем десятичном представлении и не превращается в бесконечно повторяющийся набор цифр. Есть несколько доказательств того, что π иррационально ; они обычно требуют исчисления и полагаются на технику доведения до абсурда . Степень, в которой π можно аппроксимировать рациональными числами (называемая мерой иррациональности ), точно не известна; оценки установили, что мера иррациональности больше меры е или ln 2, но меньше меры чисел Лиувилля .

Цифры числа π не имеют видимой закономерности и прошли тесты на статистическую случайность , включая тесты на нормальность ; Число бесконечной длины называется нормальным, когда все возможные последовательности цифр (любой заданной длины) встречаются одинаково часто. Гипотеза о том, что π нормальна , не доказана и не опровергнута.

С момента появления компьютеров стало доступно большое количество цифр числа π для проведения статистического анализа. Ясумаса Канада провел подробный статистический анализ десятичных цифр числа π и обнаружил, что они соответствуют нормальности; например, частоты десяти цифр от 0 до 9 были подвергнуты тестам статистической значимости , и никаких доказательств закономерности обнаружено не было. Любая случайная последовательность цифр содержит подпоследовательности произвольной длины, которые кажутся неслучайными в соответствии с теоремой о бесконечных обезьянах . Таким образом, поскольку последовательность цифр числа π проходит статистические тесты на случайность, она содержит некоторые последовательности цифр, которые могут показаться неслучайными, например последовательность из шести последовательных девяток , которая начинается с 762-го десятичного знака десятичного представления числа π. . это также называется «точкой Фейнмана» В математическом фольклоре в честь Ричарда Фейнмана , хотя никакой связи с Фейнманом не известно.

трансцендентность

См. Также: теорема Линдеманна – Вейерштрасса.

Поскольку π — трансцендентное число , квадратура круга невозможна за конечное число шагов с использованием классических инструментов циркуля и линейки .

Помимо того, что π является иррациональным, оно также является трансцендентным числом , что означает, что оно не является решением какого-либо непостоянного полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, такого как ${\textstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0}$.

Трансцендентность π имеет два важных последствия: во-первых, π не может быть выражено с помощью какой-либо конечной комбинации рациональных чисел и квадратных корней или n корней -й степени (например, ${\sqrt[{3}]{31}}$ или ${\sqrt {10}}$). Во-вторых, поскольку ни одно трансцендентное число невозможно построить с помощью циркуля и линейки , невозможно « квадратировать круг ». Другими словами, невозможно с помощью только циркуля и линейки построить квадрат, площадь которого в точности равна площади данного круга. Квадратура круга была одной из важных задач геометрии классической античности . Математики-любители в наше время иногда пытались выровнять круг и добиться успеха, несмотря на то, что это математически невозможно.

Непрерывные дроби

Как иррациональное число, π не может быть представлено в виде обыкновенной дроби . Но каждое число, включая π , может быть представлено бесконечной серией вложенных дробей, называемой непрерывной дробью :

$$\pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}$$

Усечение цепной дроби в любой точке дает рациональное приближение для π ; первые четыре из них — 3 , 22 / 7 , 333/106 ​ и ​ 355/113 ​ ​ . Эти числа являются одними из самых известных и наиболее широко используемых исторических приближений константы. Каждое приближение, полученное таким образом, является лучшим рациональным приближением; то есть каждая из них ближе к π , чем любая другая дробь с тем же или меньшим знаменателем. Поскольку π трансцендентно, оно по определению не алгебраическое и поэтому не может быть квадратичным иррациональным числом . Следовательно, π не может иметь периодическую цепную дробь . Хотя простая цепная дробь для числа π (показанная выше) также не демонстрирует какой-либо другой очевидной закономерности, несколько обобщенных цепных дробей , например:

$${\begin{aligned}\pi &=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}\end{aligned}}$$

Середина из них принадлежит математику середины 17 века Уильяму Браункеру , см. § Формулу Браункера .

Примерное значение и цифры

Некоторые приближения числа Пи включают:

• Целые числа : 3
• Дроби : приблизительные дроби включают (в порядке возрастания точности) 22 / 7 , 333 / 106 , 355 / 113 , 52163 / 16604 , 103993 / 33102 , 104348/33215 ​ ​ и 245850922 / 78256779 . (Список выбранных терминов из OEIS : A063674 и OEIS : A063673 .)
• Цифры : первые 50 десятичных цифр: 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510... (см. OEIS : A000796 )

Цифры в других системах счисления

• Первые 48 двоичных цифр ( по основанию 2) (называемых битами ) равны 11,0010 0100 0011 1111 0110 1010 1000 1000 1000 0101 1010 0011... (см. OEIS : A004601 ).
• Первые 38 цифр троичного числа (основание 3): 10,010 211 0122 220 102 110 021 111 102 212 222 201... (см. OEIS : A004602 ).
• Первые 20 цифр в шестнадцатеричном формате (по основанию 16): 3.243F 6A88 85A3 08D3 1319... (см. OEIS : A062964 )
• Первые пять шестидесятеричных цифр (по основанию 60) — это 3;8,29,44,0,47. (это OEIS : A060707 )

Комплексные числа и тождество Эйлера

Связь между мнимыми степенями числа e и точками единичного круга с центром в начале координат на комплексной плоскости , заданная формулой Эйлера.

Любое комплексное число , например z , можно выразить с помощью пары действительных чисел . В полярной системе координат одно число ( радиус или r ) используется для обозначения начала расстояния z от комплексной плоскости , а другое (угол или φ против часовой стрелки ) — для вращения от положительной действительной линии:

$$z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),$$

где я - мнимая единица , удовлетворяющая $i^{2}=-1$. Частое появление π в комплексном анализе может быть связано с поведением показательной функции комплексной переменной, описываемой формулой Эйлера :

$$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,$$

где константа e является основанием натурального логарифма . Эта формула устанавливает соответствие между мнимыми степенями e и точками единичной окружности с центром в начале комплексной плоскости. Параметр $\phi =\pi$ в формуле Эйлера приводит к тождеству Эйлера , известному в математике благодаря тому, что оно содержит пять важных математических констант:

$$e^{i\pi }+1=0.$$

Существует n различных комплексных чисел z, удовлетворяющих $z^{n}=1$, и они называются « корнями n -й степени из единицы ». и определяются по формуле:

$$e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).$$

История

Основная статья: Приближения π

Смотрите также: Хронология вычисления π.

Античность

Самые известные приближения к числу π датировке по до нашей эры были с точностью до двух десятичных знаков; это было усовершенствовано, в китайской математике в частности, к середине первого тысячелетия, с точностью до семи десятичных знаков. После этого дальнейшего прогресса не наблюдалось до периода позднего средневековья.

Самые ранние письменные приближения числа π найдены в Вавилоне и Египте, оба в пределах одного процента от истинного значения. В Вавилоне на глиняной табличке , датированной 1900–1600 гг. до н.э., есть геометрическое утверждение, которое косвенно трактует π как 25 / 8  = 3.125. В Египте папирус Ринда , датированный примерно 1650 г. до н. э., но скопированный из документа, датированного 1850 г. до н. э., содержит формулу площади круга, в которой число π рассматривается как ${\textstyle {\bigl (}{\frac {16}{9}}{\bigr )}^{2}\approx 3.16}$. Хотя некоторые пирамидологи предполагают, что Великая пирамида в Гизе была построена с пропорциями, связанными с числом π , эта теория не получила широкого признания учёных. В «Шульба-сутрах» индийской математики , относящихся к устной традиции первого или второго тысячелетия до нашей эры, даны приближения, которые по-разному интерпретировались как примерно 3,08831, 3,08833, 3,004, 3 или 3,125.

Эпоха аппроксимации полигонов

π можно оценить, вычислив периметры описанного и вписанного многоугольников.

Архимед разработал полигональный подход к аппроксимации π .

Первым зарегистрированным алгоритмом строгого вычисления значения π был геометрический подход с использованием многоугольников, изобретенный около 250 г. до н.э. греческим математиком Архимедом и реализовавший метод истощения . Этот полигональный алгоритм доминировал более 1000 лет, в результате чего π иногда называют постоянной Архимеда. Архимед вычислил верхнюю и нижнюю границы числа π , нарисовав правильный шестиугольник внутри и снаружи круга и последовательно удваивая количество сторон, пока не достиг 96-стороннего правильного многоугольника. Вычислив периметры этих многоугольников, он доказал, что 223/71 ​ ​ < π < 22/7 ) 3,1429 (т.е. 3,1408 < π < . Верхняя граница Архимеда 22/7 , возможно , привело к широко распространенному распространенному мнению, что π равно 22 / 7 . Около 150 года нашей эры греко-римский ученый Птолемей в своем «Альмагесте» дал значение π , равное 3,1416, которое он, возможно, получил от Архимеда или от Аполлония Пергского . Математики, использующие полигональные алгоритмы, достигли 39 цифр числа π в 1630 году, рекорд был побит только в 1699 году, когда с помощью бесконечных рядов было получено 71 цифра.

В древнем Китае значения π включали 3,1547 (около 1 года нашей эры), ${\sqrt {10}}$ (100 г. н. э., примерно 3.1623 г.) и 142/45 (3 век , примерно 3.1556 ). Около 265 года нашей эры из Королевства Вэй математик Лю Хуэй создал итерационный алгоритм на основе многоугольников и использовал его с многоугольником с 3072 сторонами, чтобы получить значение π , равное 3,1416. Позже Лю изобрел более быстрый метод вычисления числа π и получил значение 3,14 для 96-стороннего многоугольника, воспользовавшись тем фактом, что различия в площади последовательных многоугольников образуют геометрическую прогрессию с коэффициентом 4. Китайский математик Цзу Чунчжи около 480 года нашей эры подсчитал, что $3.1415926<\pi <3.1415927$ и предложил приближения ${\textstyle \pi \approx {\frac {355}{113}}=3.14159292035...}$ и ${\textstyle \pi \approx {\frac {22}{7}}=3.142857142857...}$, который он назвал Милю («близкое соотношение») и Юэлю («приблизительное соотношение») соответственно, используя алгоритм Лю Хуэя, примененный к многоугольнику с 12 288 сторонами. При правильном значении семи первых десятичных цифр это значение оставалось самое точное приближение π, доступное на следующие 800 лет.

Индийский астроном Арьябхата использовал значение 3,1416 в своей «Арьябхатия» (499 г. н.э.). Фибоначчи в c. 1220 вычислил 3,1418, используя полигональный метод, независимый от Архимеда. Итальянский писатель Данте , очевидно, использовал значение ${\textstyle 3+{\frac {\sqrt {2}}{10}}\approx 3.14142}$.

Персидский астроном Джамшид аль-Каши в 1424 году получил девять шестидесятеричных цифр, что примерно соответствует 16 десятичным цифрам, используя многоугольник с ${\textstyle 3\times 2^{28}}$ стороны, который оставался мировым рекордом около 180 лет. Французский математик Франсуа Вьет в 1579 году получил девять цифр с помощью многоугольника ${\textstyle 3\times 2^{17}}$ стороны. Фламандский математик Адриан ван Ромен в 1593 году достиг 15 десятичных знаков. В 1596 году голландский математик Людольф ван Сеулен достиг 20 цифр, позже этот рекорд он увеличил до 35 цифр (в результате π до начала 20 века в Германии называлось «числом Людольфа»). Голландский ученый Виллеброрд Снеллиус достиг 34 цифр в 1621 году. и австрийский астроном Кристоф Гринбергер в 1630 году пришли к 38 цифрам, используя 10 ⁴⁰ стороны. Христиан Гюйгенс смог получить 10 десятичных знаков в 1654 году, используя немного другой метод, эквивалентный экстраполяции Ричардсона .

Бесконечная серия

Сравнение сходимости нескольких исторических бесконечных рядов для π . Sn _— аппроксимация после взятия n членов. Каждый последующий подграфик увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (нажмите для подробностей)

Вычисление числа π произвело революцию благодаря развитию методов бесконечных рядов в 16 и 17 веках. Бесконечная серия – это сумма членов бесконечной последовательности . Бесконечные ряды позволили математикам вычислить число π с гораздо большей точностью, чем Архимед и другие, использовавшие геометрические методы. Хотя бесконечные ряды использовались для определения числа π, в первую очередь, европейскими математиками, такими как Джеймс Грегори и Готфрид Вильгельм Лейбниц , этот подход также появился в школе Кералы где-то в 14 или 15 веке. Около 1500 года нашей эры письменное описание бесконечного ряда, который можно было использовать для вычисления числа π, было изложено в санскритских стихах в «Тантрасамграхе» Нилакантхи Сомаяджи . Серия представлена ​​без доказательств, но доказательства представлены в более поздней работе «Юктибхаша» примерно 1530 года нашей эры. Описано несколько бесконечных рядов, включая ряды для синуса (который Нилакантха приписывает Мадхаве из Сангамаграмы ), косинуса и арктангенса, которые теперь иногда называют рядами Мадхавы . Ряд арктангенса иногда называют рядом Грегори или рядом Грегори-Лейбница. Мадхава использовал бесконечный ряд, чтобы оценить число π до 11 цифр около 1400 года.

В 1593 году Франсуа Вьет опубликовал то, что сейчас известно как формула Вьета , бесконечное произведение (а не бесконечная сумма , которая чаще используется в π ): вычислениях

$${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots$$

В 1655 году Джон Уоллис опубликовал то, что сейчас известно как произведение Уоллиса , также бесконечное произведение:

$${\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdots$$

Исаак Ньютон использовал бесконечные ряды для вычисления числа π до 15 цифр, позже написав: «Мне стыдно рассказывать вам, до скольких цифр я провел эти вычисления».

В 1660-х годах английский учёный Исаак Ньютон и немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц открыли исчисление , что привело к разработке множества бесконечных рядов для аппроксимации числа π . Сам Ньютон использовал арксинусный ряд для вычисления 15-значного приближения числа π в 1665 или 1666 году, написав: «Мне стыдно сказать вам, до скольких цифр я провел эти вычисления, не имея в то время других дел».

В 1671 году Джеймс Грегори и независимо Лейбниц в 1673 году открыли в ряд Тейлора разложение арктангенса :

$$\arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots$$

Этот ряд, иногда называемый рядом Грегори-Лейбница , равен ${\textstyle {\frac {\pi }{4}}}$ при оценке с $z=1$. Но для $z=1$, он сходится непрактично медленно (то есть приближается к ответу очень постепенно), требуя примерно в десять раз больше членов для вычисления каждой дополнительной цифры.

В 1699 году английский математик Абрахам Шарп использовал ряд Грегори-Лейбница для ${\textstyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ вычислить π до 71 цифры, побив предыдущий рекорд в 39 цифр, который был установлен с помощью полигонального алгоритма.

В 1706 году Джон Мачин использовал ряд Грегори-Лейбница для создания алгоритма, который сходился гораздо быстрее:

$${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.$$

Мачин достиг 100 цифр числа π . С помощью этой формулы Другие математики создали варианты, известные теперь как формулы типа Машины , которые использовались для установления нескольких последовательных рекордов по вычислению цифр числа π .

Исаак Ньютон ускорил сходимость ряда Грегори-Лейбница в 1684 году (в неопубликованной работе; другие независимо обнаружили результат):

$\arctan x={\frac {x}{1+x^{2}}}+{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{(1+x^{2})^{2}}}+{\frac {2\cdot 4}{3\cdot 5}}{\frac {x^{5}}{(1+x^{2})^{3}}}+\cdots$

Леонард Эйлер популяризировал эту серию в своем учебнике по дифференциальному исчислению 1755 года, а позже использовал ее с формулами, подобными Машину, включая ${\textstyle {\tfrac {\pi }{4}}=5\arctan {\tfrac {1}{7}}+2\arctan {\tfrac {3}{79}},}$ с помощью которого он вычислил 20 цифр числа π за один час.

Машиноподобные формулы оставались самым известным методом расчета π даже в эпоху компьютеров и использовались для установления рекордов в течение 250 лет, кульминацией которых стало 620-значное приближение в 1946 году Дэниела Фергюсона - лучшее приближение, достигнутое без посторонней помощи. счетного устройства.

В 1844 году рекорд был установлен Захариасом Дазе , который применил подобную Машину формулу для вычисления в уме 200 десятичных знаков числа π по указанию немецкого математика Карла Фридриха Гаусса .

В 1853 году британский математик Уильям Шэнкс вычислил число π до 607 цифр, но допустил ошибку в 528-й цифре, в результате чего все последующие цифры оказались неверными. Хотя в 1873 году он вычислил еще 100 цифр, доведя общее количество до 707, его предыдущая ошибка также сделала все новые цифры неверными.

Скорость сходимости

Некоторые бесконечные ряды для π сходятся быстрее других. Учитывая выбор двух бесконечных рядов для π , математики обычно будут использовать тот, который сходится быстрее, потому что более быстрая сходимость уменьшает объем вычислений, необходимых для вычисления π с любой заданной точностью. Простой бесконечный ряд для π — это ряд Грегори–Лейбница :

$$\pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots$$

По мере того, как к сумме добавляются отдельные члены этого бесконечного ряда, общая сумма постепенно приближается к π и – при достаточном количестве членов – может приблизиться к π настолько , насколько это необходимо. Однако он сходится довольно медленно – после 500 000 членов он дает только пять правильных десятичных цифр π .

Бесконечный ряд для π (опубликованный Нилакантой в 15 веке), который сходится быстрее, чем ряд Грегори – Лейбница:

$$\pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots$$

В следующей таблице сравниваются скорости сходимости этих двух рядов:

Бесконечный ряд для π	После 1-го семестра	После 2-го семестра	После 3-го срока	После 4-го семестра	После 5-го семестра	Сходится к:
$\pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}+\cdots$	4.0000	2.6666 ...	3.4666 ...	2.8952 ...	3.3396 ...	π = 3,1415...
$\pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-\cdots$	3.0000	3.1666 ...	3.1333 ...	3.1452 ...	3.1396 ...

После пяти членов сумма ряда Грегори-Лейбница находится в пределах 0,2 от правильного значения π , тогда как сумма ряда Нилаканты находится в пределах 0,002 от правильного значения. Ряд Нилаканты сходится быстрее и более полезен для вычисления цифр числа π . Ряды, которые сходятся еще быстрее, включают ряд Мачина и ряд Чудновского , последний дает 14 правильных десятичных цифр за член.

Иррациональность и трансцендентность

См. Также: Доказательство того, что π иррационально и Доказательство того, что π трансцендентно.

Не все математические достижения, связанные с π , были направлены на повышение точности приближений. Когда Эйлер в 1735 году решил Базельскую задачу , найдя точное значение суммы обратных квадратов, он установил связь между π и простыми числами , что впоследствии способствовало разработке и изучению дзета-функции Римана :

$${\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots$$

Швейцарский учёный Иоганн Генрих Ламберт в 1768 году доказал, что π иррационально число , то есть оно не равно частному двух целых чисел. В доказательстве Ламберта использовалось представление касательной функции в виде цепной дроби. Французский математик Адриен-Мари Лежандр в 1794 году доказал, что π ² также иррационально. В 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеманн доказал, что π трансцендентно число . подтверждая гипотезу Лежандра и Эйлера. Харди и Райт заявляют, что «доказательства впоследствии были изменены и упрощены Гильбертом, Гурвицем и другими авторами».

Принятие символа π

Самое раннее известное использование греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру было сделано валлийским математиком Уильямом Джонсом в 1706 году.

Леонард Эйлер популяризировал использование греческой буквы π в работах, которые он опубликовал в 1736 и 1748 годах.

В самых ранних обычаях греческая буква π использовалась для обозначения полупериметра ( полупериферии на латыни) круга. и объединялся в соотношениях с δ (для диаметра или полудиаметра) или ρ (для радиуса ), чтобы сформировать константы окружности. (Раньше математики иногда использовали вместо них такие буквы, как c или p . ) Первое зарегистрированное использование — это « Отреда » $\delta .\pi$" , чтобы выразить соотношение периферии и диаметра в 1647 и более поздних изданиях Clavis Mathematicae . Барроу также использовал " ${\textstyle {\frac {\pi }{\delta }}}$" для представления константы 3,14... , в то время как Грегори вместо этого использовал " ${\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}}$" чтобы представить 6,28... .

Самое раннее известное использование одной только греческой буквы π для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру было осуществлено валлийским математиком Уильямом Джонсом в его работе 1706 года Synopsis Palmariorum Matheseos ; или Новое введение в математику . Греческая буква появляется на стр. 243 во фразе " ${\textstyle {\tfrac {1}{2}}}$ Периферия ( π )», рассчитанная для круга радиусом один. Однако Джонс пишет, что его уравнения для π взяты из «готового пера поистине гениального мистера Джона Мэчина », что приводит к предположению, что Мачин, возможно, использовал греческую букву. перед Джонсом. Обозначение Джонса не было сразу принято другими математиками, а обозначение дробей все еще использовалось даже в 1767 году.

Эйлер начал использовать однобуквенную форму, начиная с своего «Эссе, объясняющего свойства воздуха» 1727 года , хотя в этой и некоторых более поздних работах он использовал π = 6,28... , отношение периферии к радиусу. Эйлер впервые использовал число π = 3,14... в своей работе «Механика» 1736 года . и продолжил в своей широко читаемой работе 1748 года Introductio in analysin infinitorum (он писал: «для краткости мы запишем это число как π ; таким образом, π равно половине длины окружности радиуса 1 »). Поскольку Эйлер активно переписывался с другими математиками в Европе, использование греческой буквы быстро распространилось, и с тех пор эта практика получила повсеместное распространение в западном мире . хотя определение все еще варьировалось от 3,14... до 6,28... даже в 1761 году.

Современный поиск большего количества цифр

Компьютерная эра и итеративные алгоритмы

Итерационный алгоритм Гаусса – Лежандра :
Инициализировать

$$\textstyle a_{0}=1,\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad t_{0}={\frac {1}{4}},\quad p_{0}=1.$$

Итерировать

$$\textstyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},$$

$$\textstyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\quad \quad p_{n+1}=2p_{n}.$$

Тогда оценка для π дается выражением

$$\textstyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.$$

Развитие компьютеров в середине 20-го века снова произвело революцию в поиске цифр числа π . Математики Джон Ренч и Леви Смит в 1949 году с помощью настольного калькулятора достигли 1120 цифр. Используя бесконечный ряд обратного тангенса (арктана), команда под руководством Джорджа Райтвизнера и Джона фон Неймана в том же году достигла 2037 цифр с помощью расчета, который занял 70 часов компьютерного времени на компьютере ENIAC . Рекорд, всегда основанный на арктанном ряду, неоднократно побивался (3089 цифр в 1955 г., 7480 цифр в 1957 г.; 10 000 цифр в 1958 году; 100 000 цифр в 1961 году), пока в 1973 году не было достигнуто 1 миллион цифр.

Два дополнительных события, произошедшие примерно в 1980 году, еще раз ускорили возможность вычисления π . Во-первых, открытие новых итерационных алгоритмов вычисления π , которые были намного быстрее, чем бесконечные ряды; и, во-вторых, изобретение быстрых алгоритмов умножения , которые могли очень быстро умножать большие числа. Такие алгоритмы особенно важны в современных вычислениях π, поскольку большая часть времени компьютера посвящена умножению. К ним относятся алгоритм Карацубы , умножение Тума-Кука и методы, основанные на преобразовании Фурье .

Итеративные алгоритмы были независимо опубликованы в 1975–1976 годах физиком Юджином Саламином и учёным Ричардом Брентом . Это позволяет избежать зависимости от бесконечных серий. Итерационный алгоритм повторяет определенное вычисление, каждая итерация использует выходные данные предыдущих шагов в качестве входных данных и выдает результат на каждом шаге, который сходится к желаемому значению. Фактически этот подход был изобретен более 160 лет назад Карлом Фридрихом Гауссом в том, что сейчас называется методом среднего арифметического геометрического (AGM-метод) или алгоритмом Гаусса-Лежандра . В модификации Саламина и Брента он также называется алгоритмом Брента – Саламина.

Итеративные алгоритмы широко использовались после 1980 года, поскольку они быстрее, чем алгоритмы бесконечных рядов: в то время как бесконечные ряды обычно увеличивают количество правильных цифр аддитивно в последовательных терминах, итерационные алгоритмы обычно умножают количество правильных цифр на каждом шаге. Например, алгоритм Брента-Саламина удваивает количество цифр на каждой итерации. В 1984 году братья Джон и Питер Борвейн разработали итерационный алгоритм, который увеличивает количество цифр на каждом шаге в четыре раза; а в 1987 году — тот, который увеличивает количество цифр в пять раз на каждом этапе. Итеративные методы использовались японским математиком Ясумасой Канадой, чтобы установить несколько рекордов по вычислению числа π в период с 1995 по 2002 год. За эту быструю сходимость приходится платить: итеративные алгоритмы требуют значительно больше памяти, чем бесконечные серии.

Мотивы вычисления π

Когда математики открыли новые алгоритмы и стали доступны компьютеры, количество известных десятичных цифр числа π резко возросло. Вертикальный масштаб логарифмический .

Для большинства численных вычислений, включающих π , несколько цифр обеспечивают достаточную точность. По мнению Йорга Арндта и Кристофа Хенеля, тридцати девяти цифр достаточно для выполнения большинства космологических расчетов, поскольку именно такая точность необходима для расчета окружности наблюдаемой Вселенной с точностью до одного атома. Принимая во внимание дополнительные цифры, необходимые для компенсации ошибок округления в вычислениях , Арндт приходит к выводу, что нескольких сотен цифр будет достаточно для любого научного применения. Несмотря на это, люди усердно работали над вычислением числа π до тысяч и миллионов цифр. Частично эти усилия можно приписать человеческому стремлению бить рекорды, и подобные достижения с помощью π часто попадают в заголовки газет по всему миру. Они также имеют практическую пользу, например, тестирование суперкомпьютеров , тестирование алгоритмов численного анализа (включая алгоритмы высокоточного умножения ); и в самой чистой математике, предоставляя данные для оценки случайности цифр π .

Быстро сходящийся ряд

Шриниваса Рамануджан , работая изолированно в Индии, создал множество инновационных рядов для вычисления числа π .

Современные π- калькуляторы не используют исключительно итерационные алгоритмы. В 1980-х и 1990-х годах были открыты новые бесконечные ряды, которые работают так же быстро, как итеративные алгоритмы, но при этом проще и требуют меньше памяти. Быстрые итерационные алгоритмы были ожидаемы в 1914 году, когда индийский математик Шриниваса Рамануджан опубликовал десятки инновационных формул для числа π , отличавшихся элегантностью, математической глубиной и быстрой сходимостью. Одна из его формул, основанная на модульных уравнениях , такова:

$${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}\left(396^{4k}\right)}}.$$

Этот ряд сходится гораздо быстрее, чем большинство арктанцевых рядов, включая формулу Мачина. Билл Госпер был первым, кто использовал его для достижения успехов в вычислении числа π , установив рекорд в 17 миллионов цифр в 1985 году. Формулы Рамануджана предвосхитили современные алгоритмы, разработанные братьями Борвейн ( Джонатаном и Питером ) и братьями Чудновскими . Формула Чудновского , разработанная в 1987 году:

$${\frac {1}{\pi }}={\frac {\sqrt {10005}}{4270934400}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!\,k!^{3}(-640320)^{3k}}}.$$

Он производит около 14 цифр π за термин. и использовался для нескольких рекордных расчетов π , включая первый, превысивший 1 миллиард (10 ⁹ ) цифр в 1989 году братьев Чудновских, 10 триллионов (10 ¹³ ) цифры 2011 года Александра Йи и Сигэру Кондо, и «100 триллионов цифр» Эммы Харуки Ивао в 2022 году. Подобные формулы см. также в серии Рамануджана-Сато .

В 2006 году математик Саймон Плуфф PSLQ. использовал алгоритм целочисленных отношений сгенерировать несколько новых формул для π , соответствующих следующему шаблону:

$$\pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),$$

где q - это e ^Пи (константа Гельфонда), k — нечетное число , а a , b , c — некоторые рациональные числа, вычисленные Плуффом.

Методы Монте-Карло

Игла Бюффона . Иглы a и b выпадают случайным образом.

Случайные точки расставлены на квадрате и вписанном внутрь круге.

Методы Монте-Карло , которые оценивают результаты нескольких случайных испытаний, могут использоваться для создания аппроксимаций π . Игла Бюффона — один из таких приемов: если иглу длиной ℓ бросить n раз на поверхность, на которой проведены параллельные линии на расстоянии t единиц друг от друга, и если x из этих раз она останавливается, пересекая линию ( x > 0), то можно аппроксимировать π на основе подсчетов:

$$\pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}.$$

Другой метод Монте-Карло для вычисления числа π — нарисовать круг, вписанный в квадрат, и случайным образом расставить точки в квадрате. Отношение точек внутри круга к общему количеству точек будет примерно равно π/4 .

Пять случайных блужданий по 200 шагов. Выборочное среднее | Вт ₂₀₀ | есть µ = 56/5 , и поэтому 2(200) µ ⁻² ≈ 3,19 находится в пределах 0,05 от π .

Другой способ вычислить π с использованием вероятности — начать со случайного блуждания , генерируемого последовательностью (честных) подбрасываний монеты: независимые случайные величины X _k такие, что X _k ∈ {−1,1} с равными вероятностями. Соответствующее случайное блуждание

$$W_{n}=\sum _{k=1}^{n}X_{k}$$

так что для каждого получается сдвинутого из _{n W n} и масштабированного биномиального распределения . При n изменении W _n определяет (дискретный) случайный процесс . Тогда π можно вычислить по формуле

$$\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{E[|W_{n}|]^{2}}}.$$

Этот метод Монте-Карло не зависит от какого-либо отношения к окружностям и является следствием центральной предельной теоремы , обсуждаемой ниже .

Эти методы Монте-Карло для аппроксимации числа π очень медленны по сравнению с другими методами и не дают никакой информации о точном количестве получаемых цифр. Таким образом, они никогда не используются для аппроксимации числа π, когда требуется скорость или точность.

Алгоритмы патрубка

В 1995 году были открыты два алгоритма, которые открыли новые возможности исследования π . Их называют алгоритмами крана, потому что, подобно воде, капающей из крана , они выдают однозначные числа π , которые не используются повторно после расчета. В этом отличие от бесконечных серий или итеративных алгоритмов, которые сохраняют и используют все промежуточные цифры до тех пор, пока не будет получен окончательный результат.

Математики Стэн Вагон и Стэнли Рабиновиц в 1995 году разработали простой алгоритм с патрубком. Его скорость сравнима с алгоритмами арктанга, но не так быстро, как итеративные алгоритмы.

Другой алгоритм патрубка, BBP алгоритм извлечения цифр , был открыт в 1995 году Саймоном Плуффом:

$$\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).$$

Эта формула, в отличие от других, предшествующих ей, может дать любую отдельную шестнадцатеричную цифру числа π , не вычисляя все предыдущие цифры. Отдельные двоичные цифры могут быть извлечены из отдельных шестнадцатеричных цифр, а восьмеричные цифры могут быть извлечены из одной или двух шестнадцатеричных цифр. Важным применением алгоритмов извлечения цифр является проверка новых утверждений о вычислениях записи π : после того, как заявлена ​​новая запись, десятичный результат преобразуется в шестнадцатеричный, а затем алгоритм извлечения цифр используется для вычисления нескольких случайно выбранных шестнадцатеричных цифр ближе к концу. ; если они совпадают, это дает меру уверенности в том, что все вычисления верны.

В период с 1998 по 2000 год распределенных вычислений проект PiHex использовал формулу Белларда (модификация алгоритма BBP) для вычисления квадриллионной доли (10 ¹⁵ th) бит числа π , который оказался равен 0. В сентябре 2010 года Yahoo! Сотрудник компании использовал приложение Hadoop на тысяче компьютеров в течение 23 дней, чтобы вычислить 256 бит числа π в двухквадриллионной (2×10) ¹⁵ th) бит, который тоже бывает нулевым.

В 2022 году Плуфф нашел алгоритм с основанием 10 для вычисления цифр числа π .

Роль и характеристики в математике

Поскольку число π тесно связано с кругом, оно встречается во многих формулах из области геометрии и тригонометрии, особенно в тех, которые касаются кругов, сфер или эллипсов. Другие отрасли науки, такие как статистика, физика, анализ Фурье и теория чисел, также включают π в некоторые из своих важных формул.

Геометрия и тригонометрия

Площадь круга равна π заштрихованной площади, умноженной на . Площадь единичного круга равна π .

π появляется в формулах для площадей и объемов геометрических фигур, основанных на кругах, таких как эллипсы , сферы , конусы и торы . Ниже приведены некоторые из наиболее распространенных формул, в которых используется π .

• Длина окружности радиуса r равна 2π r .
• Площадь круга радиуса r равна π r ² .
• Площадь эллипса с большой полуосью a и малой полуосью b равна π ab .
• Объем сферы радиуса r равен 4/3 ​ ​ пр р ³ .
• Площадь поверхности сферы радиуса r равна 4π r. ² .

Некоторые из приведенных выше формул являются частными случаями объема n -мерного шара и площади поверхности его границы, ( n −1)-мерной сферы , приведенных ниже .

Помимо кругов, существуют и другие кривые постоянной ширины . По теореме Барбье периметр каждой кривой постоянной ширины равен π , умноженному на ее ширину. Треугольник Рело (образованный пересечением трех кругов, радиусы которых являются сторонами равностороннего треугольника ) имеет наименьшую возможную площадь при своей ширине, а круг - наибольшую. Существуют также некруговые гладкие и даже алгебраические кривые постоянной ширины.

Определенные интегралы , описывающие окружность, площадь или объем фигур, созданных кругами, обычно имеют значения, включающие π . Например, интеграл, определяющий половину площади круга радиуса один, определяется следующим образом:

$$\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.$$

В этом интеграле функция ${\sqrt {1-x^{2}}}$ представляет собой высоту над $x$-ось полукруга ( квадратный корень является следствием теоремы Пифагора ), а интеграл вычисляет площадь под полукругом.

Единицы угла

Основная статья: Единицы измерения угла

Функции синуса и косинуса повторяются с периодом 2 π .

Тригонометрические функции основаны на углах, и математики обычно используют радианы в качестве единиц измерения. π играет важную роль в углах, измеряемых в радианах , которые определяются так, что полный круг охватывает угол в 2 π радиан. Угловая мера 180° равна π радиан, а 1° = π /180 радиан .

Общие тригонометрические функции имеют периоды, кратные π ; например, синус и косинус имеют период 2 π , поэтому для любого угла θ и любого целого k числа

$$\sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right){\text{ and }}\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).$$

Собственные значения

Обертоны второй колеблющейся струны являются собственными функциями производной и образуют гармоническую прогрессию . Соответствующие собственные значения образуют арифметическую прогрессию целых чисел, кратных π .

Многие появления числа π в формулах математики и естественных наук связаны с его тесной связью с геометрией. Однако π появляется и во многих естественных ситуациях, по-видимому, не имеющих ничего общего с геометрией.

Во многих приложениях оно играет выдающуюся роль собственного значения . Например, идеализированную вибрирующую струну можно смоделировать как график функции f на единичном интервале [0, 1] с фиксированными концами f (0) = f (1) = 0 . Моды колебаний струны являются решениями дифференциального уравнения $f''(x)+\lambda f(x)=0$, или $f''(t)=-\lambda f(x)$. Таким образом, λ второй производной. является собственным значением оператора $f\mapsto f''$ ограничивает , и теория Штурма – Лиувилля его принятием только определенных конкретных значений. Он должен быть положительным, так как оператор отрицательно определен , поэтому удобно писать λ = ν ² , где ν > 0 называется волновым числом . Тогда f ( x ) = sin( π x ) удовлетворяет граничным условиям и дифференциальному уравнению с ν = π .

Значение π фактически является наименьшим из таких значений волнового числа и связано с основной формой колебаний струны. Один из способов показать это — оценить энергию , которая удовлетворяет неравенству Виртингера : для функции $f:[0,1]\to \mathbb {C}$ с f (0) = f (1) = 0 и f , f ′ оба интегрируемы с квадратом , мы имеем:

$$\pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,$$

с равенством именно тогда, когда f кратно sin(π x ) . Здесь π появляется как оптимальная константа в неравенстве Виртингера, и отсюда следует, что это наименьшее волновое число, если использовать вариационную характеристику собственного значения. Как следствие, π — наименьшее сингулярное значение оператора производной в пространстве функций на [0, 1] , обращающихся в нуль в обоих концах ( пространство Соболева $H_{0}^{1}[0,1]$).

Неравенства

, древний город Карфаген стал решением изопериметрической проблемы Согласно легенде, рассказанной лордом Кельвином : те земли, граничащие с морем, которые царица Дидона могла бы охватить со всех остальных сторон одной данной бычьей шкурой, разрезанной на полосы.

Число π, которое служит, появляется в аналогичных задачах на собственные значения в многомерном анализе. Как упоминалось выше , ее можно охарактеризовать через роль лучшей константы в изопериметрическом неравенстве : площадь A , ограниченная плоской жордановой кривой с периметром P, удовлетворяет неравенству

$$4\pi A\leq P^{2},$$

и равенство, очевидно, достигается для окружности, так как в этом случае A = π r ² и P знак равно 2π р .

В конечном счете, как следствие изопериметрического неравенства, π появляется в оптимальной константе для критического неравенства Соболева в n измерениях, что, таким образом, характеризует роль π и во многих физических явлениях, например, в классической теории потенциала . В двух измерениях критическое неравенство Соболева имеет вид

$$2\pi \|f\|_{2}\leq \|\nabla f\|_{1}$$

для f — гладкая функция с компактным носителем в R ² , $\nabla f$ градиент ​ f , и $\|f\|_{2}$ и $\|\nabla f\|_{1}$ относятся соответственно к L ² и я ¹ -норма . Неравенство Соболева эквивалентно изопериметрическому неравенству (в любом измерении) с теми же лучшими константами.

Неравенство Виртингера также обобщается на многомерные неравенства Пуанкаре , которые обеспечивают наилучшие константы для энергии Дирихле -мерной мембраны n . В частности, π — наибольшая константа такая, что

$$\pi \leq {\frac {\left(\int _{G}|\nabla u|^{2}\right)^{1/2}}{\left(\int _{G}|u|^{2}\right)^{1/2}}}$$

для всех выпуклых подмножеств G в R ^н диаметра 1 и интегрируемые с квадратом функции u на G с нулевым средним значением. Так же, как неравенство Виртингера является вариационной формой проблемы собственных значений Дирихле в одном измерении, неравенство Пуанкаре является вариационной формой проблемы собственных значений Неймана в любом измерении.

Преобразование Фурье и принцип неопределенности Гейзенберга

Анимация геодезической в ​​группе Гейзенберга.

Константа π также появляется как критический спектральный параметр в преобразовании Фурье . Это интегральное преобразование , которое преобразует комплекснозначную интегрируемую функцию f на действительной прямой в функцию, определяемую как:

$${\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.$$

Хотя существует несколько различных соглашений о преобразовании Фурье и обратном ему, любое такое соглашение должно включать π где-то . Однако приведенное выше определение является наиболее каноническим, дающим единственный унитарный оператор на L ² это также гомоморфизм алгебры L ¹ в Л ^∞ .

Принцип неопределенности Гейзенберга также содержит число π . Принцип неопределенности дает точную нижнюю границу степени, в которой можно локализовать функцию как в пространстве, так и по частоте: с нашими соглашениями о преобразовании Фурье

$$\left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}.$$

Физические последствия, касающиеся неопределенности при одновременном наблюдении положения и импульса квантово-механической системы, обсуждаются ниже . Появление π в формулах анализа Фурье в конечном итоге является следствием теоремы Стоуна–фон Неймана , утверждающей единственность представления Шрёдингера группы Гейзенберга .

Гауссовы интегралы

График функции Гаусса ƒ ( x ) = e ^{− х 2} . Цветная область между функцией и осью x имеет площадь √ π .

В областях вероятности и статистики часто используется нормальное распределение как простая модель сложных явлений; например, ученые обычно предполагают, что ошибка наблюдения в большинстве экспериментов подчиняется нормальному распределению. Функция Гаусса , которая представляет собой функцию плотности вероятности нормального распределения со средним значением µ и стандартным отклонением σ , естественно содержит π :

$$f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.$$

Фактор ${\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}$делает площадь под графиком f равной единице, как это требуется для распределения вероятностей. Это следует из замены переменных в интеграле Гаусса :

$$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-u^{2}}\,du={\sqrt {\pi }}$$

который говорит, что площадь под основной колоколообразной кривой на рисунке равна квадратному корню из π .

Центральная предельная теорема объясняет центральную роль нормального распределения и, следовательно, π в вероятности и статистике. Эта теорема в конечном итоге связана со спектральной характеристикой π как собственного значения , связанной с принципом неопределенности Гейзенберга, и с тем фактом, что равенство в принципе неопределенности выполняется только для функции Гаусса. Эквивалентно, π — это уникальная константа, составляющая нормальное распределение Гаусса e. ^{−π х 2} равен его собственному преобразованию Фурье. Действительно, согласно Хоу (1980) , «весь процесс» установления фундаментальных теорем анализа Фурье сводится к интегралу Гаусса.

Топология

Униформизация квартики Клейна , поверхности рода три и эйлеровой характеристики −4, как фактора гиперболической плоскости по группе симметрии PSL(2,7) Фано плоскости . Гиперболическая площадь фундаментальной области равна 8π по Гауссу – Бонне.

Константа π появляется в формуле Гаусса – Бонне , которая связывает дифференциальную геометрию поверхностей с их топологией . В частности, если компактная поверхность Σ имеет гауссовую кривизну K , то

$$\int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )$$

где χ (Σ) — эйлерова характеристика , являющаяся целым числом. Примером может служить площадь поверхности сферы S кривизны 1 (так что ее радиус кривизны , совпадающий с ее радиусом, также равен 1.) Эйлерова характеристика сферы может быть вычислена из ее групп гомологии и оказывается равной равен двум. Таким образом, мы имеем

$$A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi$$

воспроизводя формулу площади поверхности сферы радиуса 1.

Константа появляется во многих других интегральных формулах топологии, в частности, в тех, которые включают характеристические классы через гомоморфизм Черна – Вейля .

Интегральная формула Коши

Сложные аналитические функции можно представить как совокупность линий тока и эквипотенциалов, систем кривых, пересекающихся под прямым углом. Здесь показан комплексный логарифм гамма-функции.

Одним из ключевых инструментов комплексного анализа является контурное интегрирование функции по положительно ориентированной ( спрямляемой ) жордановой кривой γ . Форма интегральной формулы Коши что если точка z0 _{гласит ,} находится внутри γ , то

$$\oint _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}=2\pi i.$$

Хотя кривая γ не является окружностью и, следовательно, не имеет какой-либо очевидной связи с константой π , стандартное доказательство этого результата использует теорему Мореры , из которой следует, что интеграл инвариантен относительно гомотопии кривой, так что его можно деформируется в окружность, а затем явно интегрируется в полярных координатах. В более общем смысле верно, что если спрямляемая замкнутая кривая γ не содержит z ₀ , то указанный выше интеграл в 2π i раз превышает число витков кривой.

Общий вид интегральной формулы Коши устанавливает связь между значениями комплексной аналитической функции f ( z ) на жордановой кривой γ и значением f ( z ) внутренней точке z0 _{в любой} кривой γ :

$$\oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz=2\pi if(z_{0})$$

при условии, что f ( z ) аналитична в области, ограниченной γ , и непрерывно продолжается до γ . Интегральная формула Коши является частным случаем теоремы о вычетах , согласно которой если g ( z ) — мероморфная функция, область, заключенная в γ , и непрерывна в окрестности γ , то

$$\oint _{\gamma }g(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (g,a_{k})$$

сумма представляет собой вычеты в полюсах g ) ( z . где

Векторное исчисление и физика

Константа π повсеместно встречается в векторном исчислении и теории потенциала , например, в законе Кулона . Закон Гаусса , уравнения Максвелла и даже уравнения поля Эйнштейна . Возможно, самым простым примером этого является двумерный ньютоновский потенциал , представляющий потенциал точечного источника в начале координат, связанное с ним поле имеет единичный поток наружу через любую гладкую и ориентированную замкнутую поверхность, окружающую источник:

$$\Phi (\mathbf {x} )={\frac {1}{2\pi }}\log |\mathbf {x} |.$$

Фактор $1/2\pi$ необходимо для того, чтобы гарантировать, что $\Phi$ является фундаментальным решением Пуассона уравнения в $\mathbb {R} ^{2}$:

$$\Delta \Phi =\delta$$

где $\delta$ – дельта - функция Дирака .

В более высоких измерениях коэффициенты π присутствуют из-за нормализации на n-мерный объем единичной n сферы . Например, в трех измерениях ньютоновский потенциал равен:

$$\Phi (\mathbf {x} )=-{\frac {1}{4\pi |\mathbf {x} |}},$$

который имеет в знаменателе двумерный объем (т.е. площадь) единичной 2-сферы.

Полная кривизна

Этот раздел представляет собой отрывок из книги «Полная кривизна» . [ редактировать ]

Эта кривая имеет общую кривизну 6 π и индекс/число поворота 3, хотя число витков у нее только 2 вокруг p .

При математическом изучении дифференциальной геометрии кривых полная кривизна погруженной вдоль кривой , плоской кривой представляет собой интеграл от кривизны взятый по длине дуги :

$\int _{a}^{b}k(s)\,ds=2\pi N.$

Общая кривизна замкнутой кривой всегда является целым числом, кратным 2 π , где N называется индексом кривой или числом поворота - это число витков единичного касательного вектора вокруг начала координат или, что то же самое, степень отображения. единичному кругу , присваивающему каждой точке кривой единичный вектор скорости в этой точке. Эта карта аналогична карте Гаусса для поверхностей.

Гамма-функция и приближение Стирлинга

График гамма-функции на действительной оси

Функция факториала ​ $n!$является произведением всех натуральных чисел до n . Гамма -функция расширяет концепцию факториала (обычно определяемого только для неотрицательных целых чисел) на все комплексные числа, за исключением отрицательных действительных целых чисел, с тождеством $\Gamma (n)=(n-1)!$. Когда гамма-функция оценивается как полуцелые числа, результат содержит π . Например, $\Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}$ и ${\textstyle \Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}}$.

Гамма-функция определяется разработкой продукта Вейерштрасса :

$$\Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{z/n}}{1+z/n}}$$

где γ — постоянная Эйлера–Машерони . Вычисленное при z = 1/2 и возведенное в квадрат, уравнение Γ(1/2) ² = π сводится к формуле произведения Уоллиса. Гамма-функция также связана с дзета-функцией Римана и тождествами для функционального определителя , в котором константа π играет важную роль .

Гамма-функция используется для расчета объема V _n ( r ) радиуса n -мерного шара r в евклидовом n -мерном пространстве и площади поверхности S _{n −1} ( r ) его границы ( n −1 )-мерная сфера :

$$V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n},$$

$$S_{n-1}(r)={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n-1}.$$

следует, Далее, из функционального уравнения что

$$2\pi r={\frac {S_{n+1}(r)}{V_{n}(r)}}.$$

Гамма-функция может использоваться для создания простой аппроксимации факториала n ! для большого n : ${\textstyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ которое известно как приближение Стирлинга . Эквивалентно,

$$\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{2n}n!^{2}}{2n^{2n+1}}}.$$

В качестве геометрического применения приближения Стирлинга пусть Δ _n обозначает стандартный симплекс в n -мерном евклидовом пространстве, а ( n + 1)Δ _n обозначает симплекс, все стороны которого увеличены в n + 1 раз . Затем

$$\operatorname {Vol} ((n+1)\Delta _{n})={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}\sim {\frac {e^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}.$$

Гипотеза Эрхарта об объеме состоит в том, что это (оптимальная) верхняя граница объема выпуклого тела , содержащего только одну точку решетки .

Теория чисел и дзета-функция Римана

Каждому простому числу соответствует группа Прюфера , которая является арифметической локализацией круга. аналитической L-функции теории чисел также локализованы в каждом простом числе p .

Решение Базельской проблемы с использованием гипотезы Вейля : значение ζ (2) — это гиперболическая площадь фундаментальной области модулярной группы , умноженная на π /2 .

Дзета -функция Римана ζ ( s ) используется во многих областях математики. При оценке при s = 2 это можно записать как

$$\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots$$

Поиск простого решения для этого бесконечного ряда был знаменитой математической задачей, называемой Базельской проблемой . Леонард Эйлер решил эту задачу в 1735 году, когда показал, что она равна π. ² /6 . Результат Эйлера приводит к результату теории чисел , согласно которому вероятность того, что два случайных числа будут относительно простыми (то есть не будут иметь общих множителей), равна 6/π. ² . Эта вероятность основана на наблюдении, что вероятность того, что любое число делится на простое число p , равна 1/ p (например, каждое седьмое целое число делится на 7). Следовательно, вероятность того, что два числа оба делятся на это простое число, равна 1. / п ² , а вероятность того, что хотя бы один из них не является таковым, равна 1 − 1/ p ² . Для различных простых чисел эти события делимости взаимно независимы; таким образом, вероятность того, что два числа являются относительно простыми, определяется произведением всех простых чисел:

$${\begin{aligned}\prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)&=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}\\[4pt]&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}\\[4pt]&={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%.\end{aligned}}$$

Эту вероятность можно использовать вместе с генератором случайных чисел для аппроксимации числа π с использованием подхода Монте-Карло.

Решение Базельской проблемы подразумевает, что геометрически полученная величина π глубоко связана с распределением простых чисел. Это частный случай гипотезы Вейля о числах Тамагавы , которая утверждает равенство подобных таких бесконечных произведений арифметических величин, локализованных в каждом простом числе p , и геометрической величины: обратной объему некоторого локально симметричного пространства . В случае Базельской задачи это гиперболическое 3-многообразие SL ₂ ( R ) / SL ₂ ( Z ) .

Дзета-функция также удовлетворяет функциональному уравнению Римана, которое включает в себя π , а также гамма-функцию:

$$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).$$

Кроме того, производная дзета-функции удовлетворяет условию

$$\exp(-\zeta '(0))={\sqrt {2\pi }}.$$

Следствием этого является то, что π можно получить из функционального определителя гармонического осциллятора . Этот функциональный определитель можно вычислить посредством разложения произведения, и он эквивалентен формуле произведения Уоллиса. Расчеты могут быть переработаны в квантовой механике , в частности, в вариационном подходе к спектру атома водорода .

ряд Фурье

π появляется в символах p-адических чисел (показаны), которые являются элементами группы Прюфера . В диссертации Тейта этот механизм активно используется.

Константа π также естественным образом появляется в рядах Фурье периодических функций . Периодические функции — это функции на группе T = R / Z дробных частей действительных чисел. что комплекснозначная функция f на T может быть записана как бесконечная линейная суперпозиция унитарных характеров T Разложение Фурье показывает , . То есть непрерывные групповые гомоморфизмы из T в группу окружностей U (1) комплексных чисел с единичным модулем. Это теорема о том, что каждый характер T является одной из комплексных экспонент. $e_{n}(x)=e^{2\pi inx}$.

существует единственный характер На T с точностью до комплексного сопряжения, который является групповым изоморфизмом. Используя меру Хаара на группе окружностей, константа π равна половине величины производной Радона – Никодима этого характера. Остальные символы имеют производные, величины которых являются целыми положительными кратными 2 π . В результате константа π является единственным числом таким, что группа T , снабженная своей мерой Хаара, является двойственной по Понтрягину решетке целых кратных 2 π . Это версия одномерной формулы суммирования Пуассона .

Модульные формы и тэта-функции

Тета-функции преобразуются под решеткой периодов эллиптической кривой.

Константа π глубоко связана с теорией модулярных форм и тэта-функций . Например, алгоритм Чудновского существенным образом задействует j-инвариант эллиптической кривой .

Модульные формы — это голоморфные функции в верхней полуплоскости , характеризующиеся своими свойствами преобразования под действием модулярной группы. $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )$ (или различных ее подгрупп), решетка в группе $\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )$. Примером может служить тета-функция Якоби.

$$\theta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi inz+i\pi n^{2}\tau }$$

это своего рода модульная форма, называемая формой Якоби . Иногда это пишут с помощью нома $q=e^{\pi i\tau }$.

Константа π — это уникальная константа, которая делает тэта-функцию Якоби автоморфной формой , что означает, что она преобразуется определенным образом. Некоторые тождества справедливы для всех автоморфных форм. Примером является

$$\theta (z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i\tau -2\pi iz}\theta (z,\tau ),$$

из чего следует, что θ преобразуется как представление дискретной группы Гейзенберга . Общие модулярные формы и другие тэта-функции также включают π , опять-таки из-за теоремы Стоуна-фон Неймана .

Распределение Коши и теория потенциала

Ведьма Аньези , названная в честь Марии Аньези (1718–1799), представляет собой геометрическую конструкцию графика распределения Коши.

Распределение Коши определяет прохождение броуновских частиц через мембрану.

Распределение Коши

$$g(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}$$

представляет собой функцию плотности вероятности . Полная вероятность равна единице благодаря интегралу:

$$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi .$$

Энтропия Шеннона распределения Коши равна ln(4π) , что также включает π .

Распределение Коши играет важную роль в теории потенциала , поскольку это простейшая мера Фюрстенберга , классическое ядро ​​Пуассона, связанное с броуновским движением в полуплоскости. Сопряженные гармонические функции , а также преобразование Гильберта связаны с асимптотикой ядра Пуассона. Преобразование Гильберта H — это интегральное преобразование, определяемое главным значением Коши . сингулярного интеграла

$$Hf(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)\,dx}{x-t}}.$$

Константа π — это уникальный (положительный) нормализующий фактор, такой, что H определяет линейную комплексную структуру в гильбертовом пространстве интегрируемых с квадратом вещественных функций на действительной прямой. Преобразование Гильберта, как и преобразование Фурье, можно охарактеризовать исключительно с точки зрения его свойств преобразования в гильбертовом пространстве L. ² ( R ) : с точностью до нормировочного множителя это единственный ограниченный линейный оператор, который коммутирует с положительными расширениями и антикоммутирует со всеми отражениями реальной прямой. Константа π — это уникальный нормировочный множитель, который делает это преобразование унитарным.

В множестве Мандельброта

Множество Мандельброта можно использовать для аппроксимации π .

Появление числа π во фрактале , называемом множеством Мандельброта, было обнаружено Дэвидом Боллом в 1991 году. Он исследовал поведение набора Мандельброта вблизи «шеи» при (-0,75, 0) . Когда количество итераций до расхождения для точки (−0,75, ε ) умножается на ε , результат приближается к π , когда ε приближается к нулю. Точка (0,25 + ε , 0) на вершине большой «долины» в правой части множества Мандельброта ведет себя аналогично: число итераций до тех пор, пока дивергенция, умноженная на квадратный корень из ε, стремится к π .

Проективная геометрия

Пусть V — множество всех дважды дифференцируемых действительных функций. $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ удовлетворяющие обыкновенному дифференциальному уравнению $f''(x)+f(x)=0$. Тогда V — двумерное вещественное векторное пространство с двумя параметрами, соответствующими паре начальных условий дифференциального уравнения. Для любого $t\in \mathbb {R}$, позволять $e_{t}:V\to \mathbb {R}$ быть функционалом оценки, который соответствует каждому $f\in V$ Значение $e_{t}(f)=f(t)$функции f в вещественной точке t . Тогда t ядро для каждого $e_{t}$— одномерное линейное подпространство V . Следовательно $t\mapsto \ker e_{t}$ определяет функцию из $\mathbb {R} \to \mathbb {P} (V)$от действительной прямой к действительной проективной прямой . Эта функция периодическая, и величину π можно охарактеризовать как период этого отображения. константа π , а не 2 π Это примечательно тем, что в этом контексте естественным образом появляется .

Вне математики

Описание физических явлений

Хотя не является физической константой , число π оно регулярно появляется в уравнениях, описывающих фундаментальные принципы Вселенной, часто из-за связи π с кругом и сферическими системами координат . Простая формула из области классической механики дает примерный период Т простого маятника длины L , качающегося с небольшой амплитудой ( g — ускорение свободного падения Земли ):

$$T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}.$$

Одной из ключевых формул квантовой механики является принцип неопределенности Гейзенберга , который показывает, что неопределенность в измерении положения частицы (Δx ) и импульса (Δp ) не может одновременно быть сколь угодно малой (где h — планковская постоянный ):

$$\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}.$$

Тот факт, что π примерно равно 3, играет роль в относительно длительном времени жизни ортопозитрония . Время жизни, обратное низшему порядку постоянной тонкой структуры α , равно

$${\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m_{\text{e}}\alpha ^{6},$$

где m _e — масса электрона.

π присутствует в некоторых формулах проектирования конструкций, таких как формула потери устойчивости, выведенная Эйлером, которая дает максимальную осевую нагрузку F , которую может выдержать длинная тонкая колонна длиной L , модуль упругости E и момент инерции площади I , которые могут нести без потери устойчивости. :

$$F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}.$$

Область гидродинамики содержит π в законе Стокса , который аппроксимирует силу трения F , действующую на небольшие сферические объекты радиуса R , движущиеся со скоростью v в жидкости с динамической вязкостью η :

$$F=6\pi \eta Rv.$$

В электромагнетике проницаемости вакуума константа ц ₀ появляется в уравнениях Максвелла , описывающих свойства электрических и магнитных полей и электромагнитного излучения . До 20 мая 2019 года он определялся именно как

$$\mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}{\text{ H/m}}\approx 1.2566370614\ldots \times 10^{-6}{\text{ N/A}}^{2}.$$

Запоминание цифр

Основная статья: Пифилология

Пифилология – это практика запоминания большого количества цифр числа π . мировые рекорды хранятся в Книге рекордов Гиннеса . Рекорд запоминания цифр числа π , сертифицированный Книгой рекордов Гиннеса, составляет 70 000 цифр, произнесенный в Индии Раджвиром Миной за 9 часов 27 минут 21 марта 2015 года. В 2006 году Акира Харагути , японский инженер на пенсии, заявил, что произнес 100 000 десятичных знаков, но это утверждение не было подтверждено Книгой рекордов Гиннеса.

Один из распространенных методов — заучить наизусть рассказ или стихотворение, в котором длины слов представляют собой цифры числа π : в первом слове три буквы, во втором — одна, в третьем — четыре, в четвертом — одна, в пятом — пять и скоро. Такие средства запоминания называются мнемотехникой . Ранний пример мнемоники числа «пи», первоначально придуманной английским ученым Джеймсом Джинсом , звучит так: «Как мне хочется выпить, конечно, алкоголика, после тяжелых лекций по квантовой механике». Когда используется стихотворение, его иногда называют пьесой . Стихи для запоминания числа π написаны не только на английском, но и на нескольких языках. Рекордные запоминатели π обычно не полагаются на стихи, а вместо этого используют такие методы, как запоминание числовых шаблонов и метод локусов .

Некоторые авторы использовали цифры π , чтобы создать новую форму ограниченного письма , где длины слов должны представлять цифры π . Кадейская каденция содержит первые 3835 цифр числа π таким образом: а полноформатная книга Not a Wake содержит 10 000 слов, каждое из которых представляет одну цифру числа π .

В популярной культуре

Пи-пирог. Многие пироги имеют круглую форму, а «пирог» и π являются омофонами , что делает пирог частым предметом каламбуров «пи» .

Возможно, из-за простоты определения и повсеместного присутствия в формулах, π было представлено в популярной культуре больше, чем другие математические конструкции.

Во Дворце открытий (музей науки в Париже) есть круглая комната, известная как комната Пи . На его стене начертано 707 цифр числа π . Цифры представляют собой большие деревянные символы, прикрепленные к куполообразному потолку. Цифры были основаны на расчете 1873 года английского математика Уильяма Шэнкса , который включал ошибку, начинающуюся с 528-й цифры. Ошибка была обнаружена в 1946 году и исправлена ​​в 1949 году.

В романе Карла Сагана « 1985 года Контакт» предполагается, что создатель Вселенной спрятал послание глубоко внутри цифр π . Эта часть истории была исключена из экранизации романа. Цифры π также были включены в текст песни «Pi» из альбома Aerial» Кейт Буш « 2005 года . В эпизоде ​​​​Звездного пути 1967 года « Волк в загоне » вышедший из-под контроля компьютер удерживается с помощью инструкции «Вычислить до последней цифры значение π ».

В Соединенных Штатах День Пи выпадает на 14 марта (в американском стиле пишется 3/14) и популярен среди студентов. Число π и его цифровое представление часто используются самопровозглашенными « фанатами математики » для шуток среди групп с математическим и технологическим складом ума. которое Приветствие колледжа, по-разному приписывают Массачусетскому технологическому институту или Политехническому институту Ренсселера, включает «3.14159». День Пи в 2015 году был особенно значимым, поскольку дата и время 14.03.15 9:26:53 отражали гораздо больше цифр числа Пи. В тех частях мира, где даты обычно отмечаются в формате день/месяц/год, 22 июля представляет собой «День приближения числа Пи», поскольку 22/7 = 3,142857.

Некоторые предложили заменить π на τ = 2 π , утверждая, что τ как число радианов за один оборот или отношение длины окружности к ее радиусу более естественно, чем π , и упрощает многие формулы. Такое использование τ не вошло в основную математику. но с 2010 года это привело к тому, что 28 июня люди празднуют День Двух Пи или День Тау.

В 1897 году математик-любитель попытался убедить законодательный орган штата Индиана принять закон штата Индиана Пи , который описывал метод квадратуры круга и содержал текст, подразумевающий различные неправильные значения числа π , включая 3,2. Законопроект печально известен как попытка установить значение математической константы законодательным указом. Законопроект был принят Палатой представителей Индианы, но отклонен Сенатом и, таким образом, не стал законом.

В компьютерной культуре

В современной интернет-культуре отдельные лица и организации часто отдают дань уважения числу π . Например, ученый-компьютерщик Дональд Кнут позволил номерам версий своей программы TeX приблизиться к π . Версии: 3, 3.1, 3.14 и т. д. τ был добавлен в несколько языков программирования как предопределенная константа.

Смотрите также

• Приближения π
• Хронология вычисления π
• Список математических констант

Рекомендации

Общие и цитируемые источники

• Абрамсон, Джей (2014). Предварительный расчет . ОпенСтакс .
• Эндрюс, Джордж Э.; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999). Специальные функции . Кембридж: Университетское издательство. ISBN  978-0-521-78988-2 .
• Арндт, Йорг; Хенель, Кристоф (2006). Пи на свободе . Спрингер Верлаг. ISBN  978-3-540-66572-4 . Проверено 5 июня 2013 г. Английский перевод Катрионы и Дэвида Лишки.
• Берггрен, Леннарт; Борвейн, Джонатан ; Борвейн, Питер (1997). Пи: Справочник . Издательство Спрингер. ISBN  978-0-387-20571-7 .
• Бойер, Карл Б.; Мерцбах, Ута К. (1991). История математики (2-е изд.). Уайли. ISBN  978-0-471-54397-8 .
• Бронштейн, Илья; Семендяев К.А. (1971). Путеводитель по математике Опубликовано Гарри Дойчем ISBN  978-3-87144-095-3 .
• Дым, Х.; Маккин, HP (1972). Ряды Фурье и интегралы . Академическая пресса.
• Эймар, Пьер; Лафон, Жан Пьер (2004). Число π . Перевод Уилсона, Стивена. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3246-2 . английский перевод Autour du nombre π (на французском языке). Германн. 1999.
• Посаментье, Альфред С.; Леманн, Ингмар (2004). π : Биография самого загадочного числа в мире . Книги Прометея. ISBN  978-1-59102-200-8 .
• Реммерт, Рейнхольд (2012). «Глава 5. Что такое π?» . В Хайнц-Дитер Эббингауз; Ганс Гермес; Фридрих Хирцебрух; Макс Кохер; Клаус Майнцер; Юрген Нойкирх; Александр Престель; Райнхольд Реммерт (ред.). Числа . Спрингер. ISBN  978-1-4612-1005-4 .

дальнейшее чтение

• Блатнер, Дэвид (1999). Радость π ​ Уокер и компания. ISBN  978-0-8027-7562-7 .
• Делаэ, Жан-Поль (1997). Захватывающее число π . Париж: Научная библиотека. ISBN  2-902918-25-9 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Пи» . Математический мир .
• Демонстрация Ламбертом (1761) иррациональности числа π , онлайн. Архивировано 31 декабря 2014 года в Wayback Machine и проанализировано BibNum. Архивировано 2 апреля 2015 года в Wayback Machine (PDF).
• π Поисковая система 2 миллиарда доступных для поиска цифр π , e и √ 2
• аппроксимация π точками решетки и аппроксимация π прямоугольниками и трапециями (интерактивные иллюстрации)