Расширение алгебры Ли

В теории групп Ли , алгебр Ли и теории их представлений расширение алгебры Ли e является расширением данной алгебры Ли g другой алгеброй Ли h . Расширения возникают несколькими способами. Существует тривиальное расширение , полученное взятием прямой суммы двух алгебр Ли. Другими типами являются разделенное расширение и центральное расширение . Расширения могут возникать естественным путем, например, при формировании алгебры Ли из представлений проективных групп . Такая алгебра Ли будет содержать центральные заряды .

Начав с алгебры полиномиальных петель над конечномерной простой алгеброй Ли и выполнив два расширения, центральное расширение и расширение посредством дифференцирования, можно получить алгебру Ли, которая изоморфна раскрученной аффинной алгебре Каца – Муди . Используя центрально расширенную алгебру петель, можно построить алгебру токов в двух измерениях пространства-времени. Алгебра Вирасоро — универсальное центральное расширение алгебры Витта .

Центральные расширения необходимы в физике, потому что группа симметрии квантованной системы обычно является центральным расширением классической группы симметрии, и точно так же соответствующая алгебра Ли симметрии квантовой системы, вообще говоря, является центральным расширением группы симметрии квантовой системы. классическая алгебра симметрий. Было высказано предположение, что алгебры Каца – Муди являются группами симметрии единой теории суперструн. Центрально-расширенные алгебры Ли играют доминирующую роль в квантовой теории поля , особенно в конформной теории поля , теории струн и в М-теории .

Большая часть книги в конце посвящена справочному материалу по применению расширений алгебры Ли как в математике, так и в физике, в тех областях, где они действительно полезны. Ссылка в скобках ( справочный материал ) предоставляется там, где это может быть полезно.

История

Благодаря лиевскому соответствию теория, а следовательно, и история расширений алгебры Ли тесно связана с теорией и историей групповых расширений. Систематическое исследование расширений групп было проведено австрийским математиком Отто Шрайером в 1923 году в его докторской диссертации, а затем опубликовано. Задача, поставленная Отто Гёлдером для своей диссертации , заключалась в том, чтобы «данные две группы G и H найти все группы E , имеющие нормальную подгруппу N , изоморфную G, такую, что фактор-группа E / N изоморфна H ».

Расширения алгебры Ли наиболее интересны и полезны для бесконечномерных алгебр Ли. В 1967 году Виктор Кац и Роберт Муди независимо обобщили понятие классических алгебр Ли, в результате чего была создана новая теория бесконечномерных алгебр Ли, которые теперь называются алгебрами Каца – Муди . Они обобщают конечномерные простые алгебры Ли и часто могут быть конкретно построены как расширения.

Обозначения и доказательства

Злоупотребления обозначениями, которые можно найти ниже, включают e ^Икс для экспоненциального отображения exp с заданным аргументом, записывая g для элемента ( g , e _H ) в прямом произведении G × H ( e _H — тождество в H ), и аналогично для прямых сумм алгебры Ли (где также g + h и ( g , h ) используются взаимозаменяемо). Аналогично для полупрямых произведений и полупрямых сумм. Канонические инъекции (как для групп, так и для алгебр Ли) используются для неявной идентификации. Более того, если G , H ,..., являются группами, то имена по умолчанию для элементов G , H ,..., являются g , h ,..., а их алгебры Ли - g , h ,... . Имена по умолчанию для элементов g , h , ... — G , H , ... (как и для групп!), отчасти для экономии скудных алфавитных ресурсов, но в основном для единообразия обозначений.

Алгебры Ли, являющиеся ингредиентами расширения, без комментариев будут считаться расположенными над тем же полем .

Применяется соглашение о суммировании , в том числе иногда, когда задействованные индексы находятся как наверху, так и оба внизу.

Предостережение: не все доказательства и схемы доказательств, приведенные ниже, имеют универсальную достоверность. Основная причина в том, что алгебры Ли часто бесконечномерны, и тогда может существовать или не быть группа Ли, соответствующая алгебре Ли. Более того, даже если такая группа существует, она может не обладать «обычными» свойствами, например, экспоненциальное отображение может не существовать, а если и существует, то оно может не обладать всеми «обычными» свойствами. В таких случаях сомнительно, следует ли наделять группу квалификатором «Ложь». Литература неоднородна. Для явных примеров предположительно имеются соответствующие структуры.

Определение

Расширения алгебры Ли формализуются в терминах коротких точных последовательностей . Короткая точная последовательность — это точная последовательность длины три,

${\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},$ ( 1 )

такой, что i — мономорфизм , s — эпиморфизм и ker s = im i . Из этих свойств точных последовательностей следует, что (образ) ${\mathfrak {h}}$ является идеалом в ${\mathfrak {e}}$. Более того,

${\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {e}}/\operatorname {Im} i={\mathfrak {e}}/\operatorname {Ker} s,$

но это не обязательно так ${\mathfrak {g}}$ изоморфна подалгебре ${\mathfrak {e}}$. Эта конструкция отражает аналогичные конструкции в близком понятии групповых расширений .

Если ситуация в (1) преобладает, что нетривиально и для алгебр Ли над одним и тем же полем , то говорят, что ${\mathfrak {e}}$ является продолжением ${\mathfrak {g}}$ к ${\mathfrak {h}}$.

Свойства

Определяющее свойство может быть переформулировано. Алгебра Ли ${\mathfrak {e}}$ является продолжением ${\mathfrak {g}}$ к ${\mathfrak {h}}$ если

$0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0$ ( 2 )

это точно. Здесь нули на концах представляют нулевую алгебру Ли (содержащую только нулевой вектор 0 ), а отображения очевидны; $\iota$ отображает от 0 до 0 и $\sigma$ отображает все элементы ${\mathfrak {g}}$до 0 . Из этого определения автоматически следует, что i — мономорфизм, а s — эпиморфизм.

Расширение ${\mathfrak {g}}$ к ${\mathfrak {h}}$не обязательно является уникальным. Позволять ${\mathfrak {e}},{\mathfrak {e}}'$обозначаем два расширения, и пусть приведенные ниже простые числа имеют очевидную интерпретацию. Тогда, если существует изоморфизм алгебры Ли $f\colon {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {e}}'$ такой, что

$f\circ i=i',\quad s'\circ f=s,$

затем расширения ${\mathfrak {e}}$ и ${\mathfrak {e}}'$называются эквивалентными расширениями . Эквивалентность расширений — это отношение эквивалентности .

Типы расширений

Тривиально

Расширение алгебры Ли

${\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {t}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},$

тривиально, если существует подпространство i такое, что t = i ⊕ ker s и i — идеал в t .

Сплит

Расширение алгебры Ли

${\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {s}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},$

расщепляется , если существует подпространство u такое, что s = u ⊕ ker s как векторное пространство и u — подалгебра в s .

Идеал — это подалгебра, но подалгебра не обязательно является идеалом. Таким образом, тривиальное расширение является расщепленным расширением.

Центральный

Центральные расширения алгебры Ли g абелевой алгеброй Ли e можно получить с помощью так называемого (нетривиального) 2-коцикла ( фона ) на g . Нетривиальные 2-коциклы встречаются в контексте проективных представлений ( фоновых ) групп Ли. Об этом говорится ниже.

Расширение алгебры Ли

${\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}},$

является центральным расширением если ker s содержится в центре Z ( e ) e , .

Характеристики

• Поскольку центр коммутирует со всем, h ≅ im i = ker s в этом случае абелев .
• Учитывая центральное расширение e группы g , можно построить 2-коцикл на g . Предположим, e — центральное расширение g с помощью h . Пусть l — линейное отображение g в e обладающее тем свойством, что s ∘ l = Id _g , т. е. l — сечение s , . Используйте этот раздел, чтобы определить ε : g × g → e по формуле

$\epsilon (G_{1},G_{2})=l([G_{1},G_{2}])-[l(G_{1}),l(G_{2})],\quad G_{1},G_{2}\in {\mathfrak {g}}.$

Отображение ε удовлетворяет

$\epsilon (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\epsilon (G_{2},[G_{3},G_{1}])+\epsilon (G_{3},[G_{1},G_{2}])=0\in {\mathfrak {e}}.$

Чтобы убедиться в этом, используйте определение ε в левой части, а затем используйте линейность l . Используйте тождество Якоби на g , чтобы избавиться от половины из шести членов. Снова используйте определение ε для термов l ([ Gi _, находящихся Gj _] ), внутри трех скобок Ли, билинейности скобок Ли и тождества Якоби для e , а затем, наконец, примените к трем оставшимся терминам, что Im ε ⊂ ker s и что ker s ⊂ Z ( e ) так что ε ( Gi _, , Gj ₎ . приравнивается к нулю со всем Отсюда следует, что φ = i ⁻¹ ∘ ε удовлетворяет соответствующему соотношению, и если h, кроме того, одномерен, то φ является 2-коциклом на g (благодаря тривиальному соотношению h с основным полем).

Центральное расширение

$0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}\;{\overset {i}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}\;{\overset {s}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0$

универсален , если для любого другого центрального расширения

$0\;{\overset {\iota }{\hookrightarrow }}{\mathfrak {h}}'\;{\overset {i'}{\hookrightarrow }}\;{\mathfrak {e}}'\;{\overset {s'}{\twoheadrightarrow }}\;{\mathfrak {g}}\;{\overset {\sigma }{\twoheadrightarrow }}\;0$

существуют уникальные гомоморфизмы $\Phi :{\mathfrak {e}}\to {\mathfrak {e}}'$ и $\Psi :{\mathfrak {h}}\to {\mathfrak {h}}'$ такая, что диаграмма

коммутирует, т. е. i ' ∘ Ψ = Φ ∘ i и s ' ∘ Φ = s . В силу универсальности нетрудно заключить, что такие универсальные центральные расширения единственны с точностью до изоморфизма.

Строительство

прямой суммой

Позволять ${\mathfrak {g}}$, ${\mathfrak {h}}$ — алгебры Ли над одним и тем же полем $F$. Определять

${\mathfrak {e}}={\mathfrak {h}}\times {\mathfrak {g}},$

и определим сложение поточечно на ${\mathfrak {e}}$. Скалярное умножение определяется формулой

$\alpha (H,G)=(\alpha H,\alpha G),\alpha \in F,H\in {\mathfrak {h}},G\in {\mathfrak {g}}.$

Используя эти определения, ${\mathfrak {h}}\times {\mathfrak {g}}\equiv {\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}$ является векторным пространством над $F$. С помощью скобки Лия:

$[(H_{1},G_{1}),(H_{2},G_{2})]=([H_{1},H_{2}],[G_{1},G_{2}]),$ ( 3 )

${\mathfrak {e}}$является алгеброй Ли. Определить дальше

$i:{\mathfrak {h}}\hookrightarrow {\mathfrak {e}};H\mapsto (H,0),\quad s:{\mathfrak {e}}\twoheadrightarrow {\mathfrak {g}};(H,G)\mapsto G.$

Ясно, что (1) выполняется как точная последовательность. Это расширение ${\mathfrak {g}}$ к ${\mathfrak {h}}$называется тривиальным расширением . Это, конечно, не что иное, как прямая сумма алгебры Ли. В силу симметрии определений ${\mathfrak {e}}$ является продолжением ${\mathfrak {h}}$ к ${\mathfrak {g}}$ тоже, но ${\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}\neq {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$. ясно Из (3) , что подалгебра $0\oplus {\mathfrak {g}}$является идеалом (алгеброй Ли) . Это свойство прямой суммы алгебр Ли доведено до определения тривиального расширения.

Полупрямой суммой

Вдохновленный конструкцией полупрямого произведения ( фона ) групп с использованием гомоморфизма G → Aut( H ) , можно сделать соответствующую конструкцию для алгебр Ли.

Если ψ : g → Der h — гомоморфизм алгебры Ли, то определим скобку Ли на ${\mathfrak {e}}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}$ к

$[(H,G),(H',G')]=([H,H']+\psi _{G}(H')-\psi _{G'}(H),[G,G']),\quad H,H'\in {\mathfrak {h}},G,G'\in {\mathfrak {g}}.$ ( 7 )

С помощью этой скобки Ли полученная таким образом алгебра Ли обозначается e = h ⊕ _S g и называется полупрямой суммой h и g .

Анализируя (7), можно увидеть, что 0 ⊕ g — подалгебра в e , а h ⊕ 0 — идеал в e . Определим i : h → e как H ↦ H ⊕ 0 и s : e → g как H ⊕ G ↦ G , H ∈ h , G ∈ g . Ясно, что ker s = im i . Таким образом, e является расширением g с помощью h в алгебре Ли .

Как и в случае с тривиальным расширением, это свойство обобщается до определения расщепляемого расширения.

Пример
Пусть G — группа Лоренца O(3, 1) и пусть T обозначает группу сдвигов в 4 измерениях, изоморфную ( $\mathbb {R} ^{4}$, +) и рассмотрим правило умножения группы Пуанкаре P

$(a_{2},\Lambda _{2})(a_{1},\Lambda _{1})=(a_{2}+\Lambda _{2}a_{1},\Lambda _{2}\Lambda _{1}),\quad a_{1},a_{2}\in \mathrm {T} \subset \mathrm {P} ,\Lambda _{1},\Lambda _{2}\in \mathrm {O} (3,1)\subset \mathrm {P} ,$

(где T и O(3, 1) отождествляются со своими изображениями в P ). Отсюда сразу следует, что в группе Пуанкаре (0, Λ)( a , I )(0, Λ ⁻¹ ) знак равно (Λ а , я ) ∈ Т ⊂ п . Таким образом, каждое преобразование Лоренца Λ соответствует автоморфизму Φ _Λ группы T с обратным Φ _{Λ ⁻¹} и Φ, очевидно, является гомоморфизмом. Теперь определите

${\overline {\mathrm {P} }}=\mathrm {T} \otimes _{S}\mathrm {O} (3,1),$

наделенный умножением, заданным (4) . Раскрывая определения, мы обнаруживаем, что умножение такое же, как и умножение, с которого мы начали, и отсюда следует, что P = P . Из (5') следует, что Ψ _Λ = Ad _Λ , а затем из (6') следует, что ψ _λ = ad _λ . λ ∈ о (3, 1) .

По производному

Пусть δ — дифференцирование ( фон ) h и обозначает через g одномерную алгебру Ли, натянутую на δ . Определим скобку Ли на e = g ⊕ h формулой

$[G_{1}+H_{1},G_{2}+H_{2}]=[\lambda \delta +H_{1},\mu \delta +H_{2}]=[H_{1},H_{2}]+\lambda \delta (H_{1})-\mu \delta (H_{2}).$

Из определения скобки очевидно, что h является идеалом в e in и что g является подалгеброй e . Более того, g дополнителен к h в e . Пусть i : h → e задано как H ↦ (0, H ) , а s : e → g как ( G , H ↦ G. ) Ясно, что im i = ker s . Таким образом, e является разделенным расширением g с помощью h . Такое расширение называется расширением путем вывода .

Если ψ : g → der h определяется формулой ψ ( µδ )( H ) = µδ ( H ) , то ψ является гомоморфизмом алгебры Ли в der h . Следовательно, эта конструкция является частным случаем полупрямой суммы, поскольку, начиная с ψ и используя конструкцию из предыдущего раздела, получаются те же самые скобки Ли.

По 2-коциклу

Если ε — 2-коцикл ( фон ) на алгебре Ли g , а h — любое одномерное векторное пространство, пусть e = h ⊕ g (прямая сумма векторного пространства) и определим скобку Ли на e формулой

$[\mu H+G_{1},\nu H+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\epsilon (G_{1},G_{2})H,\quad \mu ,\nu \in F.$

Здесь H — произвольный, но фиксированный элемент h . Антисимметрия следует из антисимметрии скобки Ли на g и антисимметрии 2-коцикла. Тождество Якоби следует из соответствующих свойств g и ε . Таким образом, e — алгебра Ли. Положим G1 _, = 0 и тогда µH ∈ Z ( e ) . Кроме того, если i : µH ↦ ( µH , 0) и s : ( µH , G ) ↦ G , то Im i = ker s = {( µH , 0): µ ∈ F } ⊂ Z( e ) . Следовательно, e является центральным расширением g посредством h . Это называется расширением на 2-коцикл .

Теоремы

Ниже приведены некоторые результаты, касающиеся центральных расширений и 2-коциклов.

Теорема
Пусть φ ₁ и φ ₂ — когомологичные 2-коциклы на алгебре Ли g , и пусть e ₁ и e ₂ — соответственно центральные расширения, построенные с помощью этих 2-коциклов. Тогда центральные расширения e1 _e2 и . _{являются} эквивалентными расширениями
Доказательство
По определению, φ ₂ = φ ₁ + δf . Определять

$\psi :G+\mu c\in {\mathfrak {e}}_{1}\mapsto G+\mu c+f(G)c\in {\mathfrak {e}}_{2}.$

Из определений следует, что ψ — изоморфизм алгебры Ли и выполнено (2) .

Следствие
Класс когомологий [ Φ ] ∈ H ² ( g , F ) определяет центральное расширение g , единственное с точностью до изоморфизма.

Тривиальный 2-коцикл дает тривиальное расширение, и поскольку 2-кограница когомологична тривиальному 2-коциклу, имеем
Следствие
Центральное расширение, определенное кограницей, эквивалентно тривиальному центральному расширению.

Теорема
Конечномерная простая алгебра Ли имеет только тривиальные центральные расширения.
Доказательство
Поскольку каждое центральное расширение происходит из 2-коцикла φ , достаточно показать, что каждый 2-коцикл является кограницей. Предположим, что φ — 2-коцикл на g . Задача состоит в том, чтобы использовать этот 2-коцикл для создания 1-коцепи f такой, что φ = δf .

Первый шаг — для каждого G ₁ ∈ g использовать φ для определения линейного отображения ρ _{G 1} : g → F по формуле $\rho _{G_{1}}(G_{2})\equiv \varphi (G_{1},G_{2})$. Эти линейные отображения являются элементами g ^∗ . Пусть ν : g ^∗ → g — изоморфизм векторного пространства, связанный с невырожденной формой Киллинга K , и определим линейное отображение d : g → g по формуле $d(G_{1})\equiv \nu (\rho _{G_{1}})$. Это оказывается выводом (доказательство см. ниже). Поскольку для полупростых алгебр Ли все дифференцирования внутренние, то d = ad _{G d} для некоторого G _d ∈ g . Затем

$\varphi (G_{1},G_{2})\equiv \rho _{G_{1}}(G_{2})=K(\nu (\rho _{G_{1}}),G_{2})\equiv K(d(G_{1}),G_{2})=K(\mathrm {ad} _{G_{d}}(G_{1}),G_{2})=K([G_{d},G_{1}],G_{2})=K(G_{d},[G_{1},G_{2}]).$

Пусть f — 1-коцепь, определенная формулой

$f(G)=K(G_{d},G).$

Затем

$\delta f(G_{1},G_{2})=f([G_{1},G_{2}])=K(G_{d},[G_{1},G_{2}])=\varphi (G_{1},G_{2}),$

показывая, что φ является кограницей.

показывать

Доказательство того, что d является выводом

To verify that d actually is a derivation, first note that it is linear since ν is, then compute

${\begin{aligned}K(d([G_{1},G_{2}]),G_{3}))&=\varphi ([G_{1},G_{2}]),G_{3}))=\varphi (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\varphi (G_{2},[G_{3},G_{1}])\\&=K(d(G_{1}),[G_{2},G_{3}])+K(d(G_{1}),(G_{3},G_{1}))=K([d(G_{1}),G_{2}],G_{3})+K([G_{1},d(G_{2})],G_{3}))\\&=K([d(G_{1}),G_{2}]+[G_{1},d(G_{2})],G_{3}).\end{aligned}}$

By appeal to the non-degeneracy of K, the left arguments of K are equal on the far left and far right.

Наблюдение о том, что можно определить дифференцирование d по симметричной невырожденной ассоциативной форме K и 2-коциклу φ по формуле

$K(\nu (\rho _{G_{1}}),G_{2})\equiv K(d(G_{1}),G_{2}),$

или используя симметрию K и антисимметрию φ ,

$K(d(G_{1}),G_{2})=-K(G_{1},d(G_{2})),$

приводит к следствию.

Следствие
Пусть L:' g × g : → F — невырожденная симметричная ассоциативная билинейная форма и d — дифференцирование, удовлетворяющее

$L(d(G_{1}),G_{2})=-L(G_{1},d(G_{2})),$

тогда φ определяется формулой

$\varphi (G_{1},G_{2})=L(d(G_{1}),G_{2})$

является 2-коциклом.

Доказательство Условие на d обеспечивает антисимметрию φ . Тождество Якоби для 2-коциклов следует, начиная с

$\varphi ([G1,G_{2}],G_{3})=L(d[G1,G_{2}],G_{3})=L([d(G1),G_{2}],G_{3})+L([G1,d(G_{2})],G_{3}),$

используя симметрию формы, антисимметрию скобки и еще раз определение φ через L .

Если g — алгебра Ли группы Ли G , а e — центральное расширение g , можно спросить, существует ли группа Ли E с алгеброй Ли e . Ответ по третьей теореме Ли положительный. Но существует ли центральное расширение E группы G с алгеброй Ли e ? Ответ на этот вопрос требует некоторой техники, и его можно найти у Тюйнмана и Вигеринка (1987 , теорема 5.4).

Приложения

«Отрицательный» результат предыдущей теоремы указывает на то, что для поиска полезных приложений центральных расширений необходимо, по крайней мере для полупростых алгебр Ли, обратиться к бесконечномерным алгебрам Ли. Действительно есть такие. Здесь будут представлены аффинные алгебры Каца–Муди и алгебры Вирасоро. Это расширения полиномиальных алгебр петель и алгебры Витта соответственно.

Полиномиальная алгебра петель

Пусть g — полиномиальная петлевая алгебра ( фон ),

${\mathfrak {g}}=\mathbb {C} [\lambda ,\lambda ^{-1}]\otimes {\mathfrak {g}}_{0},$

где g0 _— комплексная конечномерная простая алгебра Ли. Цель состоит в том, чтобы найти центральное расширение этой алгебры. Применимы две теоремы. существует 2-коцикл С одной стороны, если на g , то можно определить центральное расширение. С другой стороны, если этот 2-коцикл действует только на g0 _часть , то результирующее расширение тривиально. Более того, дифференцирования, действующие только на g ₀ , не могут быть использованы для определения 2-коцикла, поскольку все эти дифференцирования являются внутренними и приводят к одной и той же проблеме. Поэтому ищут дифференцирования на C [ λ , λ ⁻¹ ] . Одним из таких наборов выводов является

$d_{k}\equiv \lambda ^{k+1}{\frac {d}{d\lambda }},\quad k\in \mathbb {Z} .$

Чтобы создать невырожденную билинейную ассоциативную антисимметричную форму L на g , внимание сначала сосредотачивается на ограничениях на аргументы при фиксированных m , n . Это теорема, что каждая форма, удовлетворяющая этим требованиям, кратна форме Киллинга K на g ₀ . Это требует

$L(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{n}\otimes G_{2})=\gamma _{lm}K(G_{1},G_{2}).$

Симметрия K подразумевает

$\gamma _{mn}=\gamma _{nm},$

и ассоциативность дает

$\gamma _{m+k,n}=\gamma _{m,k+n}.$

При m = 0 видно, что γ _k,n = γ _{0, k + n} . Последнее условие подразумевает первое. Используя этот факт, определим f ( n ) = γ _{0, n} . Определяющее уравнение тогда принимает вид

$L(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{n}\otimes G_{2})=f(m+n)K(G_{1},G_{2}).$

Для каждого i ∈ $\mathbb {Z}$ Определение

$f(n)=\delta _{ni}\Leftrightarrow \gamma _{mn}=\delta _{m+n,i}$

определяет симметричную ассоциативную билинейную форму

$L_{i}(\lambda ^{m}\otimes G_{1},\lambda ^{n}\otimes G_{2})=\delta _{m+n,i}K(G_{1},G_{2}).$

Они охватывают векторное пространство форм, имеющих нужные свойства.

Возвращаясь к рассмотренным выводам и условию

$L_{i}(d_{k}(\lambda ^{l}\otimes G_{1}),\lambda ^{m}\otimes G_{2})=-L_{i}(\lambda ^{l}\otimes G_{1},d_{k}(\lambda ^{m}\otimes G_{2})),$

используя определения, видно, что

$l\delta _{k+l+m,i}=-m\delta _{k+l+m,i},$

или, при n = l + m ,

$n\delta _{k+n,i}=0.$

Это (и условие антисимметрии) выполняется, если k = i , в частности, оно выполняется, когда k = i = 0 .

Таким образом, выберите L = L ₀ и d = d ₀ . При таком выборе условия следствия выполняются. 2-коцикл φ, определенный формулой

$\varphi (P(\lambda )\otimes G_{1}),Q(\lambda )\otimes G_{2}))=L(\lambda {\frac {dP}{d\lambda }}\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2})$

наконец используется для определения центрального расширения g ,

${\mathfrak {e}}={\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} C,$

с кронштейном Ли

$[P(\lambda )\otimes G_{1}+\mu C,Q(\lambda )\otimes G_{2}+\nu C]=P(\lambda )Q(\lambda )\otimes [G_{1},G_{2}]+\varphi (P(\lambda )\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2})C.$

Для базисных элементов, нормализованных соответствующим образом и с антисимметричными структурными константами, имеем

${\begin{aligned}{}[\lambda ^{l}\otimes G_{i}+\mu C,\lambda ^{m}\otimes G_{j}+\nu C]&=\lambda ^{l+m}\otimes [G_{i},G_{j}]+\varphi (\lambda ^{l}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+L(\lambda {\frac {d\lambda ^{l}}{d\lambda }}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+lL(\lambda ^{l}\otimes G_{i},\lambda ^{m}\otimes G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}K(G_{i},G_{j})C\\&=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}{C_{ik}}^{m}{C_{jm}}^{k}C=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}\delta ^{ij}C.\end{aligned}}$

Это универсальное центральное расширение алгебры полиномиальных петель.

Примечание о терминологии

В физической терминологии приведенная выше алгебра может сойти за алгебру Каца – Муди, хотя в математической терминологии это, вероятно, не так. Для этого требуется дополнительное измерение, расширение путем вывода. Тем не менее, если в физическом приложении собственные значения g ₀ или его представителя интерпретируются как (обычные) квантовые числа , дополнительный верхний индекс на генераторах называется уровнем . Это дополнительное квантовое число. Ниже вводится дополнительный оператор, собственными значениями которого являются именно уровни.

Текущая

Мюррей Гелл-Манн , лауреат Нобелевской премии по физике 1969 года, положил начало развитию современной алгебры в 1960-х годах. Он использует известные локальные симметрии даже без знания основной динамики для получения прогнозов, например, правило сумм Адлера-Вейсбергера .

Основная статья: Текущая алгебра

В качестве применения центрального расширения алгебры полиномиальных петель рассматривается алгебра токов квантовой теории поля ( предыстория ). Предположим, что у вас есть алгебра токов с интересным коммутатором

$[J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{i}(t,\mathbf {y} )]=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{i}(t,\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+S_{ab}^{ij}\partial _{j}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+...,$ ( КА10 )

с членом Швингера. Чтобы построить эту алгебру математически, пусть g — центрально расширенная полиномиальная петлевая алгебра из предыдущего раздела с

$[\lambda ^{l}\otimes G_{i}+\mu C,\lambda ^{m}\otimes G_{j}+\nu C]=\lambda ^{l+m}\otimes {C_{ij}}^{k}G_{k}+l\delta _{l+m,0}\delta _{ij}C$

как одно из коммутационных соотношений, или, с переключением обозначений ( l → m , m → n , i → a , j → b , λ ^м ⊗ G _a → T ^м _а ) с коэффициентом i согласно физическому соглашению,

$[T_{a}^{m},T_{b}^{n}]=i{C_{ab}}^{c}T_{c}^{m+n}+m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C.$

Определите, используя элементы g ,

$J_{a}(x)={\frac {\hbar }{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}T_{a}^{-n},x\in \mathbb {R} .$

Отмечается, что

$J_{a}(x+L)=J_{a}(x)$

так, что оно определено на окружности. Теперь вычислим коммутатор,

${\begin{aligned}[][J_{a}(x),J_{b}(y)]&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}T_{a}^{-n},\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi imy}{L}}T_{b}^{-m}\right]\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inx}{L}}e^{\frac {2\pi imy}{L}}[T_{a}^{-n},T_{b}^{-m}].\end{aligned}}$

Для простоты поменяйте координаты так, чтобы y → 0, x → x − y ≡ z , и используйте коммутационные соотношения:

${\begin{aligned}[][J_{a}(z),J_{b}(0)]&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}[i{C_{ab}}^{c}T_{c}^{-m-n}+m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C]\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi i(-m)z}{L}}\sum _{l=-\infty }^{\infty }ie^{\frac {2\pi i(l)z}{L}}{C_{ab}}^{c}T_{c}^{-l}+\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{m,n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}m\delta _{m+n,0}\delta _{ab}C\\&=\left({\frac {\hbar }{L}}\right)\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi imz}{L}}i{C_{ab}}^{c}J_{c}(z)-\left({\frac {\hbar }{L}}\right)^{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {2\pi inz}{L}}n\delta _{ab}C\end{aligned}}$

Теперь воспользуемся формулой суммирования Пуассона :

${\frac {1}{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\frac {-2\pi inz}{L}}={\frac {1}{L}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (z+nL)=\delta (z)$

для z в интервале (0, L) и дифференцируем его, чтобы получить

$-{\frac {2\pi i}{L^{2}}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }ne^{\frac {-2\pi inz}{L}}=\delta '(z),$

и наконец

$[J_{a}(x-y),J_{b}(0)]=i\hbar {C_{ab}}^{c}J_{c}(x-y)\delta (x-y)+{\frac {i\hbar ^{2}}{2\pi }}\delta _{ab}C\delta '(x-y),$

или

$[J_{a}(x),J_{b}(y)]=i\hbar {C_{ab}}^{c}J_{c}(x)\delta (x-y)+{\frac {i\hbar ^{2}}{2\pi }}\delta _{ab}C\delta '(x-y),$

поскольку аргументы дельта-функций обеспечивают лишь равенство аргументов левого и правого аргументов коммутатора (формально δ ( z ) = δ ( z − 0) ↦ δ (( x − y ) − 0) = δ ( x − й ) ).

По сравнению с CA10 , это текущая алгебра в двух измерениях пространства-времени, включая термин Швингера , с пространственным измерением, свернутым в круг. В классической постановке квантовой теории поля от этого, возможно, мало пользы, но с появлением теории струн, где поля живут на мировых листах струн, а пространственные измерения свернуты, могут появиться соответствующие приложения.

Алгебра Каца – Муди

Роберт Муди (слева), член Королевского общества Канады , канадский математик из Университета Альберты . Он является соавтором открытия алгебры Каца–Муди вместе с Виктором Кацем , членом Американского математического общества , российским математиком, работающим в Массачусетском технологическом институте .

Вывод d ₀ , использованный при построении 2-коцикла φ в предыдущем разделе, может быть расширен до вывода D на центрально расширенной полиномиальной алгебре петель, здесь обозначенной g , чтобы реализовать алгебру Каца–Муди. ( фон ). Просто установите

$D(P(\lambda )\otimes G+\mu C)=\lambda {\frac {dP(\lambda )}{d\lambda }}\otimes G.$

Далее определим как векторное пространство

${\mathfrak {e}}=\mathbb {C} d+{\mathfrak {g}}.$

Скобка Ли на e согласно стандартной конструкции с выводом задается на основе

${\begin{aligned}{}[\lambda ^{m}\otimes G_{1}+\mu C+\nu D,\lambda ^{n}\otimes G_{2}+\mu 'C+\nu 'D]&=\lambda ^{m+n}\otimes [G_{1},G_{2}]+m\delta _{m+n,0}K(G_{1},G_{2})C+\nu D(\lambda ^{n}\otimes G_{1})-\nu 'D(\lambda ^{m}\otimes G_{2})\\&=\lambda ^{m+n}\otimes [G_{1},G_{2}]+m\delta _{m+n,0}K(G_{1},G_{2})C+\nu n\lambda ^{n}\otimes G_{1}-\nu 'm\lambda ^{m}\otimes G_{2}.\end{aligned}}$

Для удобства определим

$G_{i}^{m}\leftrightarrow \lambda ^{m}\otimes G_{i}.$

Кроме того, предположим, что базис базовой конечномерной простой алгебры Ли выбран так, что структурные коэффициенты антисимметричны по всем индексам и что базис нормализован соответствующим образом. Затем сразу через определения проверяются следующие коммутационные соотношения.

${\begin{aligned}{}[G_{i}^{m},G_{j}^{n}]&={C_{ij}}^{k}G_{k}^{m+n}+m\delta _{ij}\delta ^{m+n,0}C,\\{}[C,G_{i}^{m}]&=0,\quad 1\leq i,j,N,\quad m,n\in \mathbb {Z} \\{}[D,G_{i}^{m}]&=mG_{i}^{m}\\{}[D,C]&=0.\end{aligned}}$

Это в точности краткое описание раскрученной аффинной алгебры Каца – Муди. Подводя итог, начнем с конечномерной простой алгебры Ли. Определим пространство формальных полиномов Лорана с коэффициентами из конечномерной простой алгебры Ли. С помощью симметричной невырожденной знакопеременной билинейной формы и вывода определен 2-коцикл, используемый в дальнейшем в стандартном рецепте центрального расширения 2-коциклом. Расширьте вывод на это новое пространство, используйте стандартное предписание для расщепленного расширения с помощью вывода, и получится раскрученная аффинная алгебра Каца – Муди.

Алгебра Вирасоро

Основная статья: алгебра Вирасоро

Цель — построить алгебру Вирасоро (названную в честь Мигеля Анхеля Вирасоро ). как центральное расширение 2-коциклом φ алгебры Витта W ( фон ). Тождество Якоби для 2-коциклов дает

$(l-m)\eta _{n+m,p}+(m-n)\eta _{m+n,l}+(n-l)\eta _{l+n,m}=0,\quad \eta _{ij}=\varphi (d_{i},d_{j}).$ ( В10 )

Сдача в аренду $l=0$ и используя антисимметрию η , получаем

$(m+p)\eta _{mp}=(m-p)\eta _{m+p,0}.$

В расширении коммутационные соотношения для элемента d ₀ имеют вид

$[d_{0}+\mu C,d_{m}+\nu C]_{\varphi }=-md_{m}+\eta _{0m}C=-m(d_{m}-{\frac {\eta _{0m}}{m}}C).$

желательно избавиться От центрального заряда с правой стороны . Для этого определите

$f:W\to \mathbb {C} ;d_{m}\to {\frac {\varphi (d_{0},d_{m})}{m}}={\frac {\eta _{0m}}{m}}.$

Затем, используя f в качестве 1-коцепи,

$\eta '_{0n}=\varphi '(d_{0},d_{n})=\varphi (d_{0},d_{n})+\delta f([d_{0},d_{n}])=\varphi (d_{0},d_{n})-n{\frac {\eta ^{0n}}{n}}=0,$

поэтому с этим 2-коциклом, эквивалентным предыдущему, имеем

$[d_{0}+\mu C,d_{m}+\nu C]_{\varphi '}=-md_{m}.$

С этим новым 2-коциклом (пропускаем штрих) условие становится

$(n+p)\eta _{mp}=(n-p)\eta _{m+p,0}=0,$

и поэтому

$\eta _{mp}=a(m)\delta _{m.-p},\quad a(-m)=-a(m),$

где последнее условие обусловлено антисимметрией скобки Ли. При этом и при l + m + p = 0 (вырезание «плоскости» в $\mathbb {Z} ^{3}$), (V10) дает

$(2m+p)a(p)+(m-p)a(m+p)+(m+2p)a(m)=0,$

что при p = 1 (вырезание «линии» в $\mathbb {Z} ^{2}$) становится

$(m-1)a(m+1)-(m+2)a(m)+(2m+1)a(1)=0.$

Это разностное уравнение , которое обычно решается

$a(m)=\alpha m+\beta m^{3}.$

Коммутатором в расширении на элементы W тогда будет

$[d_{l},d_{m}]=(l-m)d_{l+m}+(\alpha m+\beta m^{3})\delta _{l,-m}C.$

При β = 0 можно изменить базис (или модифицировать 2-коцикл 2-кограницей) так, что

$[d'_{l},d'_{m}]=(l-m)d_{l+m},$

при этом центральный заряд вообще отсутствует, и поэтому расширение тривиально. (Этого (вообще) не было в предыдущей модификации, где только d ₀ получало исходные соотношения.) При β ≠ 0 следующая замена базиса:

$d'_{l}=d_{l}+\delta _{0l}{\frac {\alpha +\gamma }{2}}C,$

коммутационные соотношения принимают вид

$[d'_{l},d'_{m}]=(l-m)d'_{l+m}+(\gamma m+\beta m^{3})\delta _{l,-m}C,$

часть показывая, что линейная по m тривиальна. Это также показывает, что H ² ( В , $\mathbb {C}$) одномерен (соответствует выбору β ). Традиционный выбор состоит в том, чтобы взять α = − β = 1 ⁄ 12 поглощая произвольный фактор в произвольном объекте C. и при этом сохраняя свободу , Тогда алгебра Вирасоро V будет

${\mathcal {V}}={\mathcal {W}}+\mathbb {C} C,$

с коммутационными отношениями

$[d_{l}+\mu C,d_{m}+\nu C]=(l-m)d_{l+m}+{\frac {(m-m^{3})}{12}}\delta _{l,-m}C.$

Бозонные открытые струны

Основная статья: Теория бозонных струн

Релятивистская классическая открытая струна ( фон ) подлежит квантованию . Грубо говоря, это равносильно тому, чтобы взять положение и импульс струны и передать их операторам в пространстве состояний открытых струн. Поскольку строки являются расширенными объектами, это приводит к появлению континуума операторов, зависящих от параметра σ . постулируются следующие коммутационные соотношения В картине Гейзенберга .

${\begin{aligned}{}[X^{I}(\tau ,\sigma ),{\mathcal {P}}^{\tau J}(\tau ,\sigma )]&=i\eta ^{IJ}\delta (\sigma -\sigma '),\\{}[x_{0}^{-}(\tau ),p^{+}(\tau )]&=-i.\end{aligned}}$

Все остальные коммутаторы исчезают.

Из-за континуума операторов и дельта-функций желательно вместо этого выражать эти отношения в терминах квантованных версий мод Вирасоро, операторов Вирасоро . Они рассчитаны на удовлетворение

$[\alpha _{m}^{I},\alpha _{n}^{J}]=m\eta ^{IJ}\delta _{m+n,0}$

Они интерпретируются как операторы рождения и уничтожения, действующие в гильбертовом пространстве, увеличивающие или уменьшающие квант своих соответствующих мод. Если индекс отрицательный, оператор является оператором создания, в противном случае — оператором уничтожения. (Если он равен нулю, то он пропорционален оператору полного импульса.) Ввиду того, что плюсовые и минусовые моды светового конуса выражались через поперечные моды Вирасоро, необходимо рассмотреть коммутационные соотношения между операторами Вирасоро. Классически они определялись (тогда режимы) как

$L_{n}={\frac {1}{2}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I}.$

Поскольку в квантовой теории альфа являются операторами, порядок факторов имеет значение. Ввиду коммутационного соотношения между операторами режима это будет иметь значение только для оператора ( _L0 для которого m + n = 0 ). L ₀ выбирается нормально упорядоченный ,

$L_{0}={\frac {1}{2}}\alpha _{0}^{I}\alpha _{0}^{I}+\sum _{p=1}^{\infty }\alpha _{-p}^{I}\alpha _{p}^{I},=\alpha 'p^{I}p^{I}+\sum _{p=1}^{\infty }p\alpha _{p}^{I\dagger }\alpha _{p}^{I}+c$

где c — возможная константа порядка. После довольно длительного расчета получается отношения

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n},\quad m+n\neq 0.$

Если допустить, что m + n = 0 выше, то мы имеем в точности коммутационные соотношения алгебры Витта. Вместо этого у человека есть

$[L_{m},L_{n}]=(m-n)L_{m+n}+{\frac {D-2}{12}}(m^{3}-m)\delta _{m+n,0},\quad \forall m,n\in \mathbb {Z} .$

после идентификации общего центрального члена как ( D - 2) раз тождественного оператора это алгебра Вирасоро, универсальное центральное расширение алгебры Витта.

Оператор L0 _{входит в} теорию как гамильтониан по модулю аддитивной константы. Более того, операторы Вирасоро входят в определение генераторов Лоренца теории. Это, пожалуй, самая важная алгебра в теории струн. Непротиворечивость генераторов Лоренца, кстати, фиксирует размерность пространства-времени равной 26. Хотя представленная здесь теория (для относительной простоты изложения) нефизична или, по крайней мере, неполна (в ней, например, нет фермионов), Алгебра Вирасоро возникает таким же образом в более жизнеспособной теории суперструн и М-теории .

Расширение группы

Основная статья: Расширение группы

Проективное представление Π( G ) группы Ли G ( background ) может использоваться для определения так называемого группового Gex _{расширения} .

В квантовой механике теорема Вигнера утверждает, что если G является группой симметрии, то она будет проективно представлена ​​в гильбертовом пространстве унитарными или антиунитарными операторами. Эту проблему часто решают, переходя к накрывающей группе G универсальной и принимая ее за группу симметрии. Это хорошо работает для группы вращения SO(3) и группы Лоренца O(3, 1) , но не работает, когда группа симметрии является группой Галилея . В этом случае приходится перейти к ее центральному расширению — Баргмана группе что является группой симметрии уравнения Шрёдингера . Аналогично, если G = $\mathbb {R} ^{2}$, группу сдвигов в пространстве позиций и импульсов, необходимо перейти к ее центральному расширению, группе Гейзенберга .

Пусть ω — 2-коцикл на G , индуцированный Π . Определять

$G_{\mathrm {ex} }=\mathbb {C} ^{*}\times G=\{(\lambda ,g)|\lambda \in \mathbb {C} ,g\in G\}$

как набор, и пусть умножение определяется формулой

$(\lambda _{1},g_{1})(\lambda _{2},g_{2})=(\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2}).$

Ассоциативность имеет место, поскольку ω — 2-коцикл на G . Для единичного элемента имеется

$(1,e)(\lambda ,g)=(\lambda \omega (e,g),g)=(\lambda ,g)=(\lambda ,g)(1,e),$

и для обратного

$(\lambda ,g)^{-1}=\left({\frac {1}{\lambda \omega (g,g^{-1})}},g^{-1}\right).$

Набор ( $\mathbb {C} ^{*}$, e ) — абелева подгруппа группы G _ex . Это означает, что G _ex не является полупростым. Центр знак G , ) Z ( G равно { z ∈ G | zg = gz ∀ g ∈ G } включает эту подгруппу. Центр может быть больше.

На уровне алгебр Ли можно показать, что алгебра Ли g _ex группы G _ex задается формулой

${\mathfrak {g}}_{\mathrm {ex} }=\mathbb {C} C\oplus {\mathfrak {g}},$

как векторное пространство и снабженное скобкой Ли

$[\mu C+G_{1},\nu C+G_{2}]=[G_{1},G_{2}]+\eta (G_{1},G_{2})C.$

Здесь η — 2-коцикл на g . Этот 2-коцикл можно получить из ω, хотя и весьма нетривиальным способом.

Теперь, используя проективное представление Π, можно определить отображение Π _ex следующим образом:

$\Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda ,g))=\lambda \Pi (g).$

Он имеет свойства

$\Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{1},g_{1}))\Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{2},g_{2}))=\lambda _{1}\lambda _{2}\Pi (g_{1})\Pi (g_{2})=\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2})\Pi (g_{1}g_{2})=\Pi _{\mathrm {ex} }(\lambda _{1}\lambda _{2}\omega (g_{1},g_{2}),g_{1}g_{2})=\Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda _{1},g_{1})(\lambda _{2},g_{2})),$

поэтому Π _ex ( G _ex ) является достоверным представлением G _ex .

В контексте теоремы Вигнера ситуацию можно изобразить так (замените $\mathbb {C} ^{*}$по U(1) ); пусть SH обозначает единичную сферу в гильбертовом пространстве H и пусть (·,·) – ее скалярный продукт. Пусть PH обозначает лучевое пространство , а [·,·] – лучевое произведение . Пусть, кроме того, волнистая стрелка обозначает групповое действие . Тогда диаграмма

ездит на работу, т.е.

$\pi _{2}\circ \Pi _{\mathrm {ex} }((\lambda ,g))(\psi )=\Pi \circ \pi (g)(\pi _{1}(\psi )),\quad \psi \in S{\mathcal {H}}.$

Более того, точно так же, как G является симметрией PH, сохраняющей [·,·] , G _ex является симметрией SH, сохраняющей (·,·) . π Все слои 2 — _{окружности} . Эти окружности инвариантны слева относительно действия U(1) . Действие U(1) на этих слоях транзитивно и не имеет неподвижной точки. Вывод состоит в том, что SH — главное расслоение над PH со структурной группой U(1) .

Справочный материал

Для адекватного обсуждения расширений необходима структура, выходящая за рамки определяющих свойств алгебры Ли. Элементарные факты об этом собраны здесь для быстрого ознакомления.

Производные

Дифференцирование на δ алгебре Ли g — это отображение

$\delta :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$

такое, что правило Лейбница

$\delta [G_{1},G_{2}]=[\delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},\delta G_{2}]$

держит. Множество дифференцирований на алгебре Ли g обозначается der g . Она сама является алгеброй Ли под скобкой Ли.

$[\delta _{1},\delta _{2}]=\delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}.$

Это алгебра Ли группы Aut g автоморфизмов g . Человек должен показать

$\delta [G_{1},G_{1}]=[\delta G_{1},G_{2}]+[G_{1},\delta G_{2}]\Leftrightarrow e^{t\delta }[G_{1},G_{2}]=[e^{t\delta }G_{1},e^{t\delta }G_{2}],\quad \forall t\in \mathbb {R} .$

Если правая часть верна, продифференцируйте и установите t = 0 , подразумевая, что правая часть верна. Если левая часть верна ( A ) , запишите правую как

$[G_{1},G_{2}]\;{\overset {?}{=}}\;e^{-t\delta }[e^{t\delta }G_{1},e^{t\delta }G_{2}],$

и дифференцируем правую сторону этого выражения. он При использовании ( A ) тождественно равен нулю. Следовательно, правая часть этого выражения не зависит от t и равна его значению для t = 0 , что является левой частью этого выражения.

Если G ∈ g , то ad _G , действующий по принципу ad _{G 1} ( G ₂ ) = [ G ₁ , G ₂ ] , является дифференцированием. Множество ad _G : G ∈ g — это множество внутренних дифференцирований на g . Для конечномерных простых алгебр Ли все дифференцирования являются внутренними.

Полупрямой продукт (группы)

Основная статья: Полупрямой продукт

две группы Ли G и H и Aut H , группу автоморфизмов H Рассмотрим . Последняя представляет собой группу изоморфизмов H . Если существует гомоморфизм группы Ли Φ: G → Aut H , то для каждого g ∈ G существует Φ( g ) ≡ Φ _g ∈ Aut H со свойством Φ _{gg '} = Φ _g Φ _{g '} , g , g ' G ​ . Обозначим через множество H × G E и определим умножение на

$(h,g)(h',g')=(h\phi _{g}(h'),gg'),\quad g,g'\in G,h,h'\in H.$ ( 4 )

Тогда E — группа с единицей ( eH _, , eG ₎ ) обратная — ( h , g а ⁻¹ = ( Φ _{г ⁻¹} ( ч ⁻¹ ), г ⁻¹ ) . Используя выражение для обратного и уравнение (4), видно, что H нормален в E . Обозначим группу с этим полупрямым произведением как E = H ⊗ _S G .

Обратно, если E = H ⊗ _S G — данное выражение полупрямого произведения группы E определению H нормально в E и Cg _, ∈ Aut H для каждого g ∈ G где Cg _h ( , то по ) ≡ ghg ⁻¹ и отображение Φ : g ↦ Cg _{является} гомоморфизмом.

Теперь воспользуйтесь перепиской Лжи. Каждое из отображений Φ _g : H → H , g ∈ G индуцирует на уровне алгебр Ли отображение Ψ _g : h → h . Эта карта рассчитывается

$\Psi _{g}(G)=\left.{\frac {d}{dt}}\Phi _{g}(e^{tG})\right|_{t=0},\quad G\in {\mathfrak {g}},g\in G.$ ( 5 )

Например, если G и H являются подгруппами большей группы E и Φ _g = ghg ⁻¹ , затем

$\Psi _{g}(G)=\left.{\frac {d}{dt}}ge^{tG}g^{-1}\right|_{t=0}=gGg^{-1}=\mathrm {Ad} _{g}(G),$ ( 5' )

признается и Ψ присоединенным действием Ad группы E на h, ограниченным G . Теперь Ψ: G → Aut h [ ⊂ GL( h ) , если h конечномерен] является гомоморфизмом, и снова обращаясь к лиевскому соответствию, существует единственный гомоморфизм алгебры Ли ψ : g → Lie(Aut h ) = Der h ⊂ gl( h ) . Эта карта (формально) задается формулой

$\psi _{G}=\left.{\frac {d}{dt}}\Psi _{e^{tG}}\right|_{t=0},\quad G\in {\mathfrak {g}}$ ( 6 )

например, если Ψ = Ad , то (формально)

$\psi _{G}=\left.{\frac {d}{dt}}\mathrm {Ad} _{e^{tG}}\right|_{t=0}=\left.{\frac {d}{dt}}e^{\mathrm {ad} _{tG}}\right|_{t=0}=\mathrm {ad} _{G},$ ( 6' )

связь между Ad и присоединенным действием ad, строго доказанная здесь где используется .

Алгебра Ли
Алгебра Ли как векторное пространство — это e = h ⊕ g . Это ясно, поскольку GH порождает E и G ∩ H знак равно ( e _H , e _G ) . Скобка Ли имеет вид

$[H_{1}+G_{1},H_{2}+G_{2}]_{\mathfrak {e}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+\psi _{G_{1}}(H_{2})-\psi _{G_{2}}(H_{1})+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}.$

показывать

Расчет скобки Лия

To compute the Lie bracket, begin with a surface in E parametrized by s and t. Elements of h in e = h ⊕ g are decorated with a bar, and likewise for g.

${\begin{aligned}e^{e^{t{\overline {G}}}s{\overline {H}}e^{-t{\overline {G}}}}&=e^{t{\overline {G}}}e^{s{\overline {H}}}e^{-t{\overline {G}}}=(1,e^{tG})(e^{sH},1)(1,e^{-tG})\\&=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),e^{tG})(1,e^{-tG})=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH})\phi _{e^{tG}}(1),1)\\&=(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),1)\end{aligned}}$

One has

${\frac {d}{ds}}\left.e^{Ad_{e^{t{\overline {G}}}}s{\overline {H}}}\right|_{s=0}=Ad_{e^{t{\overline {G}}}}{\overline {H}}$

and

${\frac {d}{ds}}\left.(\phi _{e^{tG}}(e^{sH}),1)\right|_{s=0}=(\Psi _{e^{tG}}(H),0)$

by 5 and thus

$Ad_{e^{t{\overline {G}}}}{\overline {H}}=(\Psi _{e^{tG}}(H),0).$

Now differentiate this relationship with respect to t and evaluate at t = 0:

${\frac {d}{dt}}\left.e^{t{\overline {G}}}{\overline {H}}e^{-t{\overline {G}}}\right|_{t=0}=[{\overline {G}},{\overline {H}}]$

and

${\frac {d}{dt}}\left.(\Psi _{e^{tG}}(H),0)\right|_{t=0}=(\psi _{G}(H),0)$

by 6 and thus

$[H_{1}+G_{1},H_{2}+G_{2}]_{\mathfrak {e}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+[G_{1},H_{2}]+[H_{1},G_{2}]+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}=[H_{1},H_{2}]_{\mathfrak {h}}+\psi _{G_{1}}(H_{2})-\psi _{G_{2}}(H_{1})+[G_{1},G_{2}]_{\mathfrak {g}}.$

Когомологии

Основные статьи: Алгебраическая топология , когомологии и когомологии алгебры Ли.

Для наших целей достаточно рассмотрения ограниченной части теории когомологий алгебры Ли. Определения не являются наиболее общими и даже не самыми распространенными, но объекты, на которые они ссылаются, являются подлинными примерами более общих определений.

2-коциклы
Объектами основного интереса являются 2-коциклы на g , определяемые как билинейные знакопеременные функции:

$\phi :{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow F,$

которые чередуются,

$\phi (G_{1},G_{2})=-\phi (G_{2},G_{1}),$

и обладающий свойством, напоминающим тождество Якоби, называемое тождеством Якоби для 2-циклов ,

$\phi (G_{1},[G_{2},G_{3}])+\phi (G_{2},[G_{3},G_{1}])+\phi (G_{3},[G_{1},G_{2}])=0.$

Множество всех 2-коциклов на g обозначается Z ² ( г , F ) .

2-коцикла из 1-коцепи
Некоторые 2-коциклы могут быть получены из 1-коцепей. на 1-коцепь g — это просто линейное отображение,

$f:{\mathfrak {g}}\rightarrow F$

Множество всех таких отображений обозначается C ¹ ( g , F ) и, конечно (по крайней мере, в конечномерном случае) C ¹ ( г , F ) ≅ г * . Используя 1-коцепь f , 2-коцикл δf можно определить формулой

$\delta f(G_{1},G_{2})=f([G_{1},G_{2}]).$

Свойство знакопеременности является непосредственным, и тождество Якоби для 2-коциклов (как обычно) показывается путем его записи и использования определения и свойств ингредиентов (здесь тождество Якоби на g и линейность f ). Линейное отображение δ : C ¹ ( г , F ) → Z ² ( g , F ) называется кограничным оператором (здесь ограничен C ¹ ( г , F ) ).

Вторая группа когомологий
Обозначим образ C ¹ ( g , F ) по δ ​ B ² ( г , ж ) . Частное

$H^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )=Z^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )/B^{2}({\mathfrak {g}},\mathbb {F} )$

называется второй группой когомологий g . Элементы H ² ( g , F ) — классы эквивалентности 2-коциклов и двух 2-коциклы φ ₁ и φ ₂ называются эквивалентными коциклами , если они отличаются 2-кограницей, т.е. если φ ₁ = φ ₂ + δf для некоторого f ∈ C ¹ ( г , F ) . Эквивалент 2-коциклы называются когомологичными . Класс эквивалентности φ ∈ Z ² ( g , F ) обозначается [ φ ] ∈ H ² .

Эти понятия обобщаются в нескольких направлениях. Для этого смотрите основные статьи.

Структурные константы

Основная статья: Структурные константы

Пусть B — базис Гамеля для g . Тогда каждая группа G ∈ g имеет единственное выражение:

$G=\sum _{\alpha \in A}c_{\alpha }G_{\alpha },\quad c_{\alpha }\in F,G_{\alpha }\in B$

для некоторого набора индексов A подходящего размера. В этом разложении только конечное число отличны _cα от нуля. Далее (для простоты) предполагается, что базис счетный, индексы используются латинскими буквами, а индексное множество можно принять равным $\mathbb {N} ^{*}$= 1, 2, ... . У человека сразу есть

$[G_{i},G_{j}]={C_{ij}}^{k}G_{k}$

для базовых элементов, где символ суммирования был рационализирован, применяется соглашение о суммировании. Расположение индексов в структурных константах (вверх или вниз) не имеет значения. Полезна следующая теорема:

Теорема : существует базис, в котором структурные константы антисимметричны по всем индексам тогда и только тогда, когда алгебра Ли является прямой суммой простых компактных алгебр Ли и u (1) алгебр Ли. Это так тогда и только тогда, когда существует действительная положительно определенная метрика g на g, удовлетворяющая условию инвариантности .

$g_{\alpha \beta }{C^{\beta }}_{\gamma \delta }=-g_{\gamma \beta }{C^{\beta }}_{\alpha \delta }.$

в любой базе. Это последнее условие необходимо по физическим причинам для неабелевых калибровочных теорий в квантовой теории поля . Таким образом, можно создать бесконечный список возможных калибровочных теорий, используя каталог Картана простых алгебр Ли в их компактной форме (т. е. sl ( n , $\mathbb {C}$) → su ( n ) и т. д. Одной из таких калибровочных теорий является калибровочная теория U(1) × SU(2) × SU(3) стандартной модели с алгеброй Ли u (1) ⊕ su (2) ⊕ su ( 3) .

Форма убийства

Основная статья: Форма убийства

Форма Киллинга — это симметричная билинейная форма на g , определенная формулой

$K(G_{1},G_{2})=\mathrm {trace} (\mathrm {ad} _{G_{1}}\mathrm {ad} _{G_{2}}).$

Здесь ad _G рассматривается как матрица, действующая в векторном пространстве g . Ключевой факт состоит в том, что если то по g полупроста критерию Картана K , невырождена. В таком случае K может использоваться для идентификации g и g. ^∗ . Если λ ∈ g ^∗ , то существует ν ( λ ) = G _λ ∈ g такой, что

$\langle \lambda ,G\rangle =K(G_{\lambda },G)\quad \forall G\in {\mathfrak {g}}.$

Это напоминает теорему о представлении Рисса , и доказательство практически такое же. Форма Убийства обладает свойством

$K([G_{1},G_{2}],G_{3})=K(G_{1},[G_{2},G_{3}]),$

что называется ассоциативностью. Определив g _αβ = K [ G _α , G _β ] и расширив внутренние скобки с точки зрения структурных констант, можно обнаружить, что форма Киллинга удовлетворяет приведенному выше условию инвариантности.

Петлевая алгебра

Основные статьи: Петлевая алгебра и группа циклов

Группа петель берется как группа гладких отображений единичной окружности S ¹ в группу Ли G со структурой группы, определяемой структурой группы на G . Тогда алгебра Ли группы петель является векторным пространством отображений из S ¹ в алгебру Ли g группы G . Любая подалгебра такой алгебры Ли называется петлевой алгеброй . Внимание здесь сосредоточено на полиномиальных алгебрах петель вида

$\{h:S^{1}\to {\mathfrak {g}}|h(\lambda )=\sum \lambda ^{n}G_{n},n\in \mathbb {Z} ,\lambda =e^{i\theta }\in S^{1},G_{n}\in {\mathfrak {g}}\}.$

показывать

Вывод алгебры Ли

To see this, consider elements H(λ) near the identity in G for H in the loop group, expressed in a basis {G_k} for g

$H(\lambda )=e^{h^{k}(\lambda )G_{k}}=e_{G}+h^{k}(\lambda )G_{k}+\ldots ,$

where the h^k(λ) are real and small and the implicit sum is over the dimension K of g. Now write

$h^{k}(\lambda )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\theta _{-n}^{k}\lambda ^{n}$

to obtain

$e^{h^{k}(\lambda )G_{k}}=1_{G}+\sum _{n=-\infty }^{\infty }\theta _{-n}^{k}\lambda ^{n}G_{k}+\ldots .$

Thus the functions

$h:S^{1}\to {\mathfrak {g}};h(\lambda )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\sum _{k=1}^{K}\theta _{-n}^{k}\lambda ^{n}G_{k}\equiv \sum _{n=-\infty }^{\infty }\lambda ^{n}G_{n}$

constitute the Lie algebra.

Небольшое размышление подтверждает, что это петли в g при изменении θ от 0 до 2 π . Операции - это те, которые поточечно определены операциями в g . Эта алгебра изоморфна алгебре

$C[\lambda ,\lambda ^{-1}]\otimes {\mathfrak {g}},$

где C[ λ , λ ⁻¹ ] — алгебра полиномов Лорана ,

$\sum \lambda ^{k}G_{k}\leftrightarrow \sum \lambda ^{k}\otimes G_{k}.$

Скобка Лия – это

$[P(\lambda )\otimes G_{1},Q(\lambda )\otimes G_{2}]=P(\lambda )Q(\lambda )\otimes [G_{1},G_{2}].$

В этом последнем взгляде элементы можно рассматривать как полиномы с (постоянными!) коэффициентами по g . С точки зрения базиса и структурных констант,

$[\lambda ^{m}\otimes G_{i},\lambda ^{n}\otimes G_{j}]={C_{ij}}^{k}\lambda ^{m+n}\otimes G_{k}.$

Также часто используются другие обозначения,

$\lambda ^{m}\otimes G_{i}\cong \lambda ^{m}G_{i}\leftrightarrow T_{i}^{m}(\lambda )\equiv T_{i}^{m},$

отсутствие λ где следует иметь в виду во избежание путаницы; элементы на самом деле являются функциями S ¹ → г . Тогда скобка Ли

$[T_{i}^{m},T_{j}^{n}]={C_{ij}}^{k}T_{k}^{m+n},$

которое можно узнать как одно из коммутационных соотношений в раскрученной аффинной алгебре Каца – Муди, которое будет введено позже, без центрального члена. При m = n = 0 подалгебра, изоморфная g получается . Он генерирует (как видно, прослеживая назад в определениях) набор постоянных отображений из S ¹ в G изоморфен G , когда exp находится на (это тот случай, когда G компактен. Если G компактен, то базис ( Gk _{, который, очевидно ,} ) для g может быть выбран так, чтобы были _Gk косоэрмитовыми. Как следствие,

$T_{i}^{n\dagger }=(\lambda ^{n}G_{i})^{\dagger }=-\lambda ^{-n}G_{i}=-T_{i}^{-n}.$

Такое представительство называется унитарным, поскольку представители

$H(\lambda )=e^{\theta _{n}^{k}T_{k}^{-n}}\in G$

являются унитарными. Здесь минус в нижнем индексе T является условным, применяется соглашение о суммировании, а λ (по определению) скрыта в T s в правой части.

Текущая алгебра (физика)

Современные алгебры возникают в квантовых теориях поля как следствие глобальной калибровочной симметрии . Сохраняющиеся токи возникают в классических теориях поля всякий раз, когда лагранжиан сохраняет непрерывную симметрию . В этом состоит содержание теоремы Нётер . Большинство (а возможно, и все) современных квантовых теорий поля можно сформулировать в терминах классических лагранжианов (до квантования), поэтому теорема Нётер применима и в квантовом случае. При квантовании сохраняющиеся токи превращаются в позиционно-зависимые операторы в гильбертовом пространстве. Эти операторы подчиняются коммутационным соотношениям, обычно образующим бесконечномерную алгебру Ли. Модель, иллюстрирующая это, представлена ​​ниже.

Чтобы усилить интерес к физике, факторы i будут появляться здесь и там, в отличие от математических соглашений.

Рассмотрим вектор-столбец Φ скалярных полей (Φ ₁ , Φ ₂ , ..., Φ _N ) . Пусть лагранжева плотность равна

${\mathcal {L}}=\partial _{\mu }\phi ^{\dagger }\partial ^{\mu }\phi -m^{2}\phi ^{\dagger }\phi .$

Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразования

$\phi \mapsto e^{-i\sum _{a=1}^{r}\alpha ^{a}F_{a}}\phi ,$

где { F ₁ , F ₁ , ..., F _r } — генераторы либо U( N ) , либо ее замкнутой подгруппы, удовлетворяющие условиям

$[F_{a},F_{b}]=i{C_{ab}}^{c}F_{c}.$

Теорема Нётер утверждает существование r сохраняющихся токов:

$J_{a}^{\mu }=-\pi ^{\mu }iF_{a}\phi ,\quad \pi ^{k\mu }={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{k})}},$

где р ^{до 0} ≡ п ^к – импульс, канонически сопряженный с Φ _k . Причина, по которой эти токи считаются сохраняющимися, заключается в том, что

$\partial _{\mu }J_{a}^{\mu }=0,$

и следовательно

$Q_{a}(t)=\int J_{a}^{0}d^{3}x=\mathrm {const} \equiv Q_{a},$

заряд , связанный с плотностью заряда J _a ⁰ является постоянным во времени. Эта (пока классическая) теория квантовается путем превращения полей и их сопряженных операторов в гильбертовом пространстве и постулирования (бозонного квантования) коммутационных соотношений

${\begin{aligned}{}[\phi _{k}(t,x),\pi ^{l}(t,x)]&=i\delta (x-y)\delta _{k}^{l},\\{}[\phi _{k}(t,x),\phi _{l}(t,x)]&=[\pi ^{k}(t,x),\pi ^{l}(t,x)]=0.\end{aligned}}$

Соответственно, токи становятся операторами Они удовлетворяют, используя постулированные выше соотношения, определения и интегрирование по пространству, коммутационные соотношения

${\begin{aligned}{}[J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{0}(t,\mathbf {y} )]&=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} ){C_{ab}}^{c}J_{c}^{0}(ct,\mathbf {x} )\\{}[Q_{a},Q_{b}]&=i{Q_{ab}}^{c}Q_{c}\\{}[Q_{a},J_{b}^{\mu }(t,\mathbf {x} )]&=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{\mu }(t,\mathbf {x} ),\end{aligned}}$

где скорость света и приведенная постоянная Планка равны единице. Последнее коммутационное соотношение не следует из постулируемых коммутационных соотношений (они зафиксированы только для π ^{до 0} , а не для π ^{к 1} , Пи ^{к 2} , Пи ^{к 3} ), за исключением µ = 0. Для µ = 1, 2, 3 для вывода вывода используется поведение преобразования Лоренца. Следующий коммутатор, который следует рассмотреть, — это

$[J_{a}^{0}(t,\mathbf {x} ),J_{b}^{i}(t,\mathbf {y} )]=i{C_{ab}}^{c}J_{c}^{i}(t,\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+S_{ab}^{ij}\partial _{j}\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )+....$

Наличие дельта-функций и их производных объясняется требованием микропричинности , предполагающим, что коммутатор обращается в нуль, когда x ≠ y . Таким образом, коммутатор должен быть распределением, поддерживаемым при x = y . Первый член фиксирован из-за требования, чтобы уравнение при интегрировании по X сводилось к последнему уравнению перед ним. Следующие термины являются условиями Швингера . Они интегрируются до нуля, но это можно показать вполне вообще. что они должны быть ненулевыми.

показывать

Существование условий Швингера

Consider a conserved current

$\partial _{0}J^{0}+\partial _{i}J^{i}=0,\quad \langle 0|J^{i}|0\rangle =0,\quad J^{0\dagger }J^{0}=J^{0}J^{0\dagger }=I.$ (S10)

with a generic Schwinger term

$[J^{0}(t,\mathbf {x} ),J^{i}(t,\mathbf {y} )]=i\delta (\mathbf {x} -\mathbf {y} )J^{i}(t,\mathbf {x} )+C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ).$

By taking the vacuum expectation value (VEV),

$\langle 0|C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|0\rangle =\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),J^{i}(t,\mathbf {y} )]|0\rangle ,$

one finds

${\begin{aligned}\langle 0|{\frac {\partial C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}{\partial _{y^{i}}}}|0\rangle &=\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),{\frac {\partial J^{i}(t,\mathbf {y} )}{\partial _{y^{i}}}}]|0\rangle \\&=-\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),{\frac {\partial J^{0}(t,\mathbf {y} )}{\partial _{t}}}]|0\rangle =i\langle 0|[J^{0}(t,\mathbf {x} ),[J^{0}(t,\mathbf {y} ),H]]|0\rangle \\&=-i\langle 0|J^{0}(t,\mathbf {x} )HJ^{0}(t,\mathbf {y} )+J^{0}(t,\mathbf {x} )HJ^{0}(t,\mathbf {x} )|0\rangle ,\end{aligned}}$

where S10 and Heisenberg's equation of motion have been used as well as H|0⟩ = 0 and its conjugate.

Multiply this equation by f(x)f(y) and integrate with respect to x and y over all space, using integration by parts, and one finds

$-i\int \int d\mathbf {x} d\mathbf {y} \langle 0|C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )|0\rangle f(\mathbf {x} ){\frac {\partial f}{\partial y^{i}}}f(\mathbf {x} )=2\langle 0|FHF|\rangle ,\quad F=\int J^{0}(\mathbf {x} )f(\mathbf {x} ).$

Now insert a complete set of states, |n⟩

$\langle 0|FHF|\rangle =\sum _{mn}\langle 0|F|m\rangle \langle m|H|n\rangle \langle n|F|0\rangle =\sum _{mn}\langle 0|F|m\rangle E_{n}\delta _{mn}\langle n|F|0\rangle )\sum _{n\neq 0}|\langle 0|F|n\rangle |^{2}E_{n}>0\Rightarrow C^{i}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\neq 0.$

Here hermiticity of F and the fact that not all matrix elements of F between the vacuum state and the states from a complete set can be zero.

алгебра Каца

Основная статья: алгебра Каца – Муди

Пусть g — N -мерная комплексная простая алгебра Ли с выделенным подходящим нормализованным базисом такая, что структурные константы антисимметричны во всех индексах с коммутационными соотношениями

$[G_{i},G_{j}]={C_{ij}}^{k}G_{k},\quad 1\leq i,j,N.$

Раскрученная аффинная алгебра Каца–Муди g получается копированием базиса для каждого n ∈ $\mathbb {Z}$ (относительно копий как отдельных), установка

${\overline {\mathfrak {g}}}=FC\oplus FD\oplus \bigoplus _{1\leq i\leq \mathbb {N} ,m\in \mathbb {Z} }FG_{m}^{i}$

как векторное пространство и задав коммутационные соотношения

${\begin{aligned}{}[G_{i}^{m},G_{j}^{n}]&={C_{ij}}^{k}G_{k}^{m+n}+m\delta _{ij}\delta ^{m+n,0}C,\\{}[C,G_{i}^{m}]&=0,\quad 1\leq i,j,N,\quad m,n\in \mathbb {Z} \\{}[D,G_{i}^{m}]&=mG_{i}^{m}\\{}[D,C]&=0.\end{aligned}}$

Если C = D = 0 , то подалгебра, натянутая на G ^м _i, очевидно, идентична алгебре полиномиальных петель, описанной выше.

Алгебра Витта

Эрнст Витт (1911–1991), немецкий математик. Алгебры Витта, изучавшиеся им над конечными полями в 1930-е годы, в комплексном случае впервые были рассмотрены Картаном в 1909 году.

Основная статья: алгебра Витта

Алгебра Витта , названная в честь Эрнста Витта , является комплексификацией алгебры Ли Vect S. ¹ гладких векторных полей на окружности S ¹ . В координатах такие векторные поля можно записать

$X=f(\varphi ){\frac {d}{d\varphi }},$

а скобка Ли — это скобка Ли векторных полей на S ¹ просто дано

$[X,Y]=\left[f{\frac {d}{d\varphi }},g{\frac {d}{d\varphi }}\right]=\left(f{\frac {dg}{d\varphi }}-g{\frac {df}{d\varphi }}\right){\frac {d}{d\varphi }}.$

Алгебра обозначается W = Vect S ¹ + я вектор S ¹ . Базисом W является множество

$\{d_{n},n\in \mathbb {Z} \}=\left\{\left.ie^{in\varphi }{\frac {d}{d\varphi }}=-z^{n+1}{\frac {d}{dz}}\right|n\in \mathbb {Z} \right\}.$

Эта основа удовлетворяет

$[d_{l},d_{m}]=(l-m)d_{l+m}\equiv {C_{lm}}^{n}d_{n}=(l-m)\delta _{l+m}^{n}d_{n},\quad l,m,n\in \mathbb {Z} .$

Эта алгебра Ли имеет полезное центральное расширение — алгебру Вирасоро. Она имеет трехмерные подалгебры, изоморфные su (1, 1) и sl (2, $\mathbb {R}$) . Для каждого n ≠ 0 множество { d ₀ , d _−n , d _n } затягивает подалгебру, изоморфную su (1, 1) ≅ sl (2, $\mathbb {R}$) .

показывать

Отношение к сл (2, $\mathbb {R}$) и су (1, 1)

For m, n ∈ {−1, 0, 1} one has

$[d_{0},d_{-1}]=d_{-1},\quad [d_{0},d_{1}]=-d_{1},\quad [d_{1},d_{-1}]=2d_{0}.$

These are the commutation relations of sl(2, $\mathbb {R}$) with

$d_{0}\leftrightarrow H=\left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right),\quad d_{-1}\leftrightarrow X=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}\right),\quad d_{1}\leftrightarrow Y=\left({\begin{smallmatrix}0&0\\1&0\end{smallmatrix}}\right),\quad H,X,Y\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} ).$

The groups SU(1, 1) and SL(2, $\mathbb {R}$) are isomorphic under the map

$SU(1,1)=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)SL(2,\mathbb {R} )\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1},$

and the same map holds at the level of Lie algebras due to the properties of the exponential map. A basis for su(1, 1) is given, see classical group, by

$U_{0}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right),\quad U_{1}=\left({\begin{smallmatrix}0&-i\\i&0\end{smallmatrix}}\right),\quad U_{2}=\left({\begin{smallmatrix}i&0\\0&-i\end{smallmatrix}}\right)$

Now compute

${\begin{aligned}H_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)H\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}=\left({\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)=U_{0},\\X_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)X\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{smallmatrix}i&-i\\i&-i\end{smallmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}(U_{1}+U_{2}),\\Y_{{\mathfrak {su}}(1,1)}&=\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)Y\left({\begin{smallmatrix}1&-i\\1&i\end{smallmatrix}}\right)^{-1}={\frac {1}{2}}\left({\begin{smallmatrix}-i&-i\\i&i\end{smallmatrix}}\right)={\frac {1}{2}}(U_{1}-U_{2}).\end{aligned}}$

The map preserves brackets and there are thus Lie algebra isomorphisms between the subalgebra of W spanned by {d₀, d₋₁, d₁} with real coefficients, sl(2, $\mathbb {R}$) and su(1, 1). The same holds for any subalgebra spanned by {d₀, d_−n, d_n}, n ≠ 0, this follows from a simple rescaling of the elements (on either side of the isomorphisms).

Проективное представление

Основные статьи: теорема Вигнера , проективное представление и групповые когомологии.

Если M — матричная группа Ли , то элементы X ее алгебры Ли m могут быть заданы формулой

$X={\frac {d}{dt}}\left.(g(t))\right|_{t=0},$

где g — дифференцируемый путь в M , проходящий через единичный элемент в точке t = 0 . Коммутаторы элементов алгебры Ли можно вычислить как

$[X_{1},X_{2}]=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}}.$

Аналогично, учитывая представление группы U ( M ) , ее алгебра Ли u ( m ) вычисляется по формуле

${\begin{aligned}[][Y_{1},Y_{2}]&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{tX_{1}})U(e^{sX_{2}})U(e^{-tX_{1}})\\&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}})\end{aligned}},$

где $Y_{1}=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}U(e^{tX_{1}})$ и $Y_{2}=\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{sX_{2}})$. Тогда существует изоморфизм алгебры Ли между m и u ( m ) , переводящий базы в базы, так что u является точным представлением m .

Однако если U ( G ) является допустимым набором представителей проективного унитарного представления , т. е. унитарного представления с точностью до фазового множителя, то алгебра Ли, вычисленная из группового представления, не изоморфна m . Для U правило умножения гласит

$U(g_{1})U(g_{2})=\omega (g_{1},g_{2})U(g_{1}g_{2})=e^{i\xi (g_{1},g_{2})}U(g_{1}g_{2}).$

Функция ω , от которой часто требуется быть гладкой, удовлетворяет условию

${\begin{aligned}\omega (g,e)&=\omega (e,g)=1,\\\omega (g_{1},g_{2}g_{3})\omega (g_{2},g_{3})&=\omega (g_{1},g_{2})\omega (g_{1}g_{2},g_{3})\\\omega (g,g^{-1})&=\omega (g^{-1},g).\end{aligned}}$

Он называется 2-коциклом на M .

Из приведенных выше равенств $(U(g))^{-1}={\frac {1}{\omega (g,g^{-1})}}U(g^{-1})$, так что у человека есть

${\begin{aligned}[][Y_{1},Y_{2}]&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{tX_{1}})U(e^{sX_{2}})(U(e^{tX_{1}}))^{-1}\\&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}{\frac {1}{\omega (e^{tX_{1}},e^{-tX_{1}})}}U(e^{tX_{1}})U(e^{sX_{2}})U(e^{-tX_{1}})\\&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}{\frac {\omega (e^{tX_{1}},e^{sX_{2}})\omega (e^{tX_{1}}e^{sX_{2}},e^{-tX_{1}})}{\omega (e^{tX_{1}},e^{-tX_{1}})}}U(e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}})\\&\equiv \left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}\Omega (e^{tX_{1}},e^{sX_{2}})U(e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}})\\&=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}U(e^{tX_{1}}e^{sX_{2}}e^{-tX_{1}})+\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}\left.{\frac {d}{ds}}\right|_{s=0}\Omega (e^{tX_{1}},e^{sX_{2}})I,\end{aligned}}$

потому что и Ω , и U оцениваются как тождественные в момент t = 0 . Для объяснения фазовых коэффициентов ξ см. теорему Вигнера . Коммутационные соотношения в m для базиса

$[X_{i},X_{j}]={C_{ij}^{k}}X_{k}$

стать в тебе

$[Y_{i},Y_{j}]={C_{ij}^{k}}Y_{k}+D_{ij}I,$

поэтому для того, чтобы u была замкнута в скобках (и, следовательно, имела шанс на самом деле быть алгеброй Ли), центральный заряд I. необходимо включить

струн

Основная статья: Теория бозонных струн

Классическая релятивистская струна отслеживает мировой лист в пространстве-времени точно так же, как точечная частица отслеживает мировую линию . Этот мировой лист может быть локально параметризован с использованием двух параметров σ и τ . Очки х ^м в пространстве-времени в области параметризации можно записать x ^м = х ^м ( σ , τ ) . Заглавную букву X используют для обозначения точек пространства-времени, которые фактически находятся на мировом листе строки. Таким образом, параметризация струны задается формулой ( σ , τ ) ↦( X ⁰ ( σ , τ ), Икс ¹ ( σ , τ ), Икс ² ( σ , τ ), Икс ³ ( σ , τ )) . Обратная параметризация обеспечивает локальную систему координат на мировом листе в смысле многообразий .

Уравнения движения классической релятивистской струны, полученные в лагранжевом формализме из действия Намбу–Гото, имеют вид

${\frac {\partial {\mathcal {P}}_{\mu }^{\tau }}{\partial \tau }}+{\frac {\partial {\mathcal {P}}_{\mu }^{\sigma }}{\partial \sigma }}=0,\quad {\mathcal {P}}_{\mu }^{\tau }=-{\frac {T_{0}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-(X')^{2}{\dot {X}}_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}},\quad {\mathcal {P}}_{\mu }^{\sigma }=-{\frac {T_{0}}{c}}{\frac {({\dot {X}}\cdot X')X'_{\mu }-({\dot {X}})^{2}X'_{\mu }}{\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}}.$

Точка над величиной обозначает дифференцирование по τ и простое дифференцирование по σ . Точка между величинами обозначает релятивистский внутренний продукт.

Эти довольно сложные уравнения значительно упрощаются благодаря умному выбору параметризации, называемой калибровкой светового конуса . В этой калибровке уравнения движения принимают вид

${\ddot {X}}^{\mu }-{X^{\mu }}''=0,$

обыкновенное волновое уравнение . Цена, которую придется заплатить, — это то, что калибр светового конуса накладывает ограничения,

${\dot {X}}^{\mu }\cdot {X^{\mu }}'=0,\quad ({\dot {X}})^{2}+(X')^{2}=0,$

так что нельзя просто взять произвольные решения волнового уравнения для представления струн. Рассматриваемые здесь струны являются открытыми, т.е. они не замыкаются сами на себя. Это означает, что граничные условия Неймана на конечных точках должны быть наложены . При этом общее решение волнового уравнения (без учета ограничений) имеет вид

$X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_{0}^{\mu }+2\alpha 'p_{0}^{\mu }\tau -i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n=1}\left(a_{n}^{\mu *}e^{in\tau }-a_{n}^{\mu }e^{-in\tau }\right){\frac {\cos n\sigma }{\sqrt {n}}},$

где α ' — параметр наклона струны (связанный с натяжением струны ). Величины x ₀ и p ₀ представляют собой (приблизительно) положение струны от начального состояния и импульс струны. Если все α ^м
_n равны нулю, решение представляет собой движение классической точечной частицы.

Это переписано, сначала определяя

$\alpha _{0}^{\mu }={\sqrt {2\alpha '}}a_{\mu },\quad \alpha _{n}^{\mu }=a_{n}^{\mu }{\sqrt {n}},\quad \alpha _{-n}^{\mu }=a_{n}^{\mu *}{\sqrt {n}},$

а затем писать

$X^{\mu }(\sigma ,\tau )=x_{0}^{\mu }+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{\mu }\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{\mu }e^{-in\tau }\cos n\sigma .$

Чтобы удовлетворить ограничениям, переходят к координатам светового конуса . Для I = 2, 3, ... d , где d — количество измерений пространства , положите

${\begin{aligned}X^{I}(\sigma ,\tau )&=x_{0}^{I}+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{I}\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{I}e^{-in\tau }\cos n\sigma ,\\X^{+}(\sigma ,\tau )&={\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{+}\tau ,\\X^{-}(\sigma ,\tau )&=x_{0}^{-}+{\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{0}^{-}\tau +i{\sqrt {2\alpha '}}\sum _{n\neq 0}{\frac {1}{n}}\alpha _{n}^{-}e^{-in\tau }\cos n\sigma .\end{aligned}}$

Не все α _n ^м , n ∈ $\mathbb {Z}$, µ ∈ {+, −, 2, 3, ..., d } независимы. Некоторые из них равны нулю (следовательно, отсутствуют в приведенных выше уравнениях), а «минус-коэффициенты» удовлетворяют

${\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{n}^{-}={\frac {1}{2p^{+}}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I}.$

Величине слева присвоено имя,

${\sqrt {2\alpha '}}\alpha _{n}^{-}\equiv {\frac {1}{p^{+}}}L_{n},\quad L_{n}={\frac {1}{2}}\sum _{p\in \mathbb {Z} }\alpha _{n-p}^{I}\alpha _{p}^{I},$

Вирасоро поперечная мода .

Когда теория квантована, альфа и, следовательно, L _n становятся операторами.

См. также

• Групповые когомологии
• Групповое сокращение (сокращение Инону – Вигнера)
• Расширение группы
• Когомологии алгебры Ли

Ссылки

Книги

• Бауэрле, GGA; де Керф, Э.А. (1990). А. ван Грозен; Э.М. де Ягер (ред.). Алгебры Ли. Часть 1. Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том. 1. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-88776-4 . МР   1085715 .
• Бауэрле, GGA; де Керф, Э.А.; тен Кроуд, APE (1997). А. ван Грозен; Э.М. де Ягер (ред.). Алгебры Ли. Часть 2. Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том. 7. Северная Голландия. ISBN  978-0-444-82836-1 . MR   1489232 – через ScienceDirect .
• Годдард, П .; Олив, Д. , ред. (1988). Алгебры Каца – Муди и Вирасоро, переиздание тома для физиков . Продвинутая серия по математической физике. Том. 3. Сингапур: Мировое научное издательство. ISBN  978-9971-50-419-9 .
• Голдин, Джорджия (2006). Франсуаза, Япония; Набер, ГЛ; Цун, Т.С. (ред.). Энциклопедия математической физики . Современная алгебра. ISBN  978-0-12-512666-3 .
• Грин, МБ ; Шварц, Дж. Х. ; Виттен, Э. (1987). Теория суперструн . Том. л. Издательство Кембриджского университета . ISBN  9781107029118 .
• Грейнер, В .; Рейнхардт, Дж. (1996). Квантование поля . Издательство Спрингер . ISBN  978-3-540-59179-5 .
• Хамфрис, Дж. Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений (3-е изд.). Берлин · Гейдельберг · Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-90053-5 .
• Кац, В.Г. (1990). Бесконечномерные алгебры Ли (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-37215-2 .
• Кнапп, А. (2002). бас, Х.; Остерле, Дж.; Вайнштейн, А. (ред.). Группы лжи за пределами введения . Прогресс в математике. Том. 140 (2-е изд.). Бостон · Базель · Берлин: Биркхойзер . ISBN  978-0-8176-4259-4 .
• Россманн, Вульф (2002). Группы Ли. Введение в линейные группы . Оксфордские тексты для выпускников по математике. Оксфордские научные публикации. ISBN  0-19-859683-9 .
• Шоттенлохер, М. (2008) [1997]. Математическое введение в конформную теорию поля (2-е изд.). Берлин, Гейдельберг: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-68625-5 .
• Вайнберг, С. (2002). Квантовая теория полей . Том. I. Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-55001-7 .
• Вайнберг, С. (1996). Квантовая теория полей . Том. II. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55002-4 .
• Цвибах, Б. (2004). Первый курс теории струн . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-83143-1 . МР   2069234 .

Журналы

• Баргманн, В. (1954). «Об унитарных лучевых представлениях непрерывных групп». Анна. математики . 59 (1): 1–46. дои : 10.2307/1969831 . JSTOR   1969831 .
• Долан, Л. (1995). «Маяк симметрии Каца – Муди для физики» . Уведомления АМС . 42 (12): 1489–1495. arXiv : hep-th/9601117 . Бибкод : 1996hep.th....1117D . ISSN   0002-9920 .
• Кац, В.Г. (1967р). «[Простые градуированные алгебры Ли конечного роста]». Функц. Аналис и Его Прилож . 1 (4): 82–83.
• Кац, В.Г. (1967е). «Простые градуированные алгебры Ли конечного роста». Функц. Анальный. Приложение . 1 : 328–329. (Английский перевод)
• Годдард, П .; Олив, Д. (1986). «Алгебры Каца – Муди и Вирасоро по отношению к квантовой физике». Межд. Дж. Мод. Физ. А. ​ 1 (2): 303–414. Бибкод : 1986IJMPA...1..303G . дои : 10.1142/S0217751X86000149 . Это можно найти в алгебрах Каца – Муди и Вирасоро, перепечатке тома для физиков.
• Муди, Р.В. (1967). «Алгебры Ли, связанные с обобщенными матрицами Картана» . Бык. амер. Математика. Соц . 73 (2): 217–221. дои : 10.1090/S0002-9904-1967-11688-4 . МР   0207783 . Збл   0154.27303 . (открытый доступ)
• Шрайер, О. (1926). «К теории групповых расширений I». Ежемесячные журналы по математике (на немецком языке). 34 (1): 165–180. дои : 10.1007/BF01694897 . hdl : 10338.dmlcz/127714 . S2CID   124731047 .
• Шрайер, О. (1925). «К теории расширений групп II». Трактаты математического семинара Гамбургского университета (на немецком языке). 4 (1): 321–346. дои : 10.1007/BF02950735 . hdl : 10338.dmlcz/140420 . S2CID   122947636 .
• Вирасоро, Массачусетс (1970). «Дополнительные условия и призраки в моделях двойного резонанса». Физ. Преподобный Д. 1 (10): 2933–2936. Бибкод : 1970PhRvD...1.2933V . дои : 10.1103/PhysRevD.1.2933 .
• Тюйнман, генеральный директор; Вигеринк, WAJJ (1987). «Центральные расширения и физика». Журнал геометрии и физики . 4 (2): 207–258. Бибкод : 1987JGP.....4..207T . дои : 10.1016/0393-0440(87)90027-1 .

Интернет

• МакТьютор (2015). «Биография Шрайера» . MacTutor История математики . Проверено 8 марта 2015 г.