Единичный круг

Иллюстрация единичного круга. Переменная t является мерой угла .

Анимация разворачивания единичной окружности, круга радиусом 1. Поскольку C = 2 πr , длина единичной окружности равна 2π .

В математике единичный круг — это круг единичного радиуса , то есть радиуса 1. Часто, особенно в тригонометрии , единичный круг представляет собой круг радиуса 1 с центром в начале координат (0, 0) в декартовой системе координат на евклидовой плоскости . В топологии его часто обозначают как S ¹ потому что это одномерная единица n- сферы .

Если ( x , y ) — точка на окружности единичного круга , то | х | и | й | — длины катетов прямоугольного треугольника гипотенуза которого имеет длину 1. Таким образом, по теореме Пифагора , x и y удовлетворяют уравнению

$$x^{2}+y^{2}=1.$$

Поскольку х ² знак равно (- х ) ² для всех x , и поскольку отражение любой точки единичного круга относительно оси x или y также находится на единичном круге, приведенное выше уравнение справедливо для всех точек ( x , y ) на единичном круге, а не только для тех, которые в первом квадранте.

Внутренняя часть единичного круга называется открытым единичным диском , а внутренняя часть единичного круга, объединенная с самим единичным кругом, называется замкнутым единичным диском.

Можно также использовать другие понятия «расстояния» для определения других «единичных кругов», таких как риманов круг ; см. в статье о математических нормах дополнительные примеры .

В сложной плоскости

Основная статья: единичные комплексные числа

Анимация единичного круга с углами

В комплексной плоскости числа единичной величины называются единичными комплексными числами . Это набор комплексных чисел z таких, что $|z|=1.$ При разбиении на реальные и мнимые компоненты $z=x+iy,$ это условие $|z|^{2}=z{\bar {z}}=x^{2}+y^{2}=1.$

Комплексную единичную окружность можно параметризовать с помощью угловой меры. $\theta$ от положительной вещественной оси с помощью комплексной экспоненциальной функции , $z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$ (См. формулу Эйлера .)

При операции комплексного умножения единичные комплексные числа образуют группу, называемую группой кругов , обычно обозначаемую $\mathbb {T} .$ В квантовой механике единичное комплексное число называется фазовым фактором .

Тригонометрические функции на единичной окружности

Все тригонометрические функции угла θ (тета) могут быть построены геометрически в терминах единичного круга с центром в точке O .

Синусоидальная функция на единичной окружности (вверху) и ее график (внизу)

Тригонометрические функции косинус и синус угла θ могут быть определены на единичном круге следующим образом: если ( x , y ) является точкой на единичном круге, и если луч от начала координат (0, 0) до ( x , y) ) образует угол θ с положительной осью x (где поворот против часовой стрелки является положительным), тогда

$$\cos \theta =x\quad {\text{and}}\quad \sin \theta =y.$$

Уравнение х ² + и ² = 1 дает соотношение

$$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1.$$

Единичный круг также демонстрирует, что синус и косинус являются периодическими функциями с тождествами

$$\cos \theta =\cos(2\pi k+\theta )$$

$$\sin \theta =\sin(2\pi k+\theta )$$

для любого целого числа k .

Треугольники, построенные на единичной окружности, также можно использовать для иллюстрации периодичности тригонометрических функций. Сначала постройте радиус OP от начала координат O до точки P( x ₁ , y ₁ ) на единичной окружности такой, что угол t с 0 < t < π / 2 образуется положительным плечом оси x . Теперь рассмотрим точку Q( x _1,0 ) и отрезки PQ ⊥ OQ . В результате получается прямоугольный треугольник △OPQ с ∠QOP = t . Поскольку PQ имеет длину y ₁ , OQ длину x ₁ , а OP имеет длину 1 как радиус единичной окружности, sin( t ) = y ₁ и cos( t ) = x ₁ . Установив эти эквивалентности, возьмем еще один радиус OR от начала координат до точки R(− x ₁ , y ₁ ) на окружности так, чтобы тот же угол t образовывался с отрицательным плечом оси x . Теперь рассмотрим точку S(− x _1,0 ) и отрезки RS ⊥ OS . В результате получается прямоугольный треугольник △ORS с ∠SOR = t . Отсюда видно, что, поскольку ∠ROQ = π − t , R находится в точке (cos(π − t ), sin(π − t )) точно так же, как P находится в точке (cos( t ), sin( t )) . Вывод таков: поскольку (− x ₁ , y ₁ ) то же самое, что (cos(π − t ), sin(π − t )) и ( x ₁ , y ₁ ) то же самое, что (cos( t ) ,sin( t )) верно, что sin( t ) = sin(π - t ) и -cos( t ) = cos(π - t ) . Аналогичным образом можно сделать вывод, что tan(π − t ) = −tan( t ) , поскольку tan( t ) = y ₁ / x ₁ и tan(π - t ) = у ₁ / - Икс ₁ . Простую демонстрацию вышесказанного можно увидеть в равенстве sin( π / 4 ) = грех( 3π / 4 ) = 1 / √ 2 .

При работе с прямоугольными треугольниками синус, косинус и другие тригонометрические функции имеют смысл только для угловых величин больше нуля и меньше π / 2 . Однако, если они определены с помощью единичного круга, эти функции дают значимые значения для любой действительной угловой меры, даже для тех, которые больше 2 π . Фактически, все шесть стандартных тригонометрических функций — синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, а также архаичные функции, такие как версус и экссеканс , — могут быть определены геометрически в терминах единичного круга, как показано справа.

Используя единичный круг, значения любой тригонометрической функции для многих углов, отличных от отмеченных, можно легко вычислить вручную, используя формулы суммы и разности углов .

Единичный круг, показывающий координаты определенных точек.

Сложная динамика

Основная статья: Сложная динамика

Единичный круг в сложной динамике

Множество Жюлиа дискретной нелинейной динамической системы с функцией эволюции :

$$f_{0}(x)=x^{2}$$

представляет собой единичный круг. Это простейший случай, поэтому он широко используется при изучении динамических систем.

См. также

• Угловая мера
• Пифагорейское тригонометрическое тождество
• Римановый круг
• Радиан
• Единичный диск
• Единичная сфера
• Единичная гипербола
• Единица площади
• Поворот (угол)
• z-преобразование
• диаграмма Смита