Решение уравнений

{\overset {}{\underset {}{x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}

Квадратная формула , символическое решение квадратного уравнения

ах 2 + Ьх + с = 0

В математике решить уравнение — значит найти его решения , которые представляют собой значения ( числа , функции , множества и т. д.), удовлетворяющие условию, установленному уравнением , состоящим обычно из двух выражений, связанных знаком равенства . При поиске решения одна или несколько переменных обозначаются как неизвестные . Решение — это присвоение значений неизвестным переменным, которое делает равенство в уравнении истинным. Другими словами, решение — это значение или набор значений (по одному на каждое неизвестное), такое, что при замене неизвестных уравнение становится равенством .Решение уравнения часто называют корнем уравнения, особенно, но не только, для полиномиальных уравнений . Совокупность всех решений уравнения является множеством его решений .

Уравнение может быть решено как численно , так и символически. решение уравнения Численное означает, что в качестве решений принимаются только числа. решение уравнения Символическое означает, что для представления решений можно использовать выражения.

Например, уравнение $x + y = 2 x - 1$ решается относительно неизвестного $x$ с помощью выражения $x = y + 1$ , поскольку замена $y + 1$ на $x$ в уравнении $приводит к (y + 1) + y = 2(y + 1) - 1$ , верное утверждение. Также можно принять переменную $y$ как неизвестную, и тогда уравнение решается как $y = x - 1$ . Или $x$ и $y$ можно рассматривать как неизвестные, и тогда у уравнения будет много решений; символическое решение — $(x, y) = (a + 1, a)$ , где переменная $a$ может принимать любое значение. Создание символического решения с конкретными числами дает численное решение; например, $a = 0$ дает $(x, y) = (1, 0)$ (то есть $x = 1, y = 0$ ), а $a = 1$ дает $(x, y) = (2, 1)$ .

Различие между известными и неизвестными переменными обычно проводится в формулировке задачи с помощью таких фраз, как «уравнение для $x$ и $y$ » или «решить для $x$ и $y$ », которые указывают на неизвестные, здесь $x$ и $y$ .Однако принято резервировать $x$ , $y$ , $z$ ,... для обозначения неизвестных и использовать $a$ , $b$ , $c$ ,... для обозначения известных переменных, которые часто называют параметрами . Обычно это имеет место при рассмотрении полиномиальных уравнений , таких как квадратные уравнения . Однако в некоторых задачах все переменные могут выполнять любую роль.

В зависимости от контекста решение уравнения может заключаться в поиске любого решения (достаточно найти одно решение), всех решений или решения, которое удовлетворяет дополнительным свойствам, таким как принадлежность к заданному интервалу . Когда задача состоит в том, чтобы найти решение, которое является лучшим по какому-либо критерию, это задача оптимизации . Решение задачи оптимизации обычно не называется «решением уравнений», поскольку, как правило, методы решения начинаются с конкретного решения для поиска лучшего решения и повторяются процесс до тех пор, пока в конечном итоге не будет найдено лучшее решение.

Обзор [ править ]

Одна общая форма уравнения:

f\left(x_{1},\dots ,x_{n}\right)=c,

где $f$ — функция , $x 1, ..., x n$ — неизвестные, а $c$ — константа. Ее решения являются элементами обратного образа

f^{-1}(c)={\bigl \{}(a_{1},\dots ,a_{n})\in D\mid f\left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)=c{\bigr \}},

где $D$ — область определения функции $f$ . Множество решений может быть пустым (решений нет), одноэлементным (решение ровно одно), конечным или бесконечным (решений бесконечно много).

Например, такое уравнение, как

3x+2y=21z,

с неизвестными $x, y$ и $z$ , можно привести к приведенной выше форме, вычитая $21 z$ из обеих частей уравнения, чтобы получить

3x+2y-21z=0

В этом конкретном случае существует не одно решение, а бесконечное множество решений, которое можно записать с использованием нотации построителя множеств как

{\bigl \{}(x,y,z)\mid 3x+2y-21z=0{\bigr \}}.

Одним из частных решений является $x = 0, y = 0, z = 0$ . Два других решения: $x = 3, y = 6, z = 1$ и $x = 8, y = 9, z = 2$ . существует единственная плоскость В трехмерном пространстве , которая проходит через три точки с этими координатами , и эта плоскость представляет собой совокупность всех точек, координаты которых являются решениями уравнения.

Наборы решений [ править ]

Набор решений данного набора уравнений или неравенств — это набор всех его решений, причем решение представляет собой кортеж значений, по одному для каждого неизвестного , который удовлетворяет всем уравнениям или неравенствам.Если множество решений пусто, то не существует значений неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям и неравенствам.

В качестве простого примера рассмотрим уравнение

x^{2}=2.

Это уравнение можно рассматривать как диофантово уравнение , то есть уравнение, для которого только целочисленные ищутся решения. В этом случае набором решений является пустой набор , поскольку 2 не является квадратом целого числа. Однако если искать реальные решения, есть два решения: $\sqrt 2$ и $- \sqrt 2$ ; другими словами, множество решений равно ${\sqrt 2, - \sqrt 2}$ .

Когда уравнение содержит несколько неизвестных, а также когда имеется несколько уравнений с большим количеством неизвестных, чем уравнений, множество решений часто бесконечно. В этом случае решения не могут быть перечислены. Для их представления часто бывает полезна параметризация , заключающаяся в выражении решений через некоторые неизвестные или вспомогательные переменные. Это всегда возможно, когда все уравнения линейны .

Такие бесконечные множества решений естественным образом можно интерпретировать как геометрические фигуры, такие как линии , кривые (см. рисунок), плоскости и, в более общем плане, алгебраические разновидности или многообразия . В частности, алгебраическую геометрию можно рассматривать как исследование множеств решений алгебраических уравнений .

Способы решения [ править ]

Методы решения уравнений обычно зависят от типа уравнения, как от вида выражений в уравнении, так и от типа значений, которые могут принимать неизвестные. Разнообразие типов уравнений велико, как и соответствующие методы. Ниже упомянуты лишь некоторые конкретные типы.

В общем, для данного класса уравнений не может быть известного систематического метода ( алгоритма ), который гарантированно будет работать. Это может быть связано с недостатком математических знаний; некоторые проблемы были решены только после столетий усилий. Но это также отражает то, что в целом такого метода не может существовать: известно, что некоторые проблемы неразрешимы с помощью алгоритма, например десятая проблема Гильберта , неразрешимость которой была доказана в 1970 году.

Для нескольких классов уравнений были найдены алгоритмы их решения, некоторые из которых были реализованы и включены в системы компьютерной алгебры , но зачастую не требуют более сложной технологии, чем карандаш и бумага. В некоторых других случаях известны эвристические методы, которые часто бывают успешными, но не гарантированно приведут к успеху.

Грубая сила, метод проб и ошибок догадка вдохновенная ,

Если набор решений уравнения ограничен конечным набором (как, например, в случае уравнений модульной арифметики ) или может быть ограничен конечным числом возможностей (как в случае с некоторыми диофантовыми уравнениями ), то Набор решений можно найти методом перебора , то есть путем проверки каждого из возможных значений ( кандидатных решений ). Однако может случиться так, что число возможностей, которые необходимо учитывать, хотя и конечно, настолько велико, что исчерпывающий поиск практически неосуществим; по сути, это требование к надежным методам шифрования .

Как и во всех видах решения проблем , метод проб и ошибок иногда может привести к решению, в частности, когда форма уравнения или его сходство с другим уравнением с известным решением может привести к «вдохновленному предположению» о решении. Если предположение при проверке не оказывается решением, рассмотрение того, почему оно не удалось, может привести к модифицированному предположению.

Элементарная алгебра [ править ]

Уравнения, включающие линейные или простые рациональные функции от одного вещественного неизвестного, например $x$ , такие как

8x+7=4x+35\quad {\text{or}}\quad {\frac {4x+9}{3x+4}}=2\,,

можно решить методами элементарной алгебры .

Системы линейных уравнений [ править ]

Меньшие системы линейных уравнений могут быть решены аналогичным образом методами элементарной алгебры. Для решения более крупных систем используются алгоритмы, основанные на линейной алгебре . См. исключение Гаусса и численное решение линейных систем .

Полиномиальные уравнения [ править ]

Полиномиальные уравнения степени до четвертой можно точно решить алгебраическими методами, квадратичная формула простейшим примером которых является . Полиномиальные уравнения со степенью пять или выше требуют общих численных методов (см. ниже) или специальных функций, таких как Bring радикалы , хотя некоторые конкретные случаи могут быть решены алгебраически, например

4x^{5}-x^{3}-3=0

(с использованием теоремы о рациональном корне ) и

x^{6}-5x^{3}+6=0\,,

(с помощью замены $x = z .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 ⁄ 3$ , что упрощает это до квадратного уравнения относительно $z$ ).

Диофантовы уравнения [ править ]

В диофантовых уравнениях решения должны быть целыми числами . В некоторых случаях можно использовать метод грубой силы, как упоминалось выше. В некоторых других случаях, в частности, если уравнение с одним неизвестным, можно решить уравнение для рациональных -значных неизвестных (см. Теорема о рациональном корне ), а затем найти решения диофантова уравнения, ограничив набор решений целочисленными. ценные решения. Например, полиномиальное уравнение

2x^{5}-5x^{4}-x^{3}-7x^{2}+2x+3=0\,

имеет рациональные решения $x = - 1/2 x решение$ и $x = 3$ , поэтому, если рассматривать его как диофантово уравнение, оно имеет единственное $= 3$ .

Однако в целом диофантовы уравнения относятся к числу наиболее сложных для решения уравнений.

Обратные функции [ править ]

В простом случае функции одной переменной, скажем, $h (x)$ , мы можем решить уравнение вида $h (x) = c$ для некоторой константы $c$ , рассматривая то, что известно как обратная функция $h$ .

Учитывая функцию $h : A \to B$ , обратная функция, обозначаемая $h -1$ и определяется как $h -1 : B \to A$ — такая функция, что

h^{-1}{\bigl (}h(x){\bigr )}=h{\bigl (}h^{-1}(x){\bigr )}=x\,.

Теперь, если мы применим обратную функцию к обеим сторонам $h (x) = c$ , где $c$ — постоянное значение в $B$ , мы получим

{\begin{aligned}h^{-1}{\bigl (}h(x){\bigr )}&=h^{-1}(c)\\x&=h^{-1}(c)\\\end{aligned}}

и мы нашли решение уравнения. Однако, в зависимости от функции, обратную функцию может быть трудно определить, или она может не быть функцией для всего множества $B$ (только для некоторого подмножества) и иметь много значений в какой-то момент.

Если вместо полного набора решений подойдет только одно решение, то на самом деле достаточно, если только функциональная идентичность

h\left(h^{-1}(x)\right)=x

держит. Например, проекция $π 1 : R 2 \to R$ , определенный формулой $π 1 (x, y) = x$ , не имеет постинверсии, но имеет преинверсию $π -1 1$ определяется как $π -1 1 (Икс) знак равно (Икс, 0)$ . Действительно, уравнение $π 1 (x, y) = c$ решается формулой

(x,y)=\pi _{1}^{-1}(c)=(c,0).

Примеры обратных функций включают $n-й$ корень степени (обратный $x н$ ); логарифм к обратный $(х$ ); обратные тригонометрические функции ; и Ламберта $W$ функция (обратная $xe х$ ).

Факторизация [ править ]

Если выражение левой части уравнения $P = 0$ можно факторизовать как $P = QR$ , набор решений исходного решения состоит из объединения наборов решений двух уравнений $Q = 0$ и $R = 0$ .Например, уравнение

\tan x+\cot x=2

можно переписать, используя тождество $tan x cot x = 1$ как

{\frac {\tan ^{2}x-2\tan x+1}{\tan x}}=0,

который можно факторизовать на

{\frac {\left(\tan x-1\right)^{2}}{\tan x}}=0.

Таким образом, решения являются решениями уравнения $tan x = 1$ и, таким образом, представляют собой множество

x={\tfrac {\pi }{4}}+k\pi ,\quad k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots .

Численные методы [ править ]

В случае более сложных уравнений с действительными или комплексными числами простые методы решения уравнений могут оказаться неэффективными. Часто алгоритмы поиска корней, такие как метод Ньютона – Рафсона, могут использоваться для поиска численного решения уравнения, которого для некоторых приложений может быть вполне достаточно для решения некоторой проблемы.Существуют также численные методы для систем линейных уравнений .

Матричные уравнения [ править ]

Уравнения, включающие матрицы и векторы действительных чисел, часто можно решить, используя методы линейной алгебры .

Дифференциальные уравнения [ править ]

Существует обширный массив методов решения различного рода дифференциальных уравнений , как численных , так и аналитических . К особому классу задач, который можно отнести сюда, относится интеграция , и аналитические методы решения такого рода задач теперь называются символической интеграцией . ^{[ нужна ссылка ]} Решения дифференциальных уравнений могут быть неявными и явными . ^[1]

См. также [ править ]

Посторонние и недостающие решения
Одновременные уравнения
Приравнивающие коэффициенты
Решение уравнений геодезических
Унификация (информатика) — решение уравнений, включающих символьные выражения.

Ссылки [ править ]

^ Деннис Г. Зилл (15 марта 2012 г.). Первый курс дифференциальных уравнений с приложениями для моделирования . Cengage Обучение. ISBN 978-1-285-40110-2 .

[Zill2012-1] Деннис Г. Зилл (15 марта 2012 г.). Первый курс дифференциальных уравнений с приложениями для моделирования . Cengage Обучение. ISBN 978-1-285-40110-2 .

[1]