Специальные функции

Специальные функции — это особые математические функции , которые имеют более или менее устоявшиеся имена и обозначения из-за их важности в математическом анализе , функциональном анализе , геометрии , физике или других приложениях.

Этот термин определен консенсусом и, следовательно, не имеет общего формального определения, но список математических функций содержит функции, которые обычно считаются специальными.

Таблицы специальных функций [ править ]

Многие специальные функции появляются как решения дифференциальных уравнений или интегралы от элементарных функций . Поэтому таблицы интегралов ^[1] обычно включают описания специальных функций и таблицы специальных функций. ^[2]включать наиболее важные интегралы; по крайней мере, интегральное представление специальных функций. Поскольку симметрии дифференциальных уравнений важны как для физики, так и для математики, теория специальных функций тесно связана с теорией групп Ли и алгебр Ли , а также с некоторыми разделами математической физики .

Механизмы символьных вычислений обычно распознают большинство специальных функций.

Обозначения, используемые для специальных функций [ править ]

Функции с установленными международными обозначениями — это синус ( $\sin$ ), косинус ( $\cos$ ), экспоненциальная функция ( $\exp$ ) и функция ошибки ( $\operatorname {erf}$ или $\operatorname {erfc}$ ).

Некоторые специальные функции имеют несколько обозначений:

Натуральный логарифм можно обозначить $\ln$ , $\log$ , $\log _{e}$ , или $\operatorname {Log}$ в зависимости от контекста.
Касательную функцию можно обозначить $\tan$ , $\operatorname {Tan}$ , или $\operatorname {tg}$ ( $\operatorname {tg}$ используется в нескольких европейских языках).
Арктангенс может обозначаться $\arctan$ , $\operatorname {atan}$ , $\operatorname {arctg}$ , или $\tan ^{-1}$ .
Функции Бесселя можно обозначить
- $J_{n}(x),$
- $\operatorname {besselj} (n,x),$
- ${\rm {BesselJ}}[n,x].$

Индексы часто используются для обозначения аргументов, обычно целых чисел. В некоторых случаях в качестве разделителя используется точка с запятой (;) или даже обратная косая черта (\). В этом случае перевод на алгоритмические языки допускает неоднозначность и может привести к путанице.

Верхние индексы могут обозначать не только возведение в степень, но и модификацию функции. Примеры (особенно с тригонометрическими и гиперболическими функциями ) включают:

$\cos ^{3}(x)$ обычно означает $(\cos(x))^{3}$
$\cos ^{2}(x)$ обычно $(\cos(x))^{2}$ , но никогда $\cos(\cos(x))$
$\cos ^{-1}(x)$ обычно означает $\arccos(x)$ , нет $(\cos(x))^{-1}$ ; это может вызвать путаницу, поскольку значение этого надстрочного индекса несовместимо с остальными.

Оценка специальных функций [ править ]

Большинство специальных функций рассматриваются как функции комплексной переменной . Они аналитичны ; описаны особенности и разрезы; известны дифференциальное и интегральное представления и разложение в ряд Тейлора или асимптотический ряд доступно . Кроме того, иногда существуют связи с другими специальными функциями; сложная специальная функция может быть выражена через более простые функции. Для оценки могут использоваться различные представления; Самый простой способ вычислить функцию — разложить ее в ряд Тейлора. Однако такое представление может сходиться медленно или не сходиться вообще. В алгоритмических языках обычно используются рациональные аппроксимации , хотя они могут вести себя плохо в случае сложных аргументов.

История специальных функций [ править ]

Классическая теория [ править ]

Хотя тригонометрия и показательные функции были систематизированы и унифицированы к восемнадцатому веку, поиск полной и единой теории специальных функций продолжается с девятнадцатого века. Высшим достижением теории специальных функций в 1800–1900 гг. стала теория эллиптических функций ; трактаты, которые были по существу полными, такие как трактат Таннери и Молка , ^[3]изложил все основные тождества теории, используя приемы аналитической теории функций (на основе комплексного анализа ). В конце века также состоялось очень подробное обсуждение сферических гармоник .

Изменение и фиксирование мотивации [ править ]

В то время как чистые математики стремились к широкой теории, выводящей как можно больше известных специальных функций из одного принципа, в течение долгого времени специальные функции были областью прикладной математики . Приложения к физическим наукам и технике определили относительную важность функций. До появления электронных вычислений важность специальной функции подтверждалась трудоемким вычислением расширенных таблиц значений для быстрого поиска , как и для знакомых таблиц логарифмов . Бэббиджа ( Разностная машина была попыткой вычислить такие таблицы.) Для этой цели основными методами являются:

численный анализ , открытие бесконечных рядов или других аналитических выражений , позволяющих осуществлять быстрые вычисления; и
приведение как можно большего числа функций к данной функции.

Более теоретические вопросы включают: асимптотический анализ ; аналитическое продолжение и монодромия в комплексной плоскости ; и принципы симметрии другие структурные уравнения.

Двадцатый век [ править ]

В двадцатом веке наблюдалось несколько волн интереса к теории специальных функций. Классический учебник Уиттакера и Ватсона (1902 г.). ^[4]стремился объединить теорию с помощью комплексного анализа; Книга Дж. Н. Уотсона « Трактат по теории функций Бесселя» продвинула методы, насколько это возможно, для одного важного типа, включая асимптотические результаты.

Более поздний проект «Манускрипт Бейтмана» под редакцией Артура Эрдели пытался стать энциклопедическим и появился примерно в то время, когда электронные вычисления вышли на первый план, а составление таблиц перестало быть основной проблемой.

Современные теории

Современная теория ортогональных многочленов имеет определенную, но ограниченную сферу применения. Гипергеометрические ряды , которые, по наблюдениям Феликса Кляйна, играют важную роль в астрономии и математической физике . ^[5]превратилась в сложную теорию, нуждающуюся в последующей концептуальной обработке. Группы Ли и, в частности, их теория представлений объясняют, какой сферическая функция вообще может быть ; начиная с 1950 года существенные части классической теории можно было переформулировать в терминах групп Ли. Кроме того, работа над алгебраической комбинаторикой также возродила интерес к старым частям теории. Предположения Яна Г. Макдональда помогли открыть новые большие и активные области с типичным привкусом специальных функций. Разностные уравнения стали занимать место помимо дифференциальных уравнений в качестве источника специальных функций.