Глоссарий групп и алгебр Ли

Это глоссарий терминологии, применяемой в математических теориях групп и алгебр Ли . Темы теории представлений групп Ли и алгебр Ли см. в Глоссарии теории представлений . Из-за отсутствия других вариантов глоссарий также включает некоторые обобщения, такие как квантовая группа .

Обозначения :

На протяжении всего глоссария $(\cdot ,\cdot )$ обозначает скалярный продукт евклидова пространства E и $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ обозначает перемасштабированный внутренний продукт

$\langle \beta ,\alpha \rangle ={\frac {(\beta ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\,\forall \alpha ,\beta \in E.$

А

абелев

1. Абелева группа Ли — это группа Ли, которая является абелевой группой.

2. Абелева алгебра Ли – это алгебра Ли такая, что $[x,y]=0$ для каждого $x,y$ в алгебре.

помощник

1. Присоединенное представление группы Ли :

$\operatorname {Ad} :G\to \operatorname {GL} ({\mathfrak {g}})$

такой, что $\operatorname {Ad} (g)$ - дифференциал в единичном элементе сопряжения $c_{g}:G\to G,x\mapsto gxg^{-1}$.

2. Присоединенным представлением алгебры Ли является представление алгебры Ли.

${\textrm {ad}}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ где ${\textrm {ad}}(x)y=[x,y]$.

Украшение

Теорема Адо : Любая конечномерная алгебра Ли изоморфна подалгебре ${\mathfrak {gl}}_{V}$ для некоторого конечномерного векторного пространства V.

аффинный

1. Аффинная алгебра Ли — это особый тип алгебры Каца–Муди.

2. Аффинная группа Вейля .

аналитический

1. Аналитическая подгруппа

автоморфизм

1. Автоморфизмом алгебры Ли называется линейный автоморфизм, сохраняющий скобку.

Б

Б

1. (B, N) пара

Борель

1. Арман Борель (1923–2003), швейцарский математик.

2. Борелевская подгруппа .

3. Борелевская подалгебра — максимальная разрешимая подалгебра.

4. Теорема Бореля-Ботта-Вейля

Рвота

1. Разложение Брюа

С

Картан

1. Эли Картан (1869–1951), французский математик.

2. Картановская подалгебра. ${\mathfrak {h}}$ алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ является нильпотентной подалгеброй, удовлетворяющей $N_{\mathfrak {g}}({\mathfrak {h}})={\mathfrak {h}}$.

3. Критерий Картана разрешимости : алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ разрешимо тогда и только тогда, когда $\kappa ({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0$.

4. Критерий Картана полупростоты : (1) Если $\kappa (\cdot ,\cdot )$ невырожден, то ${\mathfrak {g}}$ является полупростым. (2) Если ${\mathfrak {g}}$ является полупростым, а основное поле $F$ имеет характеристику 0 , то $\kappa (\cdot ,\cdot )$ является невырожденным.

5. Матрица Картана корневой системы. $\Phi$ это матрица $(\langle \alpha _{i},\alpha _{j}\rangle )_{i,j=1}^{n}$, где $\Delta =\{\alpha _{1}\ldots \alpha _{n}\}$ представляет собой набор простых корней $\Phi$.

6. Картановская подгруппа

7. Разложение Картана

Казимир

Инвариант Казимира , выдающийся элемент универсальной обертывающей алгебры.

Коэффициенты Клебша – Гордана

Коэффициенты Клебша – Гордана

центр

2. Централизатор подмножества $X$ алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ является $C_{\mathfrak {g}}(X):=\{x\in {\mathfrak {g}}|[x,X]=\{0\}\}$.

центр

1. Центр группы Ли является центром группы.

2. Центр алгебры Ли является централизатором самой себя: $Z(L):=\{x\in {\mathfrak {g}}|[x,{\mathfrak {g}}]=0\}$

центральная серия

1. Нисходящий центральный ряд (или нижний центральный ряд) — это последовательность идеалов алгебры Ли. $L$ определяется $C^{0}(L)=L,\,C^{1}(L)=[L,L],\,C^{n+1}(L)=[L,C^{n}(L)]$

2. Возрастающий центральный ряд (или верхний центральный ряд) — это последовательность идеалов алгебры Ли. $L$ определяется $C_{0}(L)=\{0\},\,C_{1}(L)=Z(L)$ (центр L) , $C_{n+1}(L)=\pi _{n}^{-1}(Z(L/C_{n}(L)))$, где $\pi _{i}$ — естественный гомоморфизм $L\to L/C_{n}(L)$

Шевалле

1. Клод Шевалле (1909–1984), французский математик.

2. Базис Шевалле — это базис, построенный Клодом Шевалле, обладающий тем свойством, что все структурные константы являются целыми числами. Шевалле использовал эти базисы для построения аналогов групп Ли над конечными полями , называемых группами Шевалле .

комплексная группа отражений

комплексная группа отражений

корень

корень

Коксетер

1. Х.С.М. Коксетер (1907–2003), канадский геометр британского происхождения.

2. Группа Кокстера

3. Число Кокстера

Д

производная алгебра

1. Производная алгебра алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ является $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$. Это подалгебра (фактически идеал).

2. Производный ряд – это последовательность идеалов алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ полученные путем многократного взятия производных алгебр; то есть, $D^{0}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}},D^{n}{\mathfrak {g}}=D^{n-1}{\mathfrak {g}}$.

Дынкин

1. Евгений Борисович Дынкин (1924 – 2014), советский и американский математик.

2.  

Диаграммы Дынкина

Диаграммы Дынкина .

Э

расширение

Точная последовательность $0\to {\mathfrak {g}}'\to {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}''\to 0$ или ${\mathfrak {g}}$ называется алгебры Ли расширением ${\mathfrak {g}}''$ к ${\mathfrak {g}}'$.

экспоненциальная карта

Экспоненциальное отображение группы Ли G с ${\mathfrak {g}}$ это карта ${\mathfrak {g}}\to G$ который не обязательно является гомоморфизмом, но удовлетворяет некоторому универсальному свойству.

экспоненциальный

E6 , E7 , E7½ , E8 , En , Исключительная алгебра Ли

Ф

бесплатная алгебра Ли

Ф

F4

фундаментальный

О « фундаментальной камере Вейля » см. #Weyl .

Г

Г

G2

обобщенный

1. О « Обобщенной матрице Картана » см. #Cartan .

2. О « Обобщенной алгебре Каца – Муди » см. #Алгебра Каца – Муди .

3. Подробнее о « Обобщенном модуле Вермы » см. #Verma .

группа

Групповой анализ дифференциальных уравнений .

Х

гомоморфизм

1. Гомоморфизм группы Ли — это гомоморфизм группы, который также является гладким отображением.

2. Гомоморфизм алгебры Ли – это линейное отображение $\phi :{\mathfrak {g}}_{1}\to {\mathfrak {g}}_{2}$ такой, что $\phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\,\forall x,y\in {\mathfrak {g}}_{1}.$

Хариш-Чандра

1. Хариш-Чандра (1923–1983), американский математик и физик индийского происхождения.

2. Гомоморфизм Хариш-Чандры.

3. Изоморфизм Хариш-Чандры.

самый высокий

1. Теорема о старшем весе , гласящая, что старшие веса классифицируют неприводимые представления.

2. наибольший вес

3. модуль наибольшего веса

Я

идеальный

Идеал алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ это подпространство ${\mathfrak {g'}}$ такой, что $[{\mathfrak {g'}},{\mathfrak {g}}]\subseteq {\mathfrak {g'}}.$ В отличие от теории колец, здесь нет различимости левого идеала и правого идеала.

индекс

Индекс алгебры Ли

инвариантный выпуклый конус

Инвариантный выпуклый конус — это замкнутый выпуклый конус в алгебре Ли связной группы Ли, инвариантный относительно внутренних автоморфизмов.

Разложение Ивасавы

Разложение Ивасавы

Дж

Личность Якоби

1.  

Карл Густав Джейкоб Якоби

Карл Густав Якоб Якоби (1804–1851), немецкий математик.

2. Дана бинарная операция $[\cdot ,\,\cdot ]:V^{2}\to V$ гласит тождество Якоби : [[ x , y ], z ] + [[ y , z ], x ] + [[ z , x ], y ] = 0.

К

Алгебра Уэйка – Муди

Алгебра Уэйка – Муди

Убийство

1. Вильгельм Киллинг (1847 – 1923), немецкий математик.

2. Форма Киллинга на алгебре Ли. ${\mathfrak {g}}$ представляет собой симметричную, ассоциативную, билинейную форму, определяемую формулой $\kappa (x,y):={\textrm {Tr}}({\textrm {ad}}\,x\,{\textrm {ad}}\,y)\ \forall x,y\in {\mathfrak {g}}$.

Kirillov

Kirillov character formula

Л

Ленглендс

Разложение Ленглендса

Ленглендс двойной

Ложь

1.  

Софус Ли

Софус Ли (1842–1899), норвежский математик.

2. Группа Ли — это группа, имеющая совместимую структуру гладкого многообразия.

3. Алгебра Ли — векторное пространство. ${\mathfrak {g}}$ над полем $F$ с бинарной операцией [·, ·] (называемой скобкой Ли или сокращенно скобкой ), которая удовлетворяет следующим условиям: $\forall a,b\in F,x,y,z\in {\mathfrak {g}}$,

1. $[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z]$ ( билинейность )
2. $[x,x]=0$ ( поочередно )
3. $[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=0$ ( личность Якоби )

4. Соответствие группа Ли–алгебра Ли.

5. Теорема Ли

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — конечномерная комплексная разрешимая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики $0$, и пусть $V$ быть ненулевым представлением конечномерным ${\mathfrak {g}}$. Тогда существует элемент $V$ который является одновременным собственным вектором для всех элементов ${\mathfrak {g}}$.

6. Компактная группа Ли .

7. Полупростая группа Ли ; см . #полупростой .

Леви

Разложение Леви

Н

нильпотентный

1. Нильпотентная группа Ли .

2. Нильпотентная алгебра Ли — это алгебра Ли, нильпотентная как идеал; т. е. некоторая степень равна нулю: $[{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},\dots ,[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\dots ]]]=0$.

3. Нильпотентный элемент полупростой алгебры Ли. — элемент x такой, что присоединенный эндоморфизм $ad_{x}$ является нильпотентным эндоморфизмом.

4. Нильпотентный конус

нормализатор

Нормализатор подпространства $K$ алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ является $N_{\mathfrak {g}}(K):=\{x\in {\mathfrak {g}}|[x,K]\subseteq K\}$.

М

максимальный

1. О « максимальной компактной подгруппе » см. #compact .

2. О « максимальном торе » см. #torus .

П

параболический

1. Параболическая подгруппа

2. Параболическая подалгебра .

позитивный

О « положительном корне » см. #positive .

Вопрос

квантовый

квантовая группа .

квантованный

квантованная обертывающая алгебра .

Р

радикальный

1. Радикал группы Ли .

2. Радикал алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ является наибольшим (т.е. единственным максимальным) разрешимым идеалом ${\mathfrak {g}}$.

настоящий

реальная форма .

редуктивный

1. Редуктивная группа .

2. Редуктивная алгебра Ли .

отражение

Группа отражений , группа, порожденная отражениями.

обычный

1. Регулярный элемент алгебры Ли .

2. Правильный элемент относительно корневой системы.

Позволять $\Phi$ быть корневой системой. $\gamma \in E$ называется регулярным, если $(\gamma ,\alpha )\neq 0\,\forall \gamma \in \Phi$.

Для каждого набора простых корней $\Delta$ из $\Phi$, существует регулярный элемент $\gamma \in E$ такой, что $(\gamma ,\alpha )>0\,\forall \gamma \in \Delta$, и наоборот, для каждого регулярного $\gamma$ существует уникальный набор базовых корней $\Delta (\gamma )$ такое, что предыдущее условие выполняется для $\Delta =\Delta (\gamma )$. Его можно определить следующим образом: пусть $\Phi ^{+}(\gamma )=\{\alpha \in \Phi |(\alpha ,\gamma )>0\}$. Вызов элемента $\alpha$ из $\Phi ^{+}(\gamma )$ разложимый, если $\alpha =\alpha '+\alpha ''$ где $\alpha ',\alpha ''\in \Phi ^{+}(\gamma )$, затем $\Delta (\gamma )$ представляет собой совокупность всех неразложимых элементов $\Phi ^{+}(\gamma )$

корень

1. корень полупростой алгебры Ли :

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — полупростая алгебра Ли, ${\mathfrak {h}}$ быть подалгеброй Картана ${\mathfrak {g}}$. Для $\alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}$, позволять ${\mathfrak {g_{\alpha }}}:=\{x\in {\mathfrak {g}}|[h,x]=\alpha (h)x\,\forall h\in {\mathfrak {h}}\}$. $\alpha$ называется корнем ${\mathfrak {g}}$ если оно ненулевое и ${\mathfrak {g_{\alpha }}}\neq \{0\}$

Множество всех корней обозначается $\Phi$ ; он образует корневую систему.

2. Корневая система

Подмножество $\Phi$ евклидова пространства $E$ называется корневой системой, если она удовлетворяет следующим условиям:

• $\Phi$ конечно, ${\textrm {span}}(\Phi )=E$ и $0\notin \Phi$.
• Для всех $\alpha \in \Phi$ и $c\in \mathbb {R}$, $c\alpha \in \Phi$ если только $c=\pm 1$.
• Для всех $\alpha ,\beta \in \Phi$, $\langle \alpha ,\beta \rangle$ является целым числом.
• Для всех $\alpha ,\beta \in \Phi$, $S_{\alpha }(\beta )\in \Phi$, где $S_{\alpha }$ – отражение через гиперплоскость, нормальную к $\alpha$, то есть $S_{\alpha }(x)=x-\langle x,\alpha \rangle \alpha$.

3. Корневая дата

4. Положительный корень корневой системы $\Phi$ относительно множества простых корней $\Delta$ является корнем $\Phi$ который представляет собой линейную комбинацию элементов $\Delta$ с неотрицательными коэффициентами.

5. Отрицательный корень корневой системы. $\Phi$ относительно множества простых корней $\Delta$ является корнем $\Phi$ который представляет собой линейную комбинацию элементов $\Delta$ с неположительными коэффициентами.

6. длинный корень

7. короткий корень

8. обратная корневая система: дана корневая система. $\Phi$. Определять $\alpha ^{v}={\frac {2\alpha }{(\alpha ,\alpha )}}$, $\Phi ^{v}=\{\alpha ^{v}|\alpha \in \Phi \}$ называется обратной корневой системой.

$\Phi ^{v}$ снова является корневой системой и имеет ту же группу Вейля, что и $\Phi$.

9. основание корневой системы: синоним «набора простых корней».

10. двойная корневая система: синоним слова «обратная корневая система».

С

Тугой

Теорема Серра утверждает, что для (конечной приведенной) корневой системы $\Phi$, существует единственная (с точностью до выбора базы) полупростая алгебра Ли, корневая система которой есть $\Phi$.

простой

1. Простая группа Ли — это связная группа Ли, не являющаяся абелевой и не имеющая нетривиальных связных нормальных подгрупп.

2. Простая алгебра Ли — это алгебра Ли, которая не является абелевой и имеет только два идеала: саму себя и $\{0\}$.

3. просто переплетенная группа (простая группа Ли называется просто переплетенной, если ее диаграмма Дынкина не имеет кратных ребер).

4. простой корень . Подмножество $\Delta$ корневой системы $\Phi$ называется множеством простых корней, если оно удовлетворяет следующим условиям:

• $\Delta$ является линейным базисом $E$.
• Каждый элемент $\Phi$ представляет собой линейную комбинацию элементов $\Delta$ с коэффициентами, которые либо все неотрицательны, либо все неположительны.

5. Классификация простых алгебр Ли.

Классические алгебры Ли :

Специальная линейная алгебра	$A_{l}\ (l\geq 1)$	$l^{2}+2l$	${\mathfrak {sl}}(l+1,F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(l+1,F)|Tr(x)=0\}$ ( бесследовые матрицы)
Ортогональная алгебра	$B_{l}\ (l\geq 1)$	$2l^{2}+l$	${\mathfrak {o}}(2l+1,F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2l+1,F)|sx=-x^{t}s,s={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&I_{l}\\0&I_{l}&0\end{pmatrix}}\}$
Симплектическая алгебра	$C_{l}\ (l\geq 2)$	$2l^{2}-l$	${\mathfrak {sp}}(2l,F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2l,F)|sx=-x^{t}s,s={\begin{pmatrix}0&I_{l}\\-I_{l}&0\end{pmatrix}}\}$
Ортогональная алгебра	$D_{l}(l\geq 1)$	$2l^{2}+l$	${\mathfrak {o}}(2l,F)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2l,F)|sx=-x^{t}s,s={\begin{pmatrix}0&I_{l}\\I_{l}&0\end{pmatrix}}\}$

Исключительные алгебры Ли :

Корневая система	измерение
Г 2	14
FF4	52
EЕ6	78
E 7	133
E8	248

полупростой

1. Полупростая группа Ли.

2. Полупростая алгебра Ли — это ненулевая алгебра Ли, не имеющая ненулевого абелева идеала.

3. В полупростой алгебре Ли элемент полупрост, если его образ при присоединенном представлении полупрост; см. полупростую алгебру Ли # разложение Джордана .

разрешимый

1. Разрешимая группа Ли.

2. Разрешимая алгебра Ли – это алгебра Ли. ${\mathfrak {g}}$ такой, что $D^{n}{\mathfrak {g}}=0$ для некоторых $n\geq 0$; где $D{\mathfrak {g}}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ обозначает производную алгебру ${\mathfrak {g}}$.

расколоть

Штифель

Диаграмма Стифеля компактной связной группы Ли.

подалгебра

Подпространство ${\mathfrak {g'}}$ алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ называется подалгеброй ${\mathfrak {g}}$ если он закрыт скобкой, т.е. $[{\mathfrak {g'}},{\mathfrak {g'}}]\subseteq {\mathfrak {g'}}.$

Т

Сиськи

Конус сисек .

торальный

1. торическая алгебра Ли

2. максимальная торическая подалгебра

У

• Унитарный трюк

V

• Модуль Верма

В

Вейль

1. Герман Вейль (1885 – 1955), немецкий математик.

2. Камера Вейля — это одна из связных компонент дополнения в V — вещественном векторном пространстве, на котором определена система корней, когда удалены гиперплоскости, ортогональные корневым векторам.

3. Формула характера Вейля дает в замкнутой форме характеры неприводимых комплексных представлений простых групп Ли.

4. Группа Вейля : группа Вейля корневой системы. $\Phi$ есть (обязательно конечная) группа ортогональных линейных преобразований $E$ который порождается отражениями через гиперплоскости, нормальные к корням $\Phi$

Ссылки

• Бурбаки, Н. (1981), Группы и алгебры Ли , Элементы математики, Герман
• Эрдманн, Карин и Уилдон, Марк. Введение в алгебры Ли , 1-е издание, Springer, 2006. ISBN   1-84628-040-0
• Хамфрис, Джеймс Э. Введение в алгебры Ли и теорию представлений , второе издание, исправленное. Тексты для выпускников по математике, 9. Springer-Verlag, Нью-Йорк, 1978. ISBN   0-387-90053-5
• Джейкобсон, Натан , Алгебры Ли , Переиздание оригинала 1962 года. Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1979. ISBN   0-486-63832-4
• Кац, Виктор (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-46693-8 .
• Клаудио Процесси (2007) Группы Ли: подход через инварианты и представление , Спрингер, ISBN   9780387260402 .
• Серр, Жан-Пьер (2000), полупростые Комплексные алгебры Ли , перевод Джонса, Джорджия, Спрингер, ISBN  978-3-540-67827-4 .
• Ж.-П. Серр, «Алгебры Ли и группы Ли», Бенджамин (1965) (перевод с французского)