Логарифмическая интегральная функция

«Ли(х)» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о полилогарифме, обозначенном Li _s ( z ), см. Полилогарифм .

График логарифмической интегральной функции li(z) в комплексной плоскости от -2-2i до 2+2i с цветами, созданными с помощью функции Mathematica 13.1 ComplexPlot3D

В математике логарифмическая интегральная функция или интегральный логарифм li( x ) является специальной функцией . Он актуален в задачах физики и имеет теоретико-числовое значение. В частности, согласно теореме о простых числах , это очень хорошее приближение к функции подсчета простых чисел , которая определяется как количество простых чисел, меньших или равных заданному значению. $x$.

График логарифмической интегральной функции

Интегральное представление

Логарифмический интеграл имеет интегральное представление, определяемое для всех положительных действительных чисел x ≠ 1 определенным интегралом

$\operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}.$

Здесь ln обозначает натуральный логарифм . Функция 1/(ln t ) имеет особенность при t = 1 , а интеграл при x > 1 интерпретируется как главное значение Коши :

$\operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln t}}\right).$

Смещенный логарифмический интеграл

или Логарифмический интеграл смещения логарифмический интеграл Эйлера определяется как

$\operatorname {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {li} (x)-\operatorname {li} (2).$

Таким образом, интегральное представление имеет то преимущество, что позволяет избежать сингулярности в области интегрирования.

Эквивалентно,

$\operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{\ln t}}=\operatorname {Li} (x)+\operatorname {li} (2).$

Специальные значения

Функция li( x ) имеет единственный положительный ноль; это происходит при x ≈ 1,45136 92348 83381 05028 39684 85892 02744 94930... OEIS : A070769 ; это число известно как константа Рамануджана-Сольднера .

${\text{li}}({\text{Li}}^{-1}(0))={\text{li}}(2)$ ≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151... OEIS : A069284

Это $-(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )$ где $\Gamma \left(a,x\right)$ – неполная гамма-функция . Его следует понимать как Коши главное значение функции .

Представление серии

Функция li( x ) связана с экспоненциальным интегралом Ei( x ) уравнением

${\hbox{li}}(x)={\hbox{Ei}}(\ln x),\,\!$

что справедливо для x > 0. Это тождество обеспечивает последовательное представление li( x ) как

$\operatorname {li} (e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln |u|+\sum _{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}\quad {\text{ for }}u\neq 0\;,$

где γ ≈ 0,57721 56649 01532 ... OEIS : A001620 — постоянная Эйлера–Машерони . Более быстро сходящийся ряд Рамануджана. является

$\operatorname {li} (x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}\right).$

расширение

Асимптотическое поведение при x → ∞ имеет вид

$\operatorname {li} (x)=O\left({\frac {x}{\ln x}}\right).$

где $O$ это большое обозначение О. Полное асимптотическое разложение есть

$\operatorname {li} (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}$

или

${\frac {\operatorname {li} (x)}{x/\ln x}}\sim 1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots .$

Это дает следующее более точное асимптотическое поведение:

$\operatorname {li} (x)-{\frac {x}{\ln x}}=O\left({\frac {x}{(\ln x)^{2}}}\right).$

В качестве асимптотического разложения этот ряд не сходится : он является разумным приближением только в том случае, если ряд усекается при конечном числе членов и только большие значения x используются . Это разложение непосредственно следует из асимптотического разложения для экспоненциального интеграла .

Это означает, например, что мы можем заключить li в скобки:

$1+{\frac {1}{\ln x}}<\operatorname {li} (x){\frac {\ln x}{x}}<1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {3}{(\ln x)^{2}}}$

для всех $\ln x\geq 11$.

числовое

Логарифмический интеграл важен в теории чисел , поскольку появляется в оценках количества простых чисел, меньших заданного значения. Например, теорема о простых числах гласит:

$\pi (x)\sim \operatorname {li} (x)$

где $\pi (x)$ обозначает количество простых чисел, меньших или равных $x$.

Принимая гипотезу Римана , мы получаем еще более сильную формулу:

$|\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O({\sqrt {x}}\log x)$

Фактически гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что:

$|\operatorname {li} (x)-\pi (x)|=O(x^{1/2+a})$ для любого $a>0$.

Для маленьких $x$, $\operatorname {li} (x)>\pi (x)$ но разность меняет знак бесконечное число раз, так как $x$ увеличивается, и в первый раз это происходит где-то между 10 ¹⁹ и 1,4×10 ³¹⁶ .

См. также

• Йорген Педерсен Грам
• номер Скьюза
• Список интегралов логарифмических функций

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964 г.]. «Глава 5» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Серия «Прикладная математика». Том. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями десятого оригинального издания с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Дуврские публикации. п. 228. ИСБН  978-0-486-61272-0 . LCCN   64-60036 . МР   0167642 . LCCN   65-12253 .
• Темме, Нью-Мексико (2010), «Экспоненциальные, логарифмические, синусоидальные и косинусоидальные интегралы» , в Олвере, Фрэнке У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .