Группа кругов

Чтобы узнать о других значениях, см. Круг (значения) .

Умножение группы кругов эквивалентно сложению углов.

В математике группа кругов , обозначаемая $\mathbb {T}$ или $\mathbb {S} ^{1}$, — это мультипликативная группа всех комплексных чисел с абсолютным значением 1, то есть единичный круг на комплексной плоскости или просто единичные комплексные числа.

$$\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}.$$

Группа кругов подгруппу образует $\mathbb {C} ^{\times }$, мультипликативная группа всех ненулевых комплексных чисел. С $\mathbb {C} ^{\times }$ абелева что , то отсюда следует, $\mathbb {T}$ тоже есть.

Единичное комплексное число в группе кругов представляет собой вращение комплексной плоскости вокруг начала координат и может быть параметризовано с помощью угловой меры. $\theta$:

$$\theta \mapsto z=e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$$

Это экспоненциальная карта для группы кругов.

Группа круга играет центральную роль в двойственности Понтрягина и в теории групп Ли .

Обозначения $\mathbb {T}$ ибо группа окружностей вытекает из того, что при стандартной топологии (см. ниже) группа окружностей является 1- тором . В более общем смысле, $\mathbb {T} ^{n}$ ( прямой продукт $\mathbb {T}$ с самим собой $n$ раз) геометрически $n$-тор.

Группа окружностей изоморфна специальной ортогональной группе $\mathrm {SO} (2)$.

Элементарное введение

Один из способов рассмотрения группы кругов заключается в том, что она описывает, как добавлять углы , причем только углы от 0° до 360° или $\in [0,2\pi )$ или $\in (-\pi ,+\pi ]$ разрешены. Например, на диаграмме показано, как прибавить 150° к 270°. Ответ: 150° + 270° = 420° , но, думая о группе кругов, мы можем «забыть» тот факт, что мы один раз обогнули круг. Поэтому мы корректируем наш ответ на 360°, что дает 420° ≡ 60° ( по модулю 360° ).

Другое описание дано в терминах обычного (реального) сложения, где разрешены только числа от 0 до 1 (при этом 1 соответствует полному повороту: 360° или $2\pi$), то есть действительные числа по модулю целых чисел: $\mathbb {T} \cong \mathbb {R} /\mathbb {Z}$. Этого можно добиться, отбросив цифры, стоящие перед десятичной запятой. Например, когда мы вычисляем 0,4166... ​​+ 0,75, ответ будет 1,1666..., но мы можем отбросить ведущую 1, поэтому ответ (в группе кружков) будет просто $0.1{\bar {6}}\equiv 1.1{\bar {6}}\equiv -0.8{\bar {3}}\;({\text{mod}}\,\mathbb {Z} )$ с некоторым предпочтением 0,166..., поскольку $0.1{\bar {6}}\in [0,1)$.

Топологическая и аналитическая структура

Группа кругов — это больше, чем просто абстрактный алгебраический объект. Оно имеет естественную топологию, если рассматривать его как подпространство комплексной плоскости. Поскольку умножение и обращение являются непрерывными функциями на $\mathbb {C} ^{\times }$группа кругов имеет структуру топологической группы . Более того, поскольку единичная окружность является замкнутым подмножеством комплексной плоскости, группа окружностей является замкнутой подгруппой $\mathbb {C} ^{\times }$ (сама рассматривается как топологическая группа).

Можно сказать даже больше. Круг — это одномерное вещественное многообразие , а умножение и инверсия — вещественно-аналитические отображения на круге. Это придает группе кругов структуру однопараметрической группы , экземпляра группы Ли . Фактически с точностью до изоморфизма это единственная одномерная компактная группа связная Ли. Более того, каждый $n$-мерная компактная связная абелева группа Ли изоморфна $\mathbb {T} ^{n}$.

Изоморфизмы

Группа кругов проявляется в математике в различных формах. Здесь мы перечислим некоторые из наиболее распространенных форм. В частности, мы показываем, что

$$\mathbb {T} \cong {\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong \mathrm {SO} (2).$$

Обратите внимание, что косая черта (/) здесь обозначает факторгруппу .

Набор всех унитарных матриц размера 1×1 явно совпадает с группой окружностей; условие унитарности эквивалентно условию, что его элемент имеет абсолютное значение 1. Следовательно, группа окружностей канонически изоморфна $\mathrm {U} (1)$, первая унитарная группа .

Показательная функция порождает групповой гомоморфизм $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {T}$ из аддитивных действительных чисел $\mathbb {R}$ в круговую группу $\mathbb {T}$ через карту

$$\theta \mapsto e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .$$

Последнее равенство — это формула Эйлера или комплексная экспонента. Действительное число θ соответствует углу (в радианах ) на единичной окружности, измеренному против часовой стрелки от положительной оси x . То, что это отображение является гомоморфизмом, следует из того, что умножение единичных комплексных чисел соответствует сложению углов:

$$e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}=e^{i(\theta _{1}+\theta _{2})}.$$

Это экспоненциальное отображение, очевидно, является сюръективной функцией из $\mathbb {R}$ к $\mathbb {T}$. Однако оно не является инъективным . Ядро этого отображения представляет собой набор всех целых кратных $2\pi$. Тогда по первой теореме об изоморфизме имеем, что

$$\mathbb {T} \cong \mathbb {R} /2\pi \mathbb {Z} .$$

После масштабирования мы также можем сказать, что $\mathbb {T}$ изоморфен $\mathbb {R} /\mathbb {Z}$.

Если комплексные числа реализованы как вещественные матрицы 2×2 (см. комплексное число ), единичные комплексные числа соответствуют ортогональным матрицам 2×2 с единичным определителем . В частности, у нас есть

$$e^{i\theta }\leftrightarrow {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta }\right).$$

Эта функция показывает, что группа окружностей изоморфна специальной ортогональной группе $\mathrm {SO} (2)$ с

$$f\left(e^{i\theta _{1}}e^{i\theta _{2}}\right)={\begin{bmatrix}\cos(\theta _{1}+\theta _{2})&-\sin(\theta _{1}+\theta _{2})\\\sin(\theta _{1}+\theta _{2})&\cos(\theta _{1}+\theta _{2})\end{bmatrix}}=f\left(e^{i\theta _{1}}\right)\times f\left(e^{i\theta _{2}}\right),$$

где $\times$ это умножение матриц.

Этот изоморфизм имеет геометрическую интерпретацию, согласно которой умножение на единичное комплексное число является правильным вращением в комплексной (и вещественной) плоскости, и каждое такое вращение имеет такую ​​форму.

Свойства

Каждая компактная группа Ли $\mathrm {G}$ размерности > 0 имеет подгруппу , изоморфную группе окружностей. Это означает, что, думая в терминах симметрии , можно ожидать, что компактная группа симметрии, действующая непрерывно, будет иметь действующие однопараметрические подгруппы окружностей; последствия в физических системах наблюдаются, например, при вращательной инвариантности и спонтанном нарушении симметрии .

Группа кругов имеет множество подгрупп , но ее единственные собственные замкнутые подгруппы состоят из корней из единицы : Для каждого целого числа $n>0$, $n$Корни -й степени из единицы образуют циклическую группу порядка $n$, единственный с точностью до изоморфизма.

Точно так же, как действительные числа являются пополнением чисел b -адических рациональных $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{b}}]$ для каждого натурального числа $b>1$, группа круга является пополнением группы Прюфера $\mathbb {Z} [{\tfrac {1}{b}}]/\mathbb {Z}$ для $b$, заданный прямым пределом $\varinjlim \mathbb {Z} /b^{n}\mathbb {Z}$.

Представления

Представления группы окружностей легко описать. следует Из леммы Шура , что все неприводимые комплексные представления абелевой группы одномерны. Поскольку группа окружностей компактна, любое представление

$$\rho :\mathbb {T} \to \mathrm {GL} (1,\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} ^{\times }$$

должен принимать значения в ${\mbox{U}}(1)\cong \mathbb {T}$. Следовательно, неприводимые представления группы окружностей — это просто гомоморфизмы группы окружностей в себя.

Для каждого целого числа $n$ мы можем определить представление $\phi _{n}$ группы круга по $\phi _{n}(z)=z^{n}$. Все эти представления неэквивалентны. Представительство $\phi _{-n}$ сопряжено ​ с $\phi _{n}$:

$$\phi _{-n}={\overline {\phi _{n}}}.$$

Эти изображения — всего лишь символы группы кругов. Группа персонажей ​ $\mathbb {T}$ очевидно, является бесконечной циклической группой, порожденной $\phi _{1}$:

$$\operatorname {Hom} (\mathbb {T} ,\mathbb {T} )\cong \mathbb {Z} .$$

Неприводимые вещественные представления группы кругов — это тривиальное представление (одномерное) и представления

$$\rho _{n}(e^{i\theta })={\begin{bmatrix}\cos n\theta &-\sin n\theta \\\sin n\theta &\cos n\theta \end{bmatrix}},\quad n\in \mathbb {Z} ^{+},$$

принимая значения в $\mathrm {SO} (2)$. Здесь мы имеем только положительные целые числа $n$, поскольку представление $\rho _{-n}$ эквивалентно $\rho _{n}$.

Структура группы

Группа «Круг» $\mathbb {T}$ является делимой группой . Его крученая подгруппа задается множеством всех $n$-ые корни единства для всех $n$ и изоморфен $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$. Структурная теорема для делимых групп и аксиома выбора вместе говорят нам, что $\mathbb {T}$ изоморфна сумме прямой $\mathbb {Q} /\mathbb {Z}$ с несколькими копиями $\mathbb {Q}$.

Количество копий $\mathbb {Q}$ должно быть ${\mathfrak {c}}$ ( мощность континуума ), чтобы мощность прямой суммы была правильной. Но прямая сумма ${\mathfrak {c}}$ копии $\mathbb {Q}$ изоморфен $\mathbb {R}$, как $\mathbb {R}$ представляет собой векторное пространство размерности ${\mathfrak {c}}$ над $\mathbb {Q}$. Таким образом

$$\mathbb {T} \cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).$$

Изоморфизм

$$\mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {R} \oplus (\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$$

можно доказать таким же образом, поскольку $\mathbb {C} ^{\times }$ также является делимой абелевой группой, периодическая подгруппа которой совпадает с периодической подгруппой группы $\mathbb {T}$.

См. также

• Группа рациональных точек единичного круга
• Однопараметрическая подгруппа
• н -сфера
• Ортогональная группа
• Фазовый фактор (приложение в квантовой механике)
• Номер вращения
• Соленоид

Ссылки

• Джеймс, Роберт С.; Джеймс, Гленн (1992). Математический словарь (Пятое изд.). Чепмен и Холл. ISBN  9780412990410 .

Дальнейшее чтение

• Хуа Луоген (1981) Начиная с единичного круга , Springer Verlag , ISBN   0-387-90589-8 .

Внешние ссылки

• Гомеоморфизм и групповая структура на окружности