Первообразная

Эта статья посвящена первообразным в реальном анализе. Для сложных функций см. Первообразную (комплексный анализ) . Списки первообразных примитивных функций см. в разделе Списки интегралов .

Наклонное поле ​ $F(x)={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{2}}{2}}-x+c$, показывающий три из бесконечного множества решений, которые можно получить, варьируя произвольную константу c .

В исчислении — первообразная , обратная производная , примитивная функция , примитивный интеграл или неопределённый интеграл. функции производная f — это дифференцируемая функция F, равна которой исходной функции f . Это можно выразить символически как F' = f . Процесс решения первообразных называется антидифференцированием (или неопределенным интегрированием ), а противоположная ему операция называется дифференцированием , то есть процессом нахождения производной. Первообразные часто обозначаются заглавными латинскими буквами такими как F и G. ,

Первообразные связаны с определенными интегралами посредством второй фундаментальной теоремы исчисления : определенный интеграл функции на замкнутом интервале , где функция интегрируема по Риману, равен разнице между значениями первообразной, вычисленной в конечных точках интервала.

В физике первообразные возникают в контексте прямолинейного движения (например, при объяснении связи между положением , скоростью и ускорением ). Дискретным эквивалентом понятия первообразной является антиразность .

Примеры

Функция $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}$ является первообразной от $f(x)=x^{2}$, поскольку производная ${\tfrac {x^{3}}{3}}$ является $x^{2}$. Поскольку производная константы равна нулю , $x^{2}$ будет иметь бесконечное количество первообразных, например ${\tfrac {x^{3}}{3}},{\tfrac {x^{3}}{3}}+1,{\tfrac {x^{3}}{3}}-2$и т. д. Таким образом, все первообразные $x^{2}$ можно получить, изменив значение c в $F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}+c$, где c — произвольная константа, известная как константа интегрирования . По сути, графики первообразных данной функции представляют собой вертикальный сдвиг друг друга, при этом вертикальное положение каждого графика зависит от значения c .

В более общем смысле степенная функция $f(x)=x^{n}$ имеет первообразную $F(x)={\tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c$ если n ≠ −1 и $F(x)=\ln |x|+c$ если п = -1 .

В физике интегрирование ускорения дает скорость плюс константу. Константа — это начальный член скорости, который будет потерян при взятии производной скорости, поскольку производная постоянного члена равна нулю. Тот же самый шаблон применим к дальнейшему интегрированию и производным движения (положение, скорость, ускорение и т. д.). Таким образом, интегрирование дает соотношения ускорения, скорости и перемещения :

$${\begin{aligned}\int a\,\mathrm {d} t&=v+C\\\int v\,\mathrm {d} t&=s+C\end{aligned}}$$

Использование и свойства

Первообразные можно использовать для вычисления определенных интегралов , используя фундаментальную теорему исчисления : если F является первообразной непрерывной функции f на интервале $[a,b]$, затем:

$$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).$$

По этой причине каждую из бесконечного множества первообразных данной функции f можно назвать «неопределенным интегралом» от f и записать с использованием символа интеграла без границ:

$$\int f(x)\,\mathrm {d} x.$$

Если F является первообразной функции f и функция f определена на некотором интервале, то любая другая первообразная G функции f отличается от F на константу: существует число c такое, что $G(x)=F(x)+c$для всех х . c называется константой интегрирования . Если область определения F представляет собой непересекающееся объединение двух или более (открытых) интервалов, то для каждого из интервалов можно выбрать другую константу интегрирования. Например

$$F(x)={\begin{cases}-{\dfrac {1}{x}}+c_{1}&x<0\\[1ex]-{\dfrac {1}{x}}+c_{2}&x>0\end{cases}}$$

является наиболее общей первообразной от $f(x)=1/x^{2}$ на своей естественной территории $(-\infty ,0)\cup (0,\infty ).$

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную, и одна первообразная F задается определенным интегралом от f с переменной верхней границей:

$$F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t~,$$

для любого a в области f . Изменение нижней границы дает другие первообразные, но не обязательно все возможные первообразные. Это еще одна формулировка основной теоремы исчисления .

Существует множество функций, первообразные которых, даже если они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (например, многочлены , показательные функции , логарифмы , тригонометрические функции , обратные тригонометрические функции и их комбинации). Примерами этого являются

• ошибки функция
  $$\int e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x,$$
• Френеля функция
  $$\int \sin x^{2}\,\mathrm {d} x,$$
• синусоидальный интеграл
  $$\int {\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x,$$
• логарифмическая интегральная функция
  $$\int {\frac {1}{\log x}}\,\mathrm {d} x,$$
  и
• мечта второкурсника
  $$\int x^{x}\,\mathrm {d} x.$$

Для более подробного обсуждения см. также Дифференциальную теорию Галуа .

Методы интеграции

Найти первообразные элементарных функций зачастую значительно сложнее, чем найти их производные (действительно, не существует заранее определенного метода вычисления неопределенных интегралов). Для некоторых элементарных функций невозможно найти первообразную через другие элементарные функции. Чтобы узнать больше, см. элементарные функции и неэлементарный интеграл .

Существует множество свойств и методов поиска первообразных. К ним относятся, среди прочего:

• Линейность интегрирования (разбивающая сложные интегралы на более простые)
• Интегрирование путем замены , часто в сочетании с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом.
• Метод правила обратной цепочки (частный случай интегрирования заменой)
• Интеграция по частям (для интеграции продуктов функций)
• Интегрирование обратной функции (формула, выражающая первообразную обратной функции f ⁻¹ обратимой и непрерывной функции f в терминах первообразной f и f ⁻¹ ).
• Метод простейших дробей при интегрировании (позволяет интегрировать все рациональные функции — дроби двух многочленов)
• Алгоритм Риша
• Дополнительные методы многократного интегрирования (см., например, двойные интегралы , полярные координаты , якобиан и теорему Стокса )
• Численное интегрирование (метод аппроксимации определенного интеграла, когда элементарной первообразной не существует, как в случае exp(− x ² ) )
• Алгебраические манипуляции с подынтегральной функцией (чтобы можно было использовать другие методы интегрирования, такие как интегрирование путем замены)
• Формула Коши для повторного интегрирования (для вычисления n -кратной первообразной функции)
  $$\int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\cdots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,\mathrm {d} x_{n}\cdots \,\mathrm {d} x_{2}\,\mathrm {d} x_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,\mathrm {d} t.$$

Системы компьютерной алгебры можно использовать для автоматизации некоторых или всей работы, связанной с описанными выше символьными методами, что особенно полезно, когда задействованные алгебраические манипуляции очень сложны или длительны. Интегралы, которые уже были получены, можно найти в таблице интегралов .

О прерывистых функциях

Ненепрерывные функции могут иметь первообразные. Хотя в этой области все еще остаются открытые вопросы, известно, что:

• Тем не менее некоторые крайне патологические функции с большим набором разрывов могут иметь первообразные.
• В некоторых случаях первообразные таких патологических функций могут быть найдены путем интегрирования по Риману , тогда как в других случаях эти функции не интегрируемы по Риману.

Предполагая, что области определения функций представляют собой открытые интервалы:

• Необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы функция f имела первообразную, является то, что f обладает свойством промежуточного значения . То есть, если [ a , b ] — подинтервал области определения f , а y — любое действительное число между f ( a ) и f ( b ) , то существует c между a и b такое, что f ( c ) = й . Это следствие теоремы Дарбу .
• Множество разрывов функции f должно быть скудным . Это множество также должно быть F-сигма- множеством (так как множество разрывов любой функции должно быть именно такого типа). Более того, для любого скудного множества F-сигм можно построить некоторую функцию f , имеющую первообразную, имеющую данное множество в качестве множества разрывов.
• Если f имеет первообразную, ограничена на замкнутых конечных подинтервалах области и имеет множество разрывов меры Лебега 0, то первообразную можно найти интегрированием в смысле Лебега. Фактически, используя более мощные интегралы, такие как интеграл Хенстока-Курцвейла , каждая функция, для которой существует первообразная, интегрируема, и ее общий интеграл совпадает с ее первообразной.
• Если f имеет первообразную F на отрезке $[a,b]$, то для любого выбора раздела $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b,$ если выбрать точки выборки $x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]$ как указано в теореме о среднем значении , то соответствующая сумма Римана телескопируется до значения $F(b)-F(a)$.
  $${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})&=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\&=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}$$
  Однако если f неограничено или если f ограничено, но множество разрывов f имеет положительную меру Лебега, другой выбор точек выборки $x_{i}^{*}$может дать существенно другое значение суммы Римана, независимо от того, насколько точным является разбиение. См. пример 4 ниже.

Несколько примеров

1. Функция
   $$f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)$$
   с $f(0)=0$ не является непрерывным в $x=0$ но имеет первообразную
   $$F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)$$
   с $F(0)=0$. Поскольку f ограничено на замкнутых конечных интервалах и разрывно только в точке 0, первообразную F можно получить путем интегрирования: $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t$.
2. Функция
   $$f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)-{\frac {2}{x}}\cos \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)$$
   с $f(0)=0$ не является непрерывным в $x=0$ но имеет первообразную
   $$F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)$$
   с $F(0)=0$. В отличие от примера 1, f ( x ) не ограничена в любом интервале, содержащем 0, поэтому интеграл Римана не определен.
3. Если f ( x ) — функция из примера 1, а F — ее первообразная, и $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ — плотное счетное подмножество открытого интервала $(-1,1),$ тогда функция
   $$g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(x-x_{n})}{2^{n}}}$$
   имеет первообразную
   $$G(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F(x-x_{n})}{2^{n}}}.$$
   Множество разрывов g — это в точности множество $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$. Поскольку g ограничена на замкнутых конечных интервалах и множество разрывов имеет меру 0, первообразную G можно найти интегрированием.
4. Позволять $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$ быть плотным счетным подмножеством открытого интервала $(-1,1).$ Рассмотрим всюду непрерывную строго возрастающую функцию
   $$F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}(x-x_{n})^{1/3}.$$
   Можно показать, что
   $$F'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}(x-x_{n})^{-2/3}$$

   

   Рисунок 1.

   

   Фигура 2.

   для всех значений x , где ряд сходится, и что график F ( x ) имеет вертикальные касательные линии при всех других значениях x . В частности, график имеет вертикальные касательные во всех точках множества. $\{x_{n}\}_{n\geq 1}$.

   Более того $F(x)\geq 0$для всех x, где определена производная. Отсюда следует, что обратная функция $G=F^{-1}$ дифференцируемо всюду и что

   $$g(x)=G'(x)=0$$

   для всех x в наборе $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$ который плотен в интервале $[F(-1),F(1)].$Таким образом, имеет первообразную G. g С другой стороны, не может быть правдой, что

   $$\int _{F(-1)}^{F(1)}g(x)\,\mathrm {d} x=GF(1)-GF(-1)=2,$$
   поскольку для любого раздела $[F(-1),F(1)]$, можно выбрать точки выборки для суммы Римана из множества $\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}$, давая сумме значение 0. Отсюда следует, что g имеет множество разрывов положительной меры Лебега. На рисунке 1 справа показано приближение графика g ( x ) , где $\{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}$и ряд сокращается до 8 членов. На рисунке 2 показан график аппроксимации первообразной G ( x ) , также усеченный до 8 членов. С другой стороны, если интеграл Римана заменить интегралом Лебега , то лемма Фату или теорема о доминируемой сходимости показывает, что g действительно удовлетворяет фундаментальной теореме исчисления в этом контексте.
5. В примерах 3 и 4 множества разрывов функции g плотны только на конечном интервале $(a,b).$ Однако эти примеры можно легко модифицировать, чтобы получить наборы разрывов, плотные на всей вещественной линии. $(-\infty ,\infty )$. Позволять
   $$\lambda (x)={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{\pi }}\tan ^{-1}x.$$
   Затем $g(\lambda (x))\lambda '(x)$ имеет плотное множество разрывов на $(-\infty ,\infty )$ и имеет первообразную $G\cdot \lambda .$
6. Используя тот же метод, что и в примере 5, можно изменить g в примере 4 так, чтобы он обращался в нуль во всех рациональных числах . Если использовать наивную версию интеграла Римана, определенного как предел левых или правых сумм Римана по регулярным разбиениям, можно получить, что интеграл такой функции g на интервале $[a,b]$ равно 0, когда a и b оба рациональны, а не $G(b)-G(a)$. Таким образом, фундаментальная теорема исчисления потерпит сокрушительный крах.
7. Функция, имеющая первообразную, все равно может оказаться неинтегрируемой по Риману. производная функции Вольтерра . Примером может служить

Основные формулы

• Если ${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}f(x)=g(x)$, затем $\int g(x)\mathrm {d} x=f(x)+C$.
• $\int 1\ \mathrm {d} x=x+C$
• $\int a\ \mathrm {d} x=ax+C$
• $\int x^{n}\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C;\ n\neq -1$
• $\int \sin {x}\ \mathrm {d} x=-\cos {x}+C$
• $\int \cos {x}\ \mathrm {d} x=\sin {x}+C$
• $\int \sec ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=\tan {x}+C$
• $\int \csc ^{2}{x}\ \mathrm {d} x=-\cot {x}+C$
• $\int \sec {x}\tan {x}\ \mathrm {d} x=\sec {x}+C$
• $\int \csc {x}\cot {x}\ \mathrm {d} x=-\csc {x}+C$
• $\int {\frac {1}{x}}\ \mathrm {d} x=\ln |x|+C$
• $\int \mathrm {e} ^{x}\mathrm {d} x=\mathrm {e} ^{x}+C$
• $\int a^{x}\mathrm {d} x={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C;\ a>0,\ a\neq 1$
• $\int {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=\arcsin \left({\frac {x}{a}}\right)+C$
• $\int {\frac {1}{a^{2}+x^{2}}}\ \mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C$

См. также

• Первообразная (комплексный анализ)
• Формальная первообразная
• Интеграл Джексона
• Списки интегралов
• Символическая интеграция
• Область

Дальнейшее чтение

• «Введение в классический реальный анализ» , Карл Р. Стромберг; Уодсворт, 1981 г. (см. также )
• Исторический очерк о непрерывности деривативов, Дэйв Л. Ренфро

Внешние ссылки

• Wolfram Integrator — Бесплатная онлайн-символьная интеграция с Mathematica
• Калькулятор функций от WIMS
• Интеграл в Гиперфизике
• Первообразные и неопределенные интегралы в Академии Хана
• Интегральный калькулятор в Symbolab
• Первообразная в Массачусетском технологическом институте
• Введение в интегралы в SparkNotes
• Первообразные в колледже Харви Мадда