Тригонометрия

Чтобы узнать об альбоме, см. Тригонометрия (альбом) . Чтобы узнать о сериале, см. Тригонометрия (сериал) .

«Триг» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Триг (значения) .

Тригонометрия (от древнегреческого τριγονον ( trigōnon ) «треугольник» и μέτρον ( métron ) «мера») — раздел математики , изучающий взаимосвязь между углами и длинами сторон треугольников. В частности, тригонометрические функции связывают углы прямоугольного треугольника с отношениями длин его сторон. Эта область возникла в эллинистическом мире в III веке до нашей эры из приложений геометрии к астрономическим исследованиям . Греки сосредоточились на вычислении хорд , а математики в Индии создали самые ранние известные таблицы значений тригонометрических отношений (также называемых тригонометрическими функциями ), таких как синус .

На протяжении всей истории тригонометрия применялась в таких областях, как геодезия , геодезия , небесная механика и навигация .

Тригонометрия известна своими многочисленными идентичностями . Эти тригонометрические тождества обычно используются для переписывания тригонометрических выражений с целью упростить выражение, найти более полезную форму выражения или решить уравнение .

История

Основная статья: История тригонометрии

Гиппарх , которому приписывают составление первой тригонометрической таблицы , был описан как «отец тригонометрии».

Шумерские астрономы изучали меру углов, используя деление кругов на 360 градусов. Они, а позже и вавилоняне , изучали отношения сторон подобных треугольников и открыли некоторые свойства этих отношений, но не превратили это в систематический метод нахождения сторон и углов треугольников. Древние нубийцы использовали аналогичный метод.

В III веке до нашей эры математики-эллинисты , такие как Евклид и Архимед , изучали свойства хорд и вписанных углов в окружности и доказали теоремы, эквивалентные современным тригонометрическим формулам, хотя они представили их геометрически, а не алгебраически. В 140 году до нашей эры Гиппарх (из Никеи , Малая Азия) дал первые таблицы хорд, аналогичные современным таблицам значений синуса , и использовал их для решения задач по тригонометрии и сферической тригонометрии . Во II веке нашей эры греко-египетский астроном Птолемей (из Александрии, Египет) построил подробные тригонометрические таблицы ( таблицу аккордов Птолемея ) в книге 1, главе 11 своего «Альмагеста» . Птолемей использовал длину хорды для определения своих тригонометрических функций, что является незначительным отличием от синусоидального соглашения, которое мы используем сегодня. (Значение, которое мы называем sin(θ), можно найти, найдя длину хорды для удвоенного интересующего угла (2θ) в таблице Птолемея, а затем разделив это значение на два.) Прошли столетия, прежде чем были созданы более подробные таблицы, и Трактат Птолемея использовался для выполнения тригонометрических вычислений в астрономии в течение следующих 1200 лет в средневековом византийском , исламском , а позже и западноевропейском мире.

Современное определение синуса впервые засвидетельствовано в « Сурья Сиддханта» , а его свойства были дополнительно задокументированы в V веке (н. э.) индийским математиком и астрономом Арьябхатой . Эти греческие и индийские работы были переведены и расширены средневековыми исламскими математиками . В 830 году нашей эры персидский математик Хабаш аль-Хасиб аль-Марвази составил первую таблицу котангенсов. К 10 веку нашей эры в работах персидского математика Абу аль-Вафа аль-Бузджани все шесть тригонометрических функций . использовались У Абу аль-Вафа были таблицы синусов с шагом 0,25 °, с точностью до 8 десятичных знаков, а также точные таблицы значений тангенсов. Он также сделал важные инновации в сферической тригонометрии. Персидский Насир эрудит ад-Дин ат-Туси считается создателем тригонометрии как самостоятельной математической дисциплины. Он был первым, кто рассматривал тригонометрию как математическую дисциплину, независимую от астрономии, и развил сферическую тригонометрию в ее нынешнюю форму. Он перечислил шесть различных случаев прямоугольного треугольника в сферической тригонометрии, а в своей работе «О фигуре сектора » он сформулировал закон синусов для плоских и сферических треугольников, открыл закон тангенсов для сферических треугольников и представил доказательства обоих. эти законы. Знания о тригонометрических функциях и методах достигли Западной Европы через латинские переводы Птолемея греческого Альмагеста , а также работы персидских и арабских астрономов, таких как Аль-Баттани и Насир ад-Дин ат-Туси . Одной из самых ранних работ по тригонометрии североевропейского математика является De Triangulis немецкого математика 15-го века Региомонтануса , которого вдохновил написать и предоставил копию Альмагеста византийский греческий ученый кардинал Базилиос Бессарион, с которым он жил. в течение нескольких лет. В это же время еще один перевод « Альмагеста» с греческого на латынь завершил критский Георгий Трапезундский . Тригонометрия была еще настолько мало известна в Северной Европе XVI века, что Николай Коперник посвятил две главы « De Revolutionibus Orbium Coelestium» объяснению ее основных концепций.

Под влиянием требований навигации и растущей потребности в точных картах больших географических территорий тригонометрия превратилась в важную отрасль математики. Варфоломей Питиск был первым, кто использовал это слово, опубликовав свою «Тригонометрию» в 1595 году. Джемма Фризиус впервые описала метод триангуляции , который до сих пор используется в геодезии. Именно Леонард Эйлер полностью включил комплексные числа в тригонометрию. Работы шотландских математиков Джеймса Грегори в 17 веке и Колина Маклорена в 18 веке оказали влияние на развитие тригонометрических рядов . Также в 18 веке Брук Тейлор определил общий ряд Тейлора .

Тригонометрические соотношения

Основная статья: Тригонометрическая функция

В этом прямоугольном треугольнике: sin A = a / h ; потому что А знак равно б / ч ; загар А знак равно а / б .

Тригонометрические отношения – это отношения сторон прямоугольного треугольника. Эти отношения зависят только от одного острого угла прямоугольного треугольника, так как любые два прямоугольных треугольника с одинаковым острым углом подобны .

Итак, эти отношения определяют функции этого угла, называемые тригонометрическими функциями . В явном виде они определены ниже как функции известного угла A , где a , b и h относятся к длинам сторон на прилагаемом рисунке:

• Синус (обозначается sin), определяемый как отношение стороны, противолежащей углу, к гипотенузе .

$\sin A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}.$

• Косинус (обозначается cos), определяемый как отношение прилежащего катета (стороны треугольника, соединяющей угол с прямым углом) к гипотенузе.

$\cos A={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}.$

• Тангенс (обозначается tan), определяемый как отношение противоположного катета к соседнему катету.

$\tan A={\frac {\textrm {opposite}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/h}{b/h}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.$

Гипотенуза ; — это сторона, противоположная углу 90 градусов в прямоугольном треугольнике это самая длинная сторона треугольника и одна из двух сторон, примыкающих к А. углу Соседний катет примыкающая к углу А. — это другая сторона , Противоположная сторона противолежащая углу А. — это сторона , Термины «перпендикуляр» и «основание» иногда используются для обозначения противоположной и прилегающей сторон соответственно. См. ниже в разделе «Мнемоника» .

Обратная величина этих отношений называется косекансом (csc), секансом (sec) и котангенсом (cot) соответственно:

$\csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {opposite}}}={\frac {h}{a}},$

$\sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {hypotenuse}}{\textrm {adjacent}}}={\frac {h}{b}},$

$\cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {adjacent}}{\textrm {opposite}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.$

Косинус, котангенс и косеканс названы так потому, что они представляют собой соответственно синус, тангенс и секанс дополнительного угла, сокращенно обозначаемого как «со-».

С помощью этих функций можно ответить практически на все вопросы о произвольных треугольниках, используя закон синусов и закон косинусов . Эти законы можно использовать для вычисления остальных углов и сторон любого треугольника, как только известны две стороны и прилежащий к ним угол или два угла и сторона или три стороны.

Мнемоника

Основная статья: Мнемоника в тригонометрии

обычно используется Мнемотехника для запоминания фактов и отношений в тригонометрии. Например, отношения синуса , косинуса и тангенса в прямоугольном треугольнике можно запомнить, представляя их и соответствующие им стороны в виде строк букв. Например, мнемоника SOH-CAH-TOA:

Синус = Противоположный ÷ Гипотенуза ​

Косинус = А ÷ Гипотенуза соседний

Тангенс = противоположный ÷ соседний ​

Один из способов запомнить буквы — произносить их фонетически (т.е. / ˌ s oʊ k ə ˈ t oʊ ə / SOH -kə- TOH -ə , аналогично Кракатау ). , например: « - старый то хиппи поймал одного еще Какой хиппи , купающегося — в кислоте » Другой метод объединить буквы в предложение .

Единичный круг и общие тригонометрические значения

Основная статья: Единичный круг

Рисунок 1а – Синус и косинус угла θ, определенного с помощью единичной окружности

Индикация знака и количества ключевых углов в зависимости от направления вращения.

Тригонометрические отношения также можно представить с помощью единичного круга , который представляет собой круг радиуса 1 с центром в начале координат на плоскости. В этой настройке конечная сторона угла A , помещенного в стандартное положение , будет пересекать единичную окружность в точке (x,y), где $x=\cos A$ и $y=\sin A$. Это представление позволяет рассчитывать часто встречающиеся тригонометрические значения, например, приведенные в следующей таблице:

Функция	0	$\pi /6$	$\pi /4$	$\pi /3$	$\pi /2$	$2\pi /3$	$3\pi /4$	$5\pi /6$	$\pi$
их	$0$	$1/2$	${\sqrt {2}}/2$	${\sqrt {3}}/2$	$1$	${\sqrt {3}}/2$	${\sqrt {2}}/2$	$1/2$	$0$
косинус	$1$	${\sqrt {3}}/2$	${\sqrt {2}}/2$	$1/2$	$0$	$-1/2$	$-{\sqrt {2}}/2$	$-{\sqrt {3}}/2$	$-1$
касательная	$0$	${\sqrt {3}}/3$	$1$	${\sqrt {3}}$	неопределенный	$-{\sqrt {3}}$	$-1$	$-{\sqrt {3}}/3$	$0$
секущая	$1$	$2{\sqrt {3}}/3$	${\sqrt {2}}$	$2$	неопределенный	$-2$	$-{\sqrt {2}}$	$-2{\sqrt {3}}/3$	$-1$
косеканс	неопределенный	$2$	${\sqrt {2}}$	$2{\sqrt {3}}/3$	$1$	$2{\sqrt {3}}/3$	${\sqrt {2}}$	$2$	неопределенный
котангенс	неопределенный	${\sqrt {3}}$	$1$	${\sqrt {3}}/3$	$0$	$-{\sqrt {3}}/3$	$-1$	$-{\sqrt {3}}$	неопределенный

Тригонометрические функции действительных или комплексных переменных

Основная статья: Тригонометрическая функция

Используя единичный круг , можно распространить определения тригонометрических отношений на все положительные и отрицательные аргументы. (см. тригонометрическую функцию ).

Графики тригонометрических функций

В следующей таблице обобщены свойства графиков шести основных тригонометрических функций:

Функция	Период	Домен	Диапазон	График
их	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
косинус	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
касательная	$\pi$	$x\neq \pi /2+n\pi$	$(-\infty ,\infty )$
секущая	$2\pi$	$x\neq \pi /2+n\pi$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$
косеканс	$2\pi$	$x\neq n\pi$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$
котангенс	$\pi$	$x\neq n\pi$	$(-\infty ,\infty )$

Обратные тригонометрические функции

Основная статья: Обратные тригонометрические функции

Поскольку шесть основных тригонометрических функций являются периодическими, они не инъективны (или от 1 до 1) и, следовательно, не обратимы. область Однако , ограничив определения тригонометрической функции, их можно сделать обратимыми.

Имена обратных тригонометрических функций, а также их области определения и диапазон значений можно найти в следующей таблице:

Имя	Обычные обозначения	Определение	Домен x для реального результата	Диапазон обычной основной стоимости ( радианы )	Диапазон обычной основной стоимости ( градусы )
арксинус	y = дугсинус ( х )	х = грех ( у )	−1 ≤ х ≤ 1	− π / 2 ≤ y ≤ п / 2	−90° ≤ y ≤ 90°
арккосинус	y = arccos( х )	х = потому что ( у )	−1 ≤ х ≤ 1	0 ≤ y ≤ π	0° ≤ и ≤ 180°
арктангенс	y = арктанс( x )	х = загар ( у )	все действительные числа	− π / 2 < у < п / 2	−90° < y <90°
арккотангенс	y = дуговая котировка ( x )	х = детская кроватка ( у )	все действительные числа	0 < у < π	0° < у < 180°
арксеканс	y = угловая секунда ( x )	х = сек ( у )	х ≤ −1 или 1 ≤ х	0 ≤ у < π / 2 или π / 2 < y ≤ π	0° ≤ y < 90° или 90° < y ≤ 180°
арккосеканс	y = arccsc( x )	х = csc ( у )	х ≤ −1 или 1 ≤ х	− π / 2 ≤ y < 0 или 0 < y ≤ п / 2	−90° ≤ y < 0° или 0° < y ≤ 90°

Представления степенных рядов

Если рассматривать тригонометрические отношения как функции действительной переменной, то их можно представить бесконечным рядом . Например, синус и косинус имеют следующие представления:

${\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.\end{aligned}}$

С помощью этих определений можно определить тригонометрические функции для комплексных чисел . следующая формула При расширении как функции действительных или комплексных переменных для комплексной экспоненты справедлива :

$e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y).$

Эта сложная показательная функция, записанная в терминах тригонометрических функций, особенно полезна.

Вычисление тригонометрических функций

Основная статья: Тригонометрические таблицы

Тригонометрические функции были одними из первых применений математических таблиц . Такие таблицы были включены в учебники математики, и студентов учили искать значения и интерполировать перечисленные значения для получения более высокой точности. Логарифмические линейки имели специальные шкалы для тригонометрических функций.

Научные калькуляторы имеют кнопки для расчета основных тригонометрических функций (sin, cos, tan, а иногда и цис и обратных им). Большинство из них позволяют выбирать методы измерения углов: градусы , радианы и иногда градины . Большинство языков программирования предоставляют библиотеки функций, включающие тригонометрические функции. Аппаратное обеспечение блока с плавающей запятой, встроенное в микропроцессоры, используемые в большинстве персональных компьютеров, имеет встроенные инструкции для вычисления тригонометрических функций.

Другие тригонометрические функции

Основная статья: Тригонометрические функции § История

В дополнение к шести отношениям, перечисленным ранее, существуют дополнительные тригонометрические функции, которые были исторически важны, но сегодня редко используются. К ним относится хорда ( crd( θ ) = 2 sin( θ / 2 ) ), версина ( versin( θ ) = 1 - cos( θ ) = 2 sin ² ( θ / 2 ) ) (которые появились в самых ранних таблицах ), коверсинус ( Coverin( θ ) = 1 − sin( θ ) = versin( π / 2 − θ ) ), хаверсинус ( haversin( θ ) = 1/2 версия грех ( θ ) = ² ( я / 2 ) ), экссеканс exsec ( ( θ ) = sec( θ ) − 1 ) и экссеканс ( excsc( θ ) = exsec( π / 2 - θ ) знак равно csc( θ ) - 1 ). См. Список тригонометрических тождеств , чтобы узнать больше о связях между этими функциями.

Приложения

Основная статья: Использование тригонометрии

Астрономия

Основная статья: Астрономия

На протяжении веков сферическая тригонометрия использовалась для определения положения Солнца, Луны и звезд. предсказание затмений и описание орбит планет.

В наше время техника триангуляции используется в астрономии для измерения расстояний до ближайших звезд. а также в системах спутниковой навигации .

Навигация

Основная статья: Навигация

Секстанты используются для измерения угла солнца или звезд по отношению к горизонту. Используя тригонометрию и морской хронометр , на основе таких измерений можно определить положение корабля.

Исторически тригонометрия использовалась для определения широты и долготы парусных судов, прокладки курсов и расчета расстояний во время навигации.

Тригонометрия до сих пор используется в навигации с помощью таких средств, как система глобального позиционирования и искусственный интеллект для автономных транспортных средств .

Геодезия

Основная статья: Геодезия

В землемерии тригонометрия используется для расчета длин, площадей и относительных углов между объектами.

В более широком масштабе тригонометрия используется в географии для измерения расстояний между ориентирами.

Периодические функции

Основные статьи: ряд Фурье и преобразование Фурье

Функция $s(x)$(красным цветом) представляет собой сумму шести синусоидальных функций разных амплитуд и гармонически связанных частот. Их сумма называется рядом Фурье. Преобразование Фурье, $S(f)$ (синим цветом), который изображает зависимость амплитуды от частоты , показывает 6 частот ( нечетных гармоник ) и их амплитуды ( 1/нечетное число ).

Функции синуса и косинуса являются фундаментальными для теории периодических функций . например, те, которые описывают звуковые и световые волны. Фурье обнаружил, что любую непрерывную периодическую функцию можно описать как бесконечную сумму тригонометрических функций.

Даже непериодические функции можно представить в виде интеграла синусов и косинусов посредством преобразования Фурье . Это имеет приложения к квантовой механике. и коммуникации , среди других полей.

Оптика и акустика

Основные статьи: оптика и акустика

Тригонометрия полезна во многих физических науках . включая акустику , и оптика . В этих областях они используются для описания звуковых и световых волн , а также для решения проблем, связанных с границами и передачей.

Другие приложения

Другие области, которые используют тригонометрию или тригонометрические функции, включают теорию музыки , геодезия , синтез звука , архитектура , электроника , биология , медицинская визуализация ( КТ и УЗИ ), химия , теория чисел (и, следовательно, криптология ), сейсмология , метеорология , океанография , сжатие изображений , фонетика , экономика , электротехника , машиностроение , гражданское строительство , компьютерная графика , картография , кристаллография и разработка игр .

Личности

Основная статья: Список тригонометрических тождеств

Треугольник со сторонами a , b , c и соответственно противоположными углами A , B , C.

Тригонометрия известна своими многочисленными тождествами, то есть уравнениями, верными для всех возможных входных данных.

Тождества, включающие только углы, известны как тригонометрические тождества . Другие уравнения, известные как тождества треугольников , связать стороны и углы данного треугольника.

Треугольные личности

В следующих тождествах A , B и C — углы треугольника, а a , b и c — длины сторон треугольника, противоположных соответствующим углам (как показано на схеме).

Закон синусов

Закон синусов (также известный как «правило синусов») для произвольного треугольника гласит:

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R={\frac {abc}{2\Delta }},$

где $\Delta$ - площадь треугольника, а R - радиус описанной окружности треугольника:

$R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}}.$

Закон косинусов

Закон косинусов (известный как формула косинусов или «правило косинусов») представляет собой распространение теоремы Пифагора на произвольные треугольники:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C,$

или эквивалентно:

$\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.$

Закон касательных

Закон касательных , разработанный Франсуа Вьетом , является альтернативой закону косинусов при решении неизвестных ребер треугольника, обеспечивая более простые вычисления при использовании тригонометрических таблиц. Его дают:

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A-B)\right]}{\tan \left[{\tfrac {1}{2}}(A+B)\right]}}$

Область

Учитывая две стороны a и b и угол между сторонами C , площадь треугольника равна половине произведения длин двух сторон и синуса угла между двумя сторонами:

${\mbox{Area}}=\Delta ={\frac {1}{2}}ab\sin C$

Формула Герона — еще один метод, который можно использовать для расчета площади треугольника. Эта формула гласит, что если треугольник имеет стороны длиной a , b и c , и если полупериметр равен

$s={\frac {1}{2}}(a+b+c),$

тогда площадь треугольника равна:

${\mbox{Area}}=\Delta ={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\frac {abc}{4R}}$,

где R — радиус описанной окружности треугольника.

Тригонометрические тождества

Пифагорейские идентичности

Следующие тригонометрические тождества связаны с теоремой Пифагора и справедливы для любого значения:

$\sin ^{2}A+\cos ^{2}A=1\$

$\tan ^{2}A+1=\sec ^{2}A\$

$\cot ^{2}A+1=\csc ^{2}A\$

Второе и третье уравнения получаются путем деления первого уравнения на $\cos ^{2}{A}$ и $\sin ^{2}{A}$, соответственно.

Формула Эйлера

Формула Эйлера , которая утверждает, что $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, дает следующие аналитические тождества для синуса, косинуса и тангенса в терминах e и мнимой единицы i :

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \tan x={\frac {i(e^{-ix}-e^{ix})}{e^{ix}+e^{-ix}}}.$

Другие тригонометрические тождества

Основная статья: Список тригонометрических тождеств

Другие часто используемые тригонометрические тождества включают тождества половинного угла, тождества суммы и разности углов, а также тождества произведения в сумму.

Смотрите также

• Таблица синусов Арьябхаты
• Обобщенная тригонометрия
• Ленарт сфера
• Список тем треугольника
• Список тригонометрических тождеств
• Рациональная тригонометрия
• Тощий треугольник
• Малоугловое приближение
• Тригонометрические функции
• Единичный круг
• Использование тригонометрии

Библиография

• Бойер, Карл Б. (1991). История математики (второе изд.). Джон Уайли и сыновья, Inc. ISBN  978-0-471-54397-8 .
• Нильсен, Кейдж Л. (1966). Логарифмические и тригонометрические таблицы в пяти разрядах (2-е изд.). Нью-Йорк: Barnes & Noble . LCCN   61-9103 .
• Терстон, Хью (1996). Ранняя астрономия . Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-387-94822-5 .

дальнейшее чтение

• «Тригонометрические функции» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс . 2001 [1994].
• Линтон, Кристофер М. (2004). От Евдокса до Эйнштейна: история математической астрономии . Издательство Кембриджского университета.
• Вайсштейн, Эрик В. «Формулы тригонометрического сложения» . Математический мир .

Внешние ссылки

• Академия Хана: Тригонометрия, бесплатные онлайн-микролекции
• Тригонометрия Альфреда Монро Кеньона и Луи Ингольда, The Macmillan Company, 1914 год. В изображениях представлен полный текст.
• Загадка тригонометрии Бенджамина Баннекера и конвергенция
• Краткий курс Дэйва по тригонометрии Дэвида Джойса из Университета Кларка
• Тригонометрия, Майкл Коррал, охватывает элементарную тригонометрию, распространяется под лицензией свободной документации GNU.