Приравнивающие коэффициенты

В математике метод уравнения коэффициентов — это способ решения функционального уравнения из двух выражений типа многочленов для ряда неизвестных параметров . Он основан на том факте, что два выражения идентичны именно тогда, когда соответствующие коэффициенты равны для каждого типа терминов. Метод используется для приведения формул к желаемому виду.

Пример в действительных дробях

Предположим, мы хотим применить разложение частичных дробей к выражению :

${\frac {1}{x(x-1)(x-2)}},\,$

то есть мы хотим привести его к виду:

${\frac {A}{x}}+{\frac {B}{x-1}}+{\frac {C}{x-2}},\,$

неизвестными параметрами являются A , B и C. в котором Умножение этих формул на x ( x − 1)( x − 2) превращает обе формулы в многочлены, которые мы приравниваем:

$A(x-1)(x-2)+Bx(x-2)+Cx(x-1)=1,\,$

или, после разложения и сбора членов с равными степенями x :

$(A+B+C)x^{2}-(3A+2B+C)x+2A=1.\,$

На этом этапе важно осознать, что многочлен 1 фактически равен многочлену 0 x ² + 0 x + 1, имеющий нулевые коэффициенты при положительных степенях x . Приравнивание соответствующих коэффициентов теперь приводит к такой системе линейных уравнений :

$A+B+C=0,\,$

$3A+2B+C=0,\,$

$2A=1.\,$

Решение ее приводит к:

$A={\frac {1}{2}},\,B=-1,\,C={\frac {1}{2}}.\,$

Пример во вложенных радикалах

Аналогичная проблема, связанная с приравниванием подобных членов, а не коэффициентов подобных членов, возникает, если мы хотим определить вложенность вложенных радикалов. ${\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}$ Чтобы получить эквивалентное выражение, не включающее квадратный корень из выражения, включающего квадратный корень, мы можем постулировать существование рациональных параметров d, e таких, что

${\sqrt {a+b{\sqrt {c}}\ }}={\sqrt {d}}+{\sqrt {e}}.$

Возведение в квадрат обеих частей этого уравнения дает:

$a+b{\sqrt {c}}=d+e+2{\sqrt {de}}.$

Чтобы найти d и e, мы приравниваем члены, не содержащие квадратных корней, поэтому $a=d+e,$ и приравняем части, включающие радикалы, так $b{\sqrt {c}}=2{\sqrt {de}}$ что в квадрате подразумевает $b^{2}c=4de.$ Это дает нам два уравнения, одно квадратное и одно линейное, с желаемыми параметрами d и e , и их можно решить , чтобы получить

$e={\frac {a+{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},$

$d={\frac {a-{\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}}{2}},$

которая является допустимой парой решений тогда и только тогда, когда ${\sqrt {a^{2}-b^{2}c}}$ является рациональным числом.

Пример проверки на линейную зависимость уравнений

Рассмотрим эту переопределенную систему уравнений (с тремя уравнениями всего с двумя неизвестными):

$x-2y+1=0,$

$3x+5y-8=0,$

$4x+3y-7=0.$

Чтобы проверить, является ли третье уравнение линейно зависимым от первых двух, постулируйте два параметра a и b так, чтобы a, умноженное на первое уравнение, плюс b, умноженное на второе уравнение, равнялось третьему уравнению. Поскольку это всегда справедливо для правых частей, все из которых равны 0, нам просто нужно потребовать, чтобы это выполнялось и для левых частей:

$a(x-2y+1)+b(3x+5y-8)=4x+3y-7.$

Приравнивание коэффициентов при x с обеих сторон, приравнивание коэффициентов при y с обеих сторон и приравнивание констант с обеих сторон дает следующую систему в искомых параметрах a , b :

$a+3b=4,$

$-2a+5b=3,$

$a-8b=-7.$

Решение дает:

$a=1,\ b=1$

Единственная пара значений a , b, удовлетворяющая первым двум уравнениям, равна ( a , b ) = (1, 1); поскольку эти значения также удовлетворяют третьему уравнению, на самом деле существуют a , b такие, что a, умноженное на исходное первое уравнение плюс b , умноженное на исходное второе уравнение, равно исходному третьему уравнению; приходим к выводу, что третье уравнение линейно зависит от первых двух.

Обратите внимание, что если бы постоянный член в исходном третьем уравнении был чем-то иным, чем –7, значения ( a , b ) = (1, 1), которые удовлетворяли первым двум уравнениям в параметрах, не удовлетворяли бы третьему ( a – 8 b = константа), поэтому не будет a и b, удовлетворяющих всем трем уравнениям в параметрах, и, следовательно, третье исходное уравнение будет независимым от первых двух.

Пример в комплексных числах

Метод приравнивания коэффициентов часто применяется при работе с комплексными числами . Например, чтобы разделить комплексное число a + bi на комплексное число c + di , мы постулируем, что отношение равно комплексному числу e+fi , и хотим найти значения параметров e и f, для которых это верно. . Мы пишем

${\frac {a+bi}{c+di}}=e+fi,$

и умножьте обе части на знаменатель, чтобы получить

$(ce-fd)+(ed+cf)i=a+bi.$

Приравнивание действительных членов дает

$ce-fd=a,$

и приравнивание коэффициентов мнимой единицы i дает

$ed+cf=b.$

Это два уравнения с неизвестными параметрами e и f , и их можно решить, чтобы получить искомые коэффициенты частного:

$e={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad f={\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}.$

Ссылки

• Тантон, Джеймс (2005). Энциклопедия математики . Факты в файле. п. 162 . ISBN  0-8160-5124-0 .