Корневая дата

В математической теории групп корневые данные связной расщепленной редуктивной алгебраической группы над полем являются обобщением системы корней , определяющей группу с точностью до изоморфизма. Они были представлены Мишелем Демазюром в SGA III , опубликованном в 1970 году.

Определение

состоит Корневая база из четверки

(X^{\ast },\Phi ,X_{\ast },\Phi ^{\vee })

,

где

$X^{\ast }$ и $X_{\ast }$ являются свободными абелевыми группами конечного ранга вместе с идеальным спариванием между ними со значениями в $\mathbb {Z}$ которые мы обозначим через ( , ) (другими словами, каждый отождествляется с двойственным к другому).
$\Phi$ является конечным подмножеством $X^{\ast }$ и $\Phi ^{\vee }$ является конечным подмножеством $X_{\ast }$ и существует биекция из $\Phi$ на $\Phi ^{\vee }$ , обозначенный $\alpha \mapsto \alpha ^{\vee }$ .
Для каждого $\alpha$ , $(\alpha ,\alpha ^{\vee })=2$ .
Для каждого $\alpha$ , карта $x\mapsto x-(x,\alpha ^{\vee })\alpha$ индуцирует автоморфизм корневых данных (другими словами, он отображает $\Phi$ к $\Phi$ и индуцированное действие на $X_{\ast }$ карты $\Phi ^{\vee }$ к $\Phi ^{\vee }$ )

Элементы $\Phi$ называются корнями корневых данных, а элементы $\Phi ^{\vee }$ называются кокорнями .

Если $\Phi$ не содержит $2\alpha$ для любого $\alpha \in \Phi$ , то корневая база называется приведенной .

Корневые данные алгебраической группы

Если $G$ — редуктивная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем $K$ с расщепленным максимальным тором $T$ тогда его корневая база равна четверке

(X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })

,

где

$X^{*}$ – решетка характеров максимального тора,
$X_{*}$ - двойственная решетка (задаваемая 1-параметрическими подгруппами),
$\Phi$ представляет собой набор корней,
$\Phi ^{\vee }$ — соответствующий набор кокорней.

Связная расщепленная редуктивная алгебраическая группа над $K$ однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется своим корневым элементом данных, который всегда редуцируется. И наоборот, для любых корневых данных существует редуктивная алгебраическая группа. Корневая база данных содержит немного больше информации, чем диаграмма Дынкина , поскольку она также определяет центр группы.

Для любой корневой базы $(X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })$ , мы можем определить двойную корневую датум $(X_{*},\Phi ^{\vee },X^{*},\Phi )$ переключая символы с помощью подгрупп с 1 параметром и переключая корни с помощью кокорней.

Если $G$ — связная редуктивная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем $K$ , то это двойственная группа Ленглендса ${}^{L}G$ - это комплексная связная редуктивная группа, корневая информация которой двойственна исходной базе $G$ .

Ссылки