Двойная группа Ленглендса

Не путать с группой Ленглендса .

В теории представлений , разделе математики, двойственный Ленглендсу ^л G редуктивной алгебраической группы G (также называемой L -группой G ) — это группа, которая управляет теорией G. представлений Если G определен над полем k , то ^л G является расширением абсолютной группы Галуа поля k комплексной группой Ли . Существует также вариант, называемый формой Вейля L -группы , где группа Галуа заменяется группой Вейля . Здесь буква L в названии также указывает на связь с теорией L-функций , в частности автоморфных L-функций. Двойственность Ленглендса была введена Ленглендсом (1967) в письме к А. Вейлю .

L - группа широко используется в гипотезах Ленглендса Роберта Ленглендса . Он используется для точных утверждений на основе идей о том, что автоморфные формы в некотором смысле функториальны в группе G , когда k — глобальное поле . Автоморфные формы и представления функториальны не в точности G , а в отношении ^л Г . В этом есть смысл многих явлений, таких как «подъем» форм из одной группы в другую, более крупную, а также тот общий факт, что некоторые группы, которые становятся изоморфными после расширения полей, имеют соответствующие автоморфные представления.

Определение раздельно замкнутых полей

Из редуктивной алгебраической группы над сепарабельно замкнутым полем K можно построить ее корневые данные ( X ^* , Д, Х _* , Д ^v ), где Х ^* — решетка характеров максимального тора, X _{* —} двойственная решетка (задаваемая 1-параметрическими подгруппами), ∆ — корни, ∆ ^v корешки. Связная редуктивная алгебраическая группа над K однозначно (с точностью до изоморфизма) определяется своими корневыми данными. Корневая база данных содержит немного больше информации, чем диаграмма Дынкина , поскольку она также определяет центр группы.

Для любой корневой базы ( X ^* , Д, Х _* , Д ^v ), мы можем определить двойную корневую датум ( X _* , Δ ^v , Х ^* , Δ) путем переключения символов с 1-параметрическими подгруппами и переключения корней с кокорнями.

Если G — связная редуктивная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем K , то ее двойственная по Ленглендсу группа ^л G корневые данные которой двойственны корневым данным G. — комплексная связная редуктивная группа ,

Примеры :Двойная группа Ленглендса ^л G имеет ту же диаграмму Дынкина, что и G , за исключением того, что компоненты типа B _n заменяются компонентами типа C _n и наоборот. Если G имеет тривиальный центр, то ^л G односвязен, а если G односвязен, то ^л G имеет тривиальный центр. Двойственным по Ленглендсу к GL _n ( K ) является GL _n ( C ).

Определение групп по более общим полям

Предположим теперь, что G — редуктивная группа над некоторым полем k с сепарабельным K. замыканием Над K имеет корневой элемент данных , G и это происходит с действием группы Галуа Gal ( K / k ). Компонент идентичности ^л Г ^тот -группы L — связная комплексная редуктивная группа двойственного корневого элемента; это имеет индуцированное действие группы Галуа Gal ( K / k ). Полная L -группа ^л G - полупрямой продукт

^л Г = ^л Г ^тот × Гал ( К / к )

компонента связности с группой Галуа.

Существуют некоторые варианты определения L -группы, а именно:

• Вместо использования полной группы Галуа Gal ( K / k ) сепарабельного замыкания можно просто использовать группу Галуа конечного расширения, по которому G расщепляется. Соответствующее полупрямое произведение тогда имеет лишь конечное число компонент и является комплексной группой Ли.
• Предположим, что k — локальное, глобальное или конечное поле. Вместо использования абсолютной группы Галуа k можно использовать абсолютную группу Вейля , которая имеет естественное отображение в группу Галуа и, следовательно, также действует на корневые данные. Соответствующее полупрямое произведение называется формой Вейля L -группы .
• Для алгебраических групп G над конечными полями Делинь и Люстиг ввели другую двойственную группу. Как и раньше, G дает корневые данные с действием абсолютной группы Галуа конечного поля. Двойственная группа G ^* тогда является редуктивной алгебраической группой над конечным полем, связанным с двойственным корневым данным с индуцированным действием группы Галуа. (Эта двойственная группа определена над конечным полем, а компонент двойственной группы Ленглендса определен над комплексными числами.)

Приложения

очень Гипотезы Ленглендса грубо подразумевают, что если G — редуктивная алгебраическая группа над локальным или глобальным полем, то существует соответствие между «хорошими» представлениями G и гомоморфизмами группы Галуа (или группы Вейля или группы Ленглендса ) в группа Ленглендса, двойственная группе G . Более общая формулировка гипотез - это функториальность Ленглендса , которая говорит (грубо), что при (хорошем поведении) гомоморфизме между дуальными группами Ленглендса должно существовать индуцированное отображение между «хорошими» представлениями соответствующих групп.

Чтобы сделать эту теорию явной, необходимо определить понятие L -гомоморфизма одной L -группы в другую. То есть L -группы должны быть превращены в категорию , чтобы «функториальность» имела смысл. Определение комплексных групп Ли такое, как и ожидалось, но L -гомоморфизмы должны находиться «над» группой Вейля.

Ссылки

• А. Борель , Автоморфные L-функции , в автоморфных формах, представлениях и L-функциях , ISBN   0-8218-1437-0
• Ленглендс, Р. (1967), письмо А. Вейлю
• Миркович И.; Вилонен, К. (2007), «Геометрическая двойственность Ленглендса и представления алгебраических групп над коммутативными кольцами», Annals of Mathematics , Second Series, 166 (1): 95–143, arXiv : math/0401222 , doi : 10.4007/annals. 2007.166.95 , ISSN   0003-486X , MR   2342692 двойственную группу G в терминах геометрии грассманиана G. описывает аффинного