Частичное дробное разложение

В алгебре разложение в частичные дроби или разложение в частичные дроби ( рациональной дроби то есть дроби , у которой числитель и знаменатель являются полиномами ) — это операция, заключающаяся в выражении дроби в виде суммы многочлена (возможно, нулевого). ) и одну или несколько дробей с более простым знаменателем.

Важность разложения на частные дроби заключается в том, что оно предоставляет алгоритмы для различных вычислений с рациональными функциями , включая явное вычисление первообразных . Разложения в ряд Тейлора , обратные Z-преобразования и обратные преобразования Лапласа . Эта концепция была открыта независимо в 1702 году Иоганном Бернулли и Готфридом Лейбницем .

В символах разложение в простейшие дроби рациональной дроби вида ${\textstyle {\frac {f(x)}{g(x)}},}$ где f и g — полиномы, это его выражение в виде

$${\frac {f(x)}{g(x)}}=p(x)+\sum _{j}{\frac {f_{j}(x)}{g_{j}(x)}}$$

где p ( x ) является полиномом, и для каждого j , знаменатель а g _j ( x ) является степенью ( неприводимого многочлена который не разлагается на многочлены положительных степеней), числитель . f _j ( x ) является многочленом меньшей степени, чем степень этого неприводимого многочлена

Когда используются явные вычисления, часто предпочтительнее более грубое разложение, которое заключается в замене «неприводимого многочлена» на « полином без квадратов » в описании результата. Это позволяет заменить полиномиальную факторизацию гораздо более простой в вычислении факторизацией без квадратов . Этого достаточно для большинства приложений и позволяет избежать введения иррациональных коэффициентов , когда коэффициенты входных полиномов являются целыми или рациональными числами .

Основные принципы

Позволять

$$R(x)={\frac {F}{G}}$$

— рациональная дробь , где F и G — одномерные многочлены от неопределенного x над полем. Существование дроби можно доказать, применяя индуктивно следующие шаги приведения.

Полиномиальная часть

Существуют два полинома E и F ₁ такие, что

$${\frac {F}{G}}=E+{\frac {F_{1}}{G}},$$

и

$$\deg F_{1}<\deg G,$$

где $\deg P$ обозначает степень многочлена P .

Это следует непосредственно из евклидова деления на F что G которое утверждает существование E и F1 _, таких, $F=EG+F_{1}$ и $\deg F_{1}<\deg G.$

Это позволяет предположить на следующих шагах, что $\deg F<\deg G.$

Факторы знаменателя

Если $\deg F<\deg G,$ и

$$G=G_{1}G_{2},$$

где G1 _G2 и то _— , взаимно простые многочлены существуют многочлены $F_{1}$ и $F_{2}$ такой, что

$${\frac {F}{G}}={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}},$$

и

$$\deg F_{1}<\deg G_{1}\quad {\text{and}}\quad \deg F_{2}<\deg G_{2}.$$

Это можно доказать следующим образом. Тождество Безу утверждает существование полиномов C и D таких, что

$$CG_{1}+DG_{2}=1$$

(по условию, — наибольший делитель G1 G2 _и . 1 _общий )

Позволять $DF=G_{1}Q+F_{1}$ с $\deg F_{1}<\deg G_{1}$ быть делением DF на евклидовым $G_{1}.$ Параметр $F_{2}=CF+QG_{2},$ каждый получает

$${\begin{aligned}{\frac {F}{G}}&={\frac {F(CG_{1}+DG_{2})}{G_{1}G_{2}}}={\frac {DF}{G_{1}}}+{\frac {CF}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}+G_{1}Q}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}-G_{2}Q}{G_{2}}}\\&={\frac {F_{1}}{G_{1}}}+{\frac {F_{2}}{G_{2}}}.\end{aligned}}$$

Осталось показать, что $\deg F_{2}<\deg G_{2}.$ Приведя последнюю сумму дробей к общему знаменателю, получим $F=F_{2}G_{1}+F_{1}G_{2},$ и поэтому

$${\begin{aligned}\deg F_{2}&=\deg(F-F_{1}G_{2})-\deg G_{1}\leq \max(\deg F,\deg(F_{1}G_{2}))-\deg G_{1}\\&<\max(\deg G,\deg(G_{1}G_{2}))-\deg G_{1}=\deg G_{2}\end{aligned}}$$

Степени в знаменателе

Индуктивно используя предыдущее разложение, получаем дроби вида ${\frac {F}{G^{k}}},$ с $\deg F<\deg G^{k}=k\deg G,$где G — неприводимый многочлен . Если k > 1 , можно выполнить дальнейшее разложение, используя тот факт, что неприводимый многочлен является многочленом без квадратов , то есть: $1$является наибольшим общим делителем многочлена и его производной . Если $G'$ является производной G , тождество Безу дает полиномы C и D такие, что $CG+DG'=1$ и поэтому $F=FCG+FDG'.$ Евклидово деление $FDG'$ к $G$ дает полиномы $H_{k}$ и $Q$ такой, что $FDG'=QG+H_{k}$ и $\deg H_{k}<\deg G.$ Параметр $F_{k-1}=FC+Q,$ каждый получает

$${\frac {F}{G^{k}}}={\frac {H_{k}}{G^{k}}}+{\frac {F_{k-1}}{G^{k-1}}},$$

с $\deg H_{k}<\deg G.$

Итерация этого процесса с помощью ${\frac {F_{k-1}}{G^{k-1}}}$ на месте ${\frac {F}{G^{k}}}$ приводит в конечном итоге к следующей теореме.

Заявление

Теорема . Пусть f и g ненулевые полиномы над полем K. — Запишите g как произведение степеней различных неприводимых многочленов:

$$g=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}.$$

Существуют (уникальные) полиномы b и a _ij с deg a _ij < deg p _i такие, что

$${\frac {f}{g}}=b+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{n_{i}}{\frac {a_{ij}}{p_{i}^{j}}}.$$

Если deg f < deg g , то b = 0 .

Единственность можно доказать следующим образом. Пусть d = max(1 + deg f , deg g ) . В совокупности b и aij _имеют коэффициентов d . Форма разложения определяет линейную карту векторов коэффициентов в полиномы f степени меньше d . Доказательство существования означает, что это отображение сюръективно . Поскольку два векторных пространства имеют одинаковую размерность, отображение также инъективно , что означает уникальность разложения. Кстати, это доказательство порождает алгоритм вычисления разложения с помощью линейной алгебры .

Если K — поле комплексных чисел , из фундаментальной теоремы алгебры следует, что все имеют _pi степень один, а все числители $a_{ij}$являются константами. Когда K является полем действительных чисел , некоторые из pi _{могут быть квадратичными} , поэтому при разложении частных дробей также могут встречаться факторы линейных многочленов по степеням квадратичных многочленов.

В предыдущей теореме можно заменить «различные неприводимые многочлены» на « попарно взаимно простые многочлены, взаимно простые со своей производной». Например, могут _быть факторами бесквадратной факторизации g . pi Когда K является полем рациональных чисел , как это обычно бывает в компьютерной алгебре , это позволяет заменить факторизацию вычислением наибольшего общего делителя для вычисления разложения на частичные дроби.

Приложение к символическому интегрированию

В целях символического интегрирования предыдущий результат можно уточнить до

Теорема . Пусть f и g ненулевые полиномы над полем K. — Запишите g как произведение степеней попарно взаимно простых многочленов, не имеющих кратного корня в алгебраически замкнутом поле:

$$g=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{n_{i}}.$$

Существуют (уникальные) полиномы b и cij _{такие ,} что deg cij _, < deg p _i что

$${\frac {f}{g}}=b+\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=2}^{n_{i}}\left({\frac {c_{ij}}{p_{i}^{j-1}}}\right)'+\sum _{i=1}^{k}{\frac {c_{i1}}{p_{i}}}.$$

где $X'$ обозначает производную $X.$

Это сводит вычисление первообразной рациональной функции к интегрированию последней суммы, которая называется логарифмической частью , поскольку ее первообразная представляет собой линейную комбинацию логарифмов.

Существуют различные методы вычисления разложения в теореме. Один простой способ называется . методом Эрмита Во-первых, b немедленно вычисляется путем евклидова деления f на g , что сводится к случаю, когда deg( f ) < deg( g ). Далее, известно deg( cij _как ) < deg( pi ₎ записать можно _{, поэтому каждый cij} многочлен с неизвестными коэффициентами. Приведя сумму дробей в теореме к общему знаменателю и приравняв коэффициенты при каждой степени x в двух числителях, получим систему линейных уравнений , решая которую можно получить искомые (единственные) значения неизвестных коэффициентов. .

Процедура

Даны два многочлена $P(x)$ и $Q(x)=(x-\alpha _{1})(x-\alpha _{2})\cdots (x-\alpha _{n})$, где α _n — различные константы и deg P < n , явные выражения для простейших дробей можно получить, предположив, что

$${\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha _{1}}}+{\frac {c_{2}}{x-\alpha _{2}}}+\cdots +{\frac {c_{n}}{x-\alpha _{n}}}$$

и определение констант c _i путем замены, путем приравнивания коэффициентов членов, включающих степени x , или иным образом. (Это вариант метода неопределенных коэффициентов . После того как обе части уравнения умножены на Q(x), одна часть уравнения представляет собой конкретный многочлен, а другая сторона — многочлен с неопределенными коэффициентами. Равенство имеет вид возможно только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях x равны. Это дает n уравнений с n неизвестными, c _k .)

Более прямое вычисление, которое сильно связано с интерполяцией Лагранжа , состоит в записи

$${\frac {P(x)}{Q(x)}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {P(\alpha _{i})}{Q'(\alpha _{i})}}{\frac {1}{(x-\alpha _{i})}}$$

где $Q'$ является производной многочлена $Q$. Коэффициенты ${\tfrac {1}{x-\alpha _{j}}}$ называются остатками f /g .

Этот подход не учитывает ряд других случаев, но может быть соответствующим образом модифицирован:

• Если $\deg P\geq \deg Q,$тогда необходимо выполнить евклидово деление на P < Q , используя полиномиальное деление в длину давая P ( x ) = E ( x ) Q ( x ) + R ( x ) с deg R , n . Деление на Q ( x ) дает
  $${\frac {P(x)}{Q(x)}}=E(x)+{\frac {R(x)}{Q(x)}},$$
  а затем найдите простейшие дроби для оставшейся дроби (которая по определению удовлетворяет условию deg R < deg Q ).
• Если Q ( x ) содержит множители, неприводимые по данному полю, то числитель N ( x ) каждой дроби с таким множителем F ( x ) в знаменателе нужно искать в виде многочлена с deg N < deg F , а не как константа. Например, возьмем следующее разложение по R :
  $${\frac {x^{2}+1}{(x+2)(x-1)\color {Blue}(x^{2}+x+1)}}={\frac {a}{x+2}}+{\frac {b}{x-1}}+{\frac {\color {OliveGreen}cx+d}{\color {Blue}x^{2}+x+1}}.$$
• Предположим Q ( Икс ) знак равно ( Икс - α ) ^р S ( x ) и S ( α ) ≠ 0 то есть α является корнем Q ( x ) кратности r , . При разложении простейших дробей r первых степеней ( x − α ) будут выступать в качестве знаменателей простейших дробей (возможно, с нулевым числителем). Например, если S ( x ) = 1, разложение на простейшие дроби имеет вид
  $${\frac {P(x)}{Q(x)}}={\frac {P(x)}{(x-\alpha )^{r}}}={\frac {c_{1}}{x-\alpha }}+{\frac {c_{2}}{(x-\alpha )^{2}}}+\cdots +{\frac {c_{r}}{(x-\alpha )^{r}}}.$$

Иллюстрация

В примере применения этой процедуры (3 x + 5)/(1 - 2 x ) ² можно разложить в виде

$${\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {A}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {B}{(1-2x)}}.$$

Очистка знаменателей показывает, что 3 x + 5 = A + B (1 − 2 x ) . Разложение и приравнивание коэффициентов при степенях x дает

5 = A + B и 3 x = −2 Bx

Решение этой системы линейных уравнений для A и B дает A = 13/2 и B = −3/2 . Следовательно,

$${\frac {3x+5}{(1-2x)^{2}}}={\frac {13/2}{(1-2x)^{2}}}+{\frac {-3/2}{(1-2x)}}.$$

Остаточный метод

Смотрите также: Метод сокрытия Хевисайда

Что касается комплексных чисел, предположим, что f ( x ) — рациональная правильная дробь, которую можно разложить на

$$f(x)=\sum _{i}\left({\frac {a_{i1}}{x-x_{i}}}+{\frac {a_{i2}}{(x-x_{i})^{2}}}+\cdots +{\frac {a_{ik_{i}}}{(x-x_{i})^{k_{i}}}}\right).$$

Позволять

$$g_{ij}(x)=(x-x_{i})^{j-1}f(x),$$

тогда согласно единственности ряда Лорана , a _ij является коэффициентом члена ( x − x _i ) ⁻¹ в разложении Лорана g _ij ( x ) относительно точки x _i , т. е. ее вычет

$$a_{ij}=\operatorname {Res} (g_{ij},x_{i}).$$

Это определяется непосредственно формулой

$$a_{ij}={\frac {1}{(k_{i}-j)!}}\lim _{x\to x_{i}}{\frac {d^{k_{i}-j}}{dx^{k_{i}-j}}}\left((x-x_{i})^{k_{i}}f(x)\right),$$

или в частном случае, когда x _i является простым корнем,

$$a_{i1}={\frac {P(x_{i})}{Q'(x_{i})}},$$

когда

$$f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}.$$

Над реальными

Частные дроби используются в с действительными переменными интегральном исчислении для нахождения действительных первообразных рациональных функций . Разложение действительных рациональных функций в частичные дроби также используется для нахождения их обратных преобразований Лапласа . О применении разложения частичных дробей по действительным числам см.

• Приложение к символическому интегрированию , см. выше.
• Частные дроби в преобразованиях Лапласа

Общий результат

Позволять $f(x)$быть любой рациональной функцией над действительными числами . Другими словами, предположим, что существуют действительные полиномиальные функции $p(x)$ и $q(x)\neq 0$, такой, что

$$f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}$$

Разделив числитель и знаменатель на старший коэффициент $q(x)$, мы можем без ограничения общности считать , что $q(x)$моник ​ . По основной теореме алгебры мы можем написать

$$q(x)=(x-a_{1})^{j_{1}}\cdots (x-a_{m})^{j_{m}}(x^{2}+b_{1}x+c_{1})^{k_{1}}\cdots (x^{2}+b_{n}x+c_{n})^{k_{n}}$$

где $a_{1},\dots ,a_{m}$, $b_{1},\dots ,b_{n}$, $c_{1},\dots ,c_{n}$ действительные числа с $b_{i}^{2}-4c_{i}<0$, и $j_{1},\dots ,j_{m}$, $k_{1},\dots ,k_{n}$являются положительными целыми числами. Условия $(x-a_{i})$ являются факторами линейными $q(x)$ которые соответствуют действительным корням $q(x)$и условия $(x_{i}^{2}+b_{i}x+c_{i})$ являются неприводимыми квадратичными факторами $q(x)$ которые соответствуют парам комплексно -сопряженных корней $q(x)$.

Тогда разложение на частные дроби $f(x)$ следующее:

$$f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}=P(x)+\sum _{i=1}^{m}\sum _{r=1}^{j_{i}}{\frac {A_{ir}}{(x-a_{i})^{r}}}+\sum _{i=1}^{n}\sum _{r=1}^{k_{i}}{\frac {B_{ir}x+C_{ir}}{(x^{2}+b_{i}x+c_{i})^{r}}}$$

Здесь P ( x ) — полином (возможно, нулевой), а A _ir , B _ir и C _ir — действительные константы. Константы можно найти несколькими способами.

Самый простой метод — умножить на общий знаменатель q ( x ). Затем мы получаем уравнение полиномов, левая часть которого равна просто p ( x ), а правая часть имеет коэффициенты, которые являются линейными выражениями констант A _ir , B _ir и C _ir . Поскольку два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие коэффициенты, мы можем приравнять коэффициенты одинаковых членов. Таким образом получается система линейных уравнений, всегда имеющая единственное решение. Это решение можно найти любым из стандартных методов линейной алгебры . Его также можно найти с пределами (см. пример 5 ).

Примеры

Пример 1

$$f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}$$

Здесь знаменатель разбивается на два отдельных линейных фактора:

$$q(x)=x^{2}+2x-3=(x+3)(x-1)$$

Итак, мы имеем разложение на частичные дроби

$$f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {A}{x+3}}+{\frac {B}{x-1}}$$

Умножение на знаменатель в левой части дает нам полиномиальное тождество

$$1=A(x-1)+B(x+3)$$

Подстановка x = −3 в это уравнение дает A = −1/4, а замена x = 1 дает B = 1/4, так что

$$f(x)={\frac {1}{x^{2}+2x-3}}={\frac {1}{4}}\left({\frac {-1}{x+3}}+{\frac {1}{x-1}}\right)$$

Пример 2

$$f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}$$

После длительного деления имеем

$$f(x)=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}$$

Фактор х ² − 4 x + 8 неприводимо над действительными числами, так как его дискриминант (−4) ² − 4×8 = −16 отрицательно. Таким образом, разложение частных дробей по действительным числам имеет вид

$${\frac {4x^{2}-8x+16}{x(x^{2}-4x+8)}}={\frac {A}{x}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}-4x+8}}$$

Умножение на x ³ − 4x ² + 8 x имеем полиномиальное тождество

$$4x^{2}-8x+16=A\left(x^{2}-4x+8\right)+\left(Bx+C\right)x$$

Взяв x = 0, мы видим, что 16 = 8 A , поэтому A = 2. Сравнивая x ² коэффициентов, мы видим, что 4 = A + B = 2 + B , поэтому B = 2. Сравнивая линейные коэффициенты, мы видим, что −8 = −4 A + C = −8 + C , поэтому C = 0. В целом,

$$f(x)=1+2\left({\frac {1}{x}}+{\frac {x}{x^{2}-4x+8}}\right)$$

Дробь можно полностью разложить с помощью комплексных чисел . Согласно основной теореме алгебры каждый комплексный многочлен степени n имеет n (комплексных) корней (некоторые из которых могут повторяться). Вторую фракцию можно разложить на:

$${\frac {x}{x^{2}-4x+8}}={\frac {D}{x-(2+2i)}}+{\frac {E}{x-(2-2i)}}$$

Умножение на знаменатель дает:

$$x=D(x-(2-2i))+E(x-(2+2i))$$

Приравнивая коэффициенты при x и постоянные (по отношению к x ) коэффициенты обеих частей этого уравнения, получаем систему двух линейных уравнений относительно D и E , решением которой является

$$D={\frac {1+i}{2i}}={\frac {1-i}{2}},\qquad E={\frac {1-i}{-2i}}={\frac {1+i}{2}}.$$

Таким образом, мы имеем полное разложение:

$$f(x)={\frac {x^{3}+16}{x^{3}-4x^{2}+8x}}=1+{\frac {2}{x}}+{\frac {1-i}{x-(2+2i)}}+{\frac {1+i}{x-(2-2i)}}$$

Можно также напрямую вычислить A , D и E с помощью метода вычетов (см. также пример 4 ниже).

Пример 3

Этот пример иллюстрирует почти все «трюки», которые нам, возможно, придется использовать, если не считать обращения к системе компьютерной алгебры .

$$f(x)={\frac {x^{9}-2x^{6}+2x^{5}-7x^{4}+13x^{3}-11x^{2}+12x-4}{x^{7}-3x^{6}+5x^{5}-7x^{4}+7x^{3}-5x^{2}+3x-1}}$$

После долгого деления и факторизации знаменателя получим

$$f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}$$

Разложение на частичные дроби принимает вид

$${\frac {2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x}{(x-1)^{3}(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}}}+{\frac {C}{(x-1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}+{\frac {Fx+G}{(x^{2}+1)^{2}}}.$$

Умножив на знаменатель в левой части, получим полиномиальное тождество

$${\begin{aligned}&2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\[4pt]={}&A\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}+B\left(x-1\right)\left(x^{2}+1\right)^{2}+C\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(Dx+E\right)\left(x-1\right)^{3}\left(x^{2}+1\right)+\left(Fx+G\right)\left(x-1\right)^{3}\end{aligned}}$$

Теперь мы используем разные значения x для вычисления коэффициентов:

$${\begin{cases}4=4C&x=1\\2+2i=(Fi+G)(2+2i)&x=i\\0=A-B+C-E-G&x=0\end{cases}}$$

Решая это, мы имеем:

$${\begin{cases}C=1\\F=0,G=1\\E=A-B\end{cases}}$$

Используя эти значения, мы можем написать:

$${\begin{aligned}&2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x\\[4pt]={}&A\left(x-1\right)^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}+B\left(x-1\right)\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(x^{2}+1\right)^{2}+\left(Dx+\left(A-B\right)\right)\left(x-1\right)^{3}\left(x^{2}+1\right)+\left(x-1\right)^{3}\\[4pt]={}&\left(A+D\right)x^{6}+\left(-A-3D\right)x^{5}+\left(2B+4D+1\right)x^{4}+\left(-2B-4D+1\right)x^{3}+\left(-A+2B+3D-1\right)x^{2}+\left(A-2B-D+3\right)x\end{aligned}}$$

Сравниваем коэффициенты при x ⁶ и х ⁵ с обеих сторон, и мы имеем:

$${\begin{cases}A+D=2\\-A-3D=-4\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad A=D=1.$$

Поэтому:

$$2x^{6}-4x^{5}+5x^{4}-3x^{3}+x^{2}+3x=2x^{6}-4x^{5}+(2B+5)x^{4}+(-2B-3)x^{3}+(2B+1)x^{2}+(-2B+3)x$$

что дает нам B = 0. Таким образом, разложение на частичные дроби определяется следующим образом:

$$f(x)=x^{2}+3x+4+{\frac {1}{(x-1)}}+{\frac {1}{(x-1)^{3}}}+{\frac {x+1}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{(x^{2}+1)^{2}}}.$$

Альтернативно, вместо разложения можно получить другие линейные зависимости от коэффициентов, вычисляя некоторые производные при $x=1,\imath$в приведенном выше полиномиальном тождестве. (Для этого напомним, что производная в точке x = a от ( x − a ) ^м p ( x ) исчезает, если m > 1, и равно p ( a ) для m = 1.) Например, первая производная при x = 1 дает

$$2\cdot 6-4\cdot 5+5\cdot 4-3\cdot 3+2+3=A\cdot (0+0)+B\cdot (4+0)+8+D\cdot 0$$

то есть 8 = 4 B + 8, поэтому B = 0.

Пример 4 (метод остатка)

$$f(z)={\frac {z^{2}-5}{(z^{2}-1)(z^{2}+1)}}={\frac {z^{2}-5}{(z+1)(z-1)(z+i)(z-i)}}$$

Таким образом, f ( z ) можно разложить на рациональные функции, знаменателями которых являются z +1, z −1, z +i, z −i. Поскольку каждый член имеет степень единица, −1, 1, − i и i являются простыми полюсами.

Следовательно, остатки, связанные с каждым полюсом, заданные формулой

$${\frac {P(z_{i})}{Q'(z_{i})}}={\frac {z_{i}^{2}-5}{4z_{i}^{3}}},$$

являются

$$1,-1,{\tfrac {3i}{2}},-{\tfrac {3i}{2}},$$

соответственно и

$$f(z)={\frac {1}{z+1}}-{\frac {1}{z-1}}+{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{z+i}}-{\frac {3i}{2}}{\frac {1}{z-i}}.$$

Пример 5 (метод ограничения)

Пределы можно использовать для нахождения разложения на частичные дроби. Рассмотрим следующий пример:

$${\frac {1}{x^{3}-1}}$$

Сначала разложите на множители знаменатель, определяющий разложение:

$${\frac {1}{x^{3}-1}}={\frac {1}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}={\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}.$$

Умножив все на $x-1$и переходя к пределу, когда $x\to 1$, мы получаем

$$\lim _{x\to 1}\left((x-1)\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)\right)=\lim _{x\to 1}A+\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)(Bx+C)}{x^{2}+x+1}}=A.$$

С другой стороны,

$$\lim _{x\to 1}{\frac {(x-1)}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}=\lim _{x\to 1}{\frac {1}{x^{2}+x+1}}={\frac {1}{3}},$$

и поэтому:

$$A={\frac {1}{3}}.$$

Умножая на x и переходя к пределу, когда $x\to \infty$, у нас есть

$$\lim _{x\to \infty }x\left({\frac {A}{x-1}}+{\frac {Bx+C}{x^{2}+x+1}}\right)=\lim _{x\to \infty }{\frac {Ax}{x-1}}+\lim _{x\to \infty }{\frac {Bx^{2}+Cx}{x^{2}+x+1}}=A+B,$$

и

$$\lim _{x\to \infty }{\frac {x}{(x-1)(x^{2}+x+1)}}=0.$$

Отсюда следует, что A + B = 0 , и поэтому $B=-{\frac {1}{3}}$.

Для x = 0 мы получаем $-1=-A+C,$ и поэтому $C=-{\tfrac {2}{3}}$.

Сложив все вместе, получим разложение

$${\frac {1}{x^{3}-1}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {1}{x-1}}+{\frac {-x-2}{x^{2}+x+1}}\right).$$

Пример 6 (интегральный)

Предположим, у нас есть неопределенный интеграл :

$$\int {\frac {x^{4}+x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}+x-2}}\,dx$$

Очевидно, что перед выполнением разложения мы должны выполнить полиномиальное деление в длину и факторизовать знаменатель. Это приведет к:

$$\int \left(x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\right)dx$$

После этого мы теперь можем выполнить разложение на частичные дроби.

$$\int \left(x^{2}+3+{\frac {-3x+7}{(x+2)(x-1)}}\right)dx=\int \left(x^{2}+3+{\frac {A}{(x+2)}}+{\frac {B}{(x-1)}}\right)dx$$

так:

$$A(x-1)+B(x+2)=-3x+7$$

. Подставив наши значения, в данном случае, где x=1 для решения B и x=-2 для решения A, мы получим:

$$A={\frac {-13}{3}}\ ,B={\frac {4}{3}}$$

Включение всего этого обратно в наш интеграл позволяет нам найти ответ:

$$\int \left(x^{2}+3+{\frac {-13/3}{(x+2)}}+{\frac {4/3}{(x-1)}}\right)\,dx={\frac {x^{3}}{3}}\ +3x-{\frac {13}{3}}\ln(|x+2|)+{\frac {4}{3}}\ln(|x-1|)+C$$

Роль полинома Тейлора

Разложение рациональной функции в частные дроби можно связать с теоремой Тейлора следующим образом. Позволять

$$P(x),Q(x),A_{1}(x),\ldots ,A_{r}(x)$$

быть действительными или комплексными полиномами Предположим, что

$$Q=\prod _{j=1}^{r}(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}},$$

удовлетворяет

$$\deg A_{1}<\nu _{1},\ldots ,\deg A_{r}<\nu _{r},\quad {\text{and}}\quad \deg(P)<\deg(Q)=\sum _{j=1}^{r}\nu _{j}.$$

Также определите

$$Q_{i}=\prod _{j\neq i}(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}}={\frac {Q}{(x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}},\qquad 1\leqslant i\leqslant r.$$

Тогда у нас есть

$${\frac {P}{Q}}=\sum _{j=1}^{r}{\frac {A_{j}}{(x-\lambda _{j})^{\nu _{j}}}}$$

тогда и только тогда, когда каждый полином $A_{i}(x)$ – полином Тейлора ${\tfrac {P}{Q_{i}}}$ порядка $\nu _{i}-1$ в точку $\lambda _{i}$:

$$A_{i}(x):=\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {1}{k!}}\left({\frac {P}{Q_{i}}}\right)^{(k)}(\lambda _{i})\ (x-\lambda _{i})^{k}.$$

Теорема Тейлора (в вещественном или комплексном случае) затем обеспечивает доказательство существования и единственности разложения на частные дроби, а также характеристику коэффициентов.

доказательства

Приведенное выше разложение на частичные дроби подразумевает для каждого 1 ≤ i ≤ r полиномиальное разложение

$${\frac {P}{Q_{i}}}=A_{i}+O((x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}),\qquad {\text{for }}x\to \lambda _{i},$$

так $A_{i}$ – полином Тейлора ${\tfrac {P}{Q_{i}}}$, из-за единственности полиномиального разложения порядка $\nu _{i}-1$, и по предположению $\deg A_{i}<\nu _{i}$.

И наоборот, если $A_{i}$ являются полиномами Тейлора, приведенные выше разложения в каждом $\lambda _{i}$ держитесь, поэтому мы также имеем

$$P-Q_{i}A_{i}=O((x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}),\qquad {\text{for }}x\to \lambda _{i},$$

откуда следует, что полином $P-Q_{i}A_{i}$ делится на $(x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.$

Для $j\neq i,Q_{j}A_{j}$ также делится на $(x-\lambda _{i})^{\nu _{i}}$, так

$$P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}$$

делится на $Q$. С

$$\deg \left(P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}\right)<\deg(Q)$$

тогда у нас есть

$$P-\sum _{j=1}^{r}Q_{j}A_{j}=0,$$

и находим разложение простейших дробей делением на $Q$.

Дроби целых чисел

Идею простейших дробей можно обобщить и на другие области целости , например, на кольцо целых чисел , где простые числа играют роль неприводимых знаменателей. Например:

$${\frac {1}{18}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{3^{2}}}.$$

Ссылки

• Рао, КР; Ахмед, Н. (1968). «Рекурсивные методы получения разложения рациональной функции в частные дроби». IEEE Транс. Образование . 11 (2): 152–154. Бибкод : 1968ITEdu..11..152R . дои : 10.1109/TE.1968.4320370 .
• Хенрици, Питер (1971). «Алгоритм неполного разложения рациональной функции на простейшие дроби». З. Энджью. Математика. Физ . 22 (4): 751–755. Бибкод : 1971ЗаМП...22..751Х . дои : 10.1007/BF01587772 . S2CID   120554693 .
• Чанг, Фэн-Ченг (1973). «Рекурсивные формулы для разложения рациональной функции в частные дроби с кратными полюсами». Учеб. ИИЭЭ . 61 (8): 1139–1140. дои : 10.1109/PROC.1973.9216 .
• Кунг, ХТ; Тонг, DM (1977). «Быстрые алгоритмы разложения частичных дробей» . SIAM Journal по вычислительной технике . 6 (3): 582. дои : 10.1137/0206042 . S2CID   5857432 .
• Юстис, Дэн; Кламкин, М.С. (1979). «О коэффициентах разложения простейших дробей». Американский математический ежемесячник . Том. 86, нет. 6. С. 478–480. JSTOR   2320421 .
• Махони, Джей-Джей; Сивазлян, Б.Д. (1983). «Разложение неполных дробей: обзор вычислительной методологии и эффективности» . Дж. Компьютер. Прил. Математика . 9 (3): 247–269. дои : 10.1016/0377-0427(83)90018-3 .
• Миллер, Чарльз Д.; Лиал, Маргарет Л.; Шнайдер, Дэвид И. (1990). Основы студенческой алгебры (3-е изд.). Аддисон-Уэсли Образовательные Паблишеры, Инк. стр. 100-1 364–370 . ISBN  0-673-38638-4 .
• Вестрайх, Дэвид (1991). «Разложение частичных дробей без оценки производной». IEEE Транс. Цирк. Сист . 38 (6): 658–660. дои : 10.1109/31.81863 .
• Кудрявцев, Л.Д. (2001) [1994], «Неопределенные коэффициенты, метод» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• Веллеман, Дэниел Дж. (2002). «Частичные дроби, биномиальные коэффициенты и интеграл нечетной степени сек тета». амер. Математика. Ежемесячно . 109 (8): 746–749. дои : 10.2307/3072399 . JSTOR   3072399 .
• Слота, Дамиан; Витула, Роман (2005). «Трёхкиричный метод разложения частичных дробей некоторого типа рационального выражения». Вычислительная наука – ICCS 2005 . Лект. Нет. Компьютерные науки. Том. 33516. стр. 659–662. дои : 10.1007/11428862_89 . ISBN  978-3-540-26044-8 .
• Кунг, Сидни Х. (2006). «Разложение частичных дробей делением». Колл. Математика. Дж . 37 (2): 132–134. дои : 10.2307/27646303 . JSTOR   27646303 .
• Витула, Роман; Слота, Дамиан (2008). «Разложение некоторых рациональных функций в частные дроби». Прил. Математика. Вычислить . 197 : 328–336. дои : 10.1016/j.amc.2007.07.048 . МР   2396331 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Разложение частичных фракций» . Математический мир .
• Блейк, Сэм. «Пошаговые дроби» .
• Выполняйте разложение на частичные дроби с помощью Scilab .