Групповое действие

В математике многие наборы преобразований образуют группу при композиции функций ; например, вращение вокруг точки на плоскости. Часто полезно рассматривать группу как абстрактную группу и говорить, что у абстрактной группы есть групповое действие , состоящее из выполнения преобразований группы преобразований. Причиной отличия группы от преобразований является то, что, вообще говоря, группа преобразований структуры действует также на различные родственные структуры; например, указанная выше группа вращения действует также на треугольники, преобразуя треугольники в треугольники.

Формально групповое действие группы $G$ на множестве $S$ представляет собой групповой гомоморфизм из $G$ в некоторую группу (при функциональной композиции ) функций из $S$ в себя.

Если группа действует на структуру, она обычно также действует на объекты, построенные на основе этой структуры. Например, группа евклидовых изометрий действует на евклидово пространство , а также на нарисованные в нем фигуры; в частности, он действует на множестве всех треугольников . Аналогично группа симметрий многогранника действует на вершины , ребра и грани многогранника.

Групповое действие в векторном пространстве называется представлением группы. В случае конечномерного векторного пространства это позволяет отождествить многие группы с общей линейной группы $GL(n, K)$ , группы обратимых матриц размерности подгруппами $n$ над полем $K$ .

Симметричная группа $Sn элементов ,$ действует на любом множестве из $n$ переставляя элементы этого множества. Хотя группа всех перестановок множества формально зависит от множества, концепция действия группы позволяет рассматривать единую группу для изучения перестановок всех множеств одинаковой мощности .

Определение [ править ]

Левое групповое действие [ править ]

Если $G$ — группа с единичным элементом $e$ , а $X$ — множество, то ( левое ) групповое действие $α$ группы $G$ на $X$ является функцией

\alpha \colon G\times X\to X,

удовлетворяющее следующим двум аксиомам : ^[1]

Личность:	$\alpha (e,x)=x$
Совместимость:	$\alpha (g,\alpha (h,x))=\alpha (gh,x)$

для всех $g$ и $h$ в $G$ и $x$ в $X.$ всех

группа $G$ Говорят, что $действует на X$ (слева). Множество $X$ вместе с действием $G$ называется ( левым ) $G$ - множеством .

Может быть удобно каррировать действие $α$ так, чтобы вместо этого имелся набор преобразований $α g : X \to X$ с одним преобразованием $α g$ для каждого элемента группы $g \in G$ . Тогда отношения идентичности и совместимости читаются

\alpha _{e}(x)=x

и

\alpha _{g}(\alpha _{h}(x))=(\alpha _{g}\circ \alpha _{h})(x)=\alpha _{gh}(x)

где $\circ$ — композиция функций . Вторая аксиома тогда утверждает, что композиция функций совместима с групповым умножением; они образуют коммутативную диаграмму . Эту аксиому можно еще сократить и записать как $α g \circ α h = α gh$ .

Учитывая вышеизложенное, очень часто вообще избегают написания $α$ и заменяют его либо точкой, либо вообще ничем. Таким образом, $α (g, x)$ можно сократить до $или g\cdotx,$ gx $особенно$ когда действие ясно из контекста. Тогда аксиомы

e{\cdot }x=x

g{\cdot }(h{\cdot }x)=(gh){\cdot }x

Из этих двух аксиом следует, что для любого фиксированного $g$ в $G$ функция из $X$ в себя, которая отображает $x$ в $g \cdot x$ , является биекцией , а с обратной биекцией соответствующее отображение для $g -1$ . Следовательно, можно эквивалентно определить групповое действие группы $G$ на $X$ как гомоморфизм группы из $G$ в симметрическую группу $Sym(X)$ всех биекций из $X$ в себя. ^[2]

Правое групповое действие [ править ]

Аналогично, правое групповое действие группы G $на$ X $—$ это функция

\alpha \colon X\times G\to X,

удовлетворяющее аналогичным аксиомам: ^[3]

Личность:	$\alpha (x,e)=x$
Совместимость:	$\alpha (\alpha (x,g),h)=\alpha (x,gh)$

(при этом $α (x, g)$ часто сокращается до $xg$ или $x \cdot g$ , когда рассматриваемое действие ясно из контекста)

Личность:	$x{\cdot }e=x$
Совместимость:	$(x{\cdot }g){\cdot }h=x{\cdot }(gh)$

для всех $g$ и $h$ в $G$ и $x$ в $X.$ всех

Разница между левыми и правыми действиями заключается в порядке, в котором произведение $gh$ действует на $x$ . Для левого действия $сначала действует h$ , а затем $g$ . Для правильного действия $сначала действует g$ , а затем $h$ . По формуле $(gh) -1 = час -1 г -1$ левое действие можно составить из правого действия путем композиции с обратной операцией группы. Кроме того, правое действие группы $G$ на $X$ можно рассматривать как левое действие ее противоположной группы $G. на$ на $Х.$

Таким образом, для установления общих свойств групповых действий достаточно рассмотреть только левые действия. Однако бывают случаи, когда это невозможно. Например, умножение группы вызывает как левое, так и правое действие на саму группу — умножение слева и справа соответственно.

Примечательные свойства действий [ править ]

Пусть $G$ действующая на множестве $X.$ — группа , Действие называется верный или эффективен , если $из g \cdot x = x$ для всех $x \in X$ следует, что $g = e G$ . Эквивалентно, гомоморфизм G $,$ в группу биекций $X$ , соответствующую действию инъективен .

Действие называется свободен (или полурегулярен или свободен от неподвижных точек ), если из утверждения, что $g \cdot x = x$ для некоторого $x \in X,$ уже следует, что $g = e G$ . Другими словами, ни один нетривиальный элемент $G$ фиксирует точку $X.$ не Это гораздо более сильное свойство, чем верность.

Например, действие любой группы на себя умножением слева бесплатно. Из этого наблюдения следует теорема Кэли о том, что любая группа может быть вложена в симметрическую группу (которая бесконечна, если группа такова). Конечная группа может действовать добросовестно на множестве размера, много меньшего ее мощности (однако такое действие не может быть свободным). Например, абелева 2-группа $(Z / 2 Z) н$ (мощности $2 н$ ) действует точно на множестве размера $2 n$ . Это не всегда так, например циклическая группа $Z /2 н Z$ не может действовать точно на множестве размера меньше $2. н$ .

В общем, наименьшее множество, на котором можно определить точное действие, может сильно различаться для групп одинакового размера. Например, три группы размера 120 — это симметрическая группа $S 5$ , икосаэдрическая группа $A 5 \times Z / 2 Z$ и циклическая группа $Z / 120 Z$ . Наименьшие множества, на которых могут быть определены точные действия для этих групп, имеют размер 5, 7 и 16 соответственно.

Свойства транзитивности [ править ]

Действие $G$ на $X$ называется транзитивно, если для любых двух точек $x, y \in X$ существует $g \in G$ такой, что $g \cdot x = y$ .

Действие просто транзитивно (или резко транзитивно , или регулярный ), если он одновременно транзитивен и свободен. Это означает, что при $x, y \in X$ элемент $g$ в определении транзитивности единственный. Если $на X$ действует просто транзитивно группа $G$ , то оно называется главным однородным пространством для $G$ или $G$ -торсором.

Для целого числа $n \geq 1$ действие $n$ -транзитивен , если $X$ имеет не менее $n$ элементов и для любой пары $n$ -кортежей $(x 1, ..., x n), (y 1, ..., y n) \in X н$ с попарно различными элементами (то есть $x i \neq x j$ , $y i \neq y j,$ когда $i \neq j$ ), существует $g \in G$ такой, что $g \cdot x i = y i$ для $i = 1, ..., n$ . Другими словами, действие на подмножестве $X н$ кортежей без повторяющихся записей является транзитивным. При $n = 2, 3$ это часто называют двойной и соответственно тройной транзитивностью. Класс 2-транзитивных групп (т. е. подгрупп конечной симметрической группы, действие которых 2-транзитивно) и, в более общем смысле, кратно транзитивных групп, хорошо изучен в теории конечных групп.

Действие — это резко $n$ -транзитивен , когда действие над кортежами без повторяющихся записей в $X н$ является резко транзитивным.

Примеры [ править ]

Действие симметрической группы $X$ транзитивно, фактически $n$ -транзитивно для любого $n$ вплоть до мощности $X$ . Если $X$ имеет мощность $n$ , действие знакопеременной группы является $(n - 2)$ -транзитивным, но не $(n - 1)$ -транзитивным.

Действие общей линейной группы векторного пространства $V$ на множестве $V ∖ {0}$ ненулевых векторов транзитивно, но не 2-транзитивно (аналогично действию специальной линейной группы , если размерность $v$ равна минимум 2). Действие ортогональной группы евклидова пространства не транзитивно на ненулевых векторах, а на единичной сфере .

Примитивные действия [ править ]

Действие $G$ на $X$ называется примитивным , если не существует разбиения X $,$ сохраняемого всеми элементами $G$ , кроме тривиальных разбиений (разбиение на одиночный кусок и двойственное ему разбиение на одиночные элементы ).

Топологические свойства [ править ]

Предположим, что $X$ — топологическое пространство и действие $G$ осуществляется гомеоморфизмами .

Действие называется блуждающим , если для каждого $x \in X$ существует окрестность $U$ такая, что существует лишь конечное число $g \in G$ , такое что $g \cdot U \cap U \neq \emptyset$ . ^[4]

В более общем смысле точка $x \in X$ называется точкой разрыва действия $G$ , если существует открытое подмножество $U ∋ x$ такое, что существует только конечное число $g \in G$ такое, что $g \cdot U \cap U \neq \emptyset$ . Областью разрыва действия является множество всех точек разрыва. Эквивалентно, это наибольшее $G$ -стабильное открытое подмножество $Ω \subset X$ такое, что действие $G$ на $Ω$ является блуждающим. ^[5] В динамическом контексте это также называется блуждающим множеством .

Действие является собственно разрывным , если для любого компактного подмножества $K \subset X$ существует только конечное число $g \in G$ таких, что $g \cdot K \cap K \neq \emptyset$ . Это строго сильнее, чем блуждание; например, действие $Z$ на $R 2 ∖ {(0, 0)},$ заданный $n \cdot(x, y) = (2 н х, 2 - п y)$ блуждающий и свободный, но не прерывистый. ^[6]

Действие палубных преобразований основной группы локально односвязного пространства на накрывающее является блуждающим и свободным. Такие действия можно охарактеризовать следующим свойством: каждый $x \in X$ имеет окрестность $U$ такую, что $g \cdot U \cap U = \emptyset$ для каждого $g \in G ∖ {e G}$ . ^[7] Действия с этим свойством иногда называют свободно разрывными , а наибольшее подмножество, на котором действие свободно разрывно, называют тогда свободным регулярным множеством . ^[8]

Действие группы $G$ на локально компактном пространстве $X$ называется кокомпактным, если существует компактное подмножество $A \subset X$ такое, что $X = G \cdot A$ . Для собственно разрывного действия кокомпактность эквивалентна компактности фактор-пространства $G \ X$ .

Действия топологических групп [ править ]

Предположим теперь, $что G$ — топологическая группа , а $X$ — топологическое пространство, на котором она действует посредством гомеоморфизмов. Действие называется непрерывным, если отображение $G \times X \to X$ непрерывно для топологии произведения .

Говорят, что действие правильное , если отображение $G \times X \to X \times X$ , определенное формулой $(g, x) \mapsto (x, g \cdot x),$ является правильным . ^[9]Это означает, что для данных компактов $K, K'$ множество $g \in G$ такое, что $g \cdot K \cap K' \neq \emptyset,$ компактно. В частности, это эквивалентно тому, что собственный разрыв $G$ — дискретная группа .

Он называется локально свободным, существует окрестность $U$ точки $eG если$ такая, что $g \cdot x \neq x$ для всех $x \in X$ и $g \in U ∖ {e G}$ .

Действие называется сильно непрерывным, если орбитальное отображение $g \mapsto g \cdot x$ непрерывно для каждого $x \in X$ . Вопреки тому, что следует из названия, это более слабое свойство, чем непрерывность действия. ^{[ нужна цитата ]}

Если $G$ — группа Ли и $X —$ , многообразие то подпространство гладких точек действия — это множество точек $x \in X$ таких, что отображение $g \mapsto g \cdot x$ гладко дифференцируемое . Существует хорошо разработанная теория действий группы Ли , т.е. действий, гладких на всем пространстве.

Линейные действия [ править ]

Если $g$ действует линейными преобразованиями на модуле над коммутативным кольцом , то действие называется неприводимым, если не существует собственных ненулевых $g$ -инвариантных подмодулей. Говорят, что оно полупростое, если оно распадается в прямую сумму неприводимых действий.

Орбиты и стабилизаторы [ править ]

Рассмотрим группу $G$ действующую на множестве $X.$ , орбита элемента $x$ в $X$ - это набор элементов в $X$ , в который $x$ может быть перемещен элементами $G$ . Орбита $x$ обозначается $G \cdot x$ :

G{\cdot }x=\{g{\cdot }x:g\in G\}.

что множество орбит (точек $x$ в) $X$ под действием $G$ образуют разбиение X $Определяющие свойства группы гарантируют ,$ . Соответствующее отношение эквивалентности определяется следующим образом: $x ~ y$ тогда и только тогда, когда существует $g$ в $G$ такой, что $g \cdot x = y$ . Тогда орбиты являются классами эквивалентности по этому отношению; два элемента $x$ и $y$ эквивалентны тогда и только тогда, когда их орбиты одинаковы, то есть $G \cdot x = G \cdot y$ .

Действие группы транзитивно тогда и только тогда, когда оно имеет ровно одну орбиту, то есть если существует $x$ в $X$ такой, что $G \cdot x = X$ . Это так тогда и только тогда, когда $G \cdot x = X$ для всех $x$ в $X$ (при условии, что $X$ непусто).

Множество всех орбит $X$ под действием $G$ записывается как $X / G$ (или реже как $G \ X$ ) и называется частное действия. В геометрических ситуациях его можно назвать пространство орбит , а в алгебраических ситуациях его можно назвать пространством коинварианты и обозначаются $X G$ , в отличие от инвариантов (неподвижных точек), обозначаемых $X г$ : коинварианты являются частными , а инварианты - подмножеством . Коинвариантная терминология и обозначения используются, в частности, в групповых когомологиях и групповых гомологиях , которые используют одно и то же соглашение о верхнем/индексном индексе.

Инвариантные подмножества [ править ]

Если $Y$ — подмножество X $y$ , то $G \cdot Y$ множество ${g \cdot \in : g и G обозначает y \in Y}$ . Подмножество $Y$ называется инвариантным относительно $G,$ если $G \cdot Y = Y$ (что эквивалентно $G \cdot Y \subseteq Y$ ). В этом случае $G$ также действует на $Y$ ограничивая , действие $Y$ . Подмножество $Y$ называется фиксированным относительно $G$ , если $g \cdot y = y$ для всех $g$ в $G$ и всех $y$ в $Y$ . Каждое подмножество, фиксированное относительно $G$ , также инвариантно относительно $G$ , но не наоборот.

Каждая орбита является инвариантным подмножеством $X$ , на котором $G$ действует транзитивно . И наоборот, любое инвариантное подмножество $X$ представляет собой объединение орбит. Действие $G$ на $X$ транзитивно тогда и только тогда , когда все элементы эквивалентны, то есть существует только одна орбита.

элементом $G$ -инвариантным X $g$ является $x \in X$ такой, что $\cdot x = x для$ всех $g \in G$ . Множество всех таких $x$ обозначается $X г$ и $G$ инвариантами X. $-$ называются Когда $X$ является $G$ -модулем , $X г$ — нулевая когомологий группы $G$ с коэффициентами из $X$ , а высшие группы когомологий — производные функторы функтора - G $группа$ инвариантов.

Фиксированные точки и подгруппы стабилизаторов [ править ]

Учитывая $g$ в $G$ и $x$ в $X$ с $g \cdot x = x$ , говорят, что « $x$ является фиксированной точкой $g$ » или что « $g$ фиксирует $x$ ». Для $x$ в $X$ каждого подгруппа стабилизатора группы $G$ относительно $x$ (также называемая группой изотропии или маленькой группой ^[10]) — это набор всех элементов в $G$ , которые фиксируют $x$ :

G_{x}=\{g\in G:g{\cdot }x=x\}.

Это подгруппа G

, хотя обычно она

не является нормальной. Действие

G

на

X

свободно тогда и только тогда , когда все стабилизаторы тривиальны. Ядро

N

гомоморфизма с симметрической группой

G \to Sym(X)

задается пересечением стабилизаторов

G x

для

x

в

X.

всех Если

N

тривиально, действие называется точным (или эффективным).

Пусть $x$ и $y$ — два элемента из $X$ , и пусть $g$ — элемент группы такой, что $y = g \cdot x$ . Тогда две группы стабилизаторов $G x$ и $G y$ связаны соотношением $G y = gG x g -1$ . Доказательство: по определению $h \in G y$ тогда и только тогда, когда $h \cdot(g \cdot x) = g \cdot x$ . Применение $г -1$ в обе части этого равенства дает $(g -1 чг)\cdot Икс знак равно Икс$ ; то есть $г -1 hg \in грамм Икс$ . Противоположное включение получается аналогично, если взять $h \in G x$ и $x = g -1 \cdot y$ .

Вышесказанное говорит о том, что стабилизаторы элементов, находящихся на одной орбите, сопряжены друг с другом. Таким образом, каждой орбите мы можем сопоставить класс сопряженности подгруппы $G$ (т. е. множество всех сопряженных подгрупп). Пусть $(H)$ обозначает класс $H.$ сопряженности Тогда орбита $O$ имеет тип $(H)$ , если стабилизатор $G x$ некоторого/любого $x$ в $O$ принадлежит $(H)$ . Максимальный тип орбиты часто называют основным типом орбиты .

орбиты Бернсайда и лемма Теорема о стабилизаторе

Орбиты и стабилизаторы тесно связаны. Для фиксированного $x$ в $X$ рассмотрим отображение $f : G \to X,$ заданное формулой $g \mapsto g \cdot x$ . По определению образ $f (G)$ этого отображения — это орбита $G \cdot x$ . Условие того, чтобы два элемента имели одинаковое изображение:

f(g)=f(h)\iff g{\cdot }x=h{\cdot }x\iff g^{-1}h{\cdot }x=x\iff g^{-1}h\in G_{x}\iff h\in gG_{x}.

Другими словами,

f (g) = f (h)

тогда и только тогда, когда

g

и

h

лежат в одном смежном классе для подгруппы стабилизатора

G x

. Таким образом, волокно

f -1 ({y})

функции

f

над любым

y

из

G \cdot x

содержится в таком смежном классе, и каждый такой смежный класс также встречается как слой. Поэтому

f

индуцирует биекцию между множеством

G / G x

смежных классов для подгруппы стабилизатора и орбитой

G \cdot x

, что отправляет

gG x \mapsto g \cdot x

. ^[11] Этот результат известен как теорема о стабилизаторе орбиты .

Если $G$ конечна, то теорема о стабилизаторе орбиты вместе с теоремой Лагранжа дает

|G\cdot x|=[G\,:\,G_{x}]=|G|/|G_{x}|,

другими словами, длина орбиты

x

, умноженная на порядок ее стабилизатора, равна порядку группы . В частности, это означает, что длина орбиты является делителем порядка группы.

Пример. Пусть

G

— группа простого порядка

p

, действующая на множестве

X

с

k

элементами. Поскольку каждая орбита имеет либо

1

, либо

p

элементов, существует не более

k mod p

орбит длины

1

, которые являются

G

-инвариантными элементами.

Этот результат особенно полезен, поскольку его можно использовать для подсчета аргументов (обычно в ситуациях, когда $X$ также конечно).

Пример: мы можем использовать теорему о стабилизаторе орбиты для подсчета автоморфизмов графа . Рассмотрим кубический граф , как показано на рисунке, и пусть

G

обозначает его группу автоморфизмов . Тогда

G

действует на множестве вершин

{1, 2, ..., 8}

, и это действие транзитивно, в чем можно убедиться, составив вращения вокруг центра куба. Таким образом, по теореме о стабилизаторе орбиты

| г | = | Г \cdot 1 | | Г 1 | = 8 | Г 1 |

. Применяя теперь теорему к стабилизатору

G 1

, мы можем получить

| Г 1 | = | (г 1) \cdot 2 | | (г 1) 2 |

. Любой элемент

G

, который фиксирует 1, должен отправить 2 либо в 2, 4 или 5. В качестве примера таких автоморфизмов рассмотрим вращение вокруг диагональной оси через 1 и 7 на

2 π /3

, которое переставляет местами 2, 4, 5 и 3, 6, 8 и исправляет 1 и 7. Таким образом,

| (г 1) \cdot 2 | = 3

. Применение теоремы в третий раз дает

| (г 1) 2 | = | ((г 1) 2) \cdot 3 | | ((г 1) 2) 3 |

. Любой элемент

G

, который фиксирует 1 и 2, должен отправить 3 либо в 3, либо в 6. Отражение куба на плоскости через 1, 2, 7 и 8 является таким автоморфизмом, переводящим 3 в 6, таким образом

| ((г 1) 2) \cdot 3 | = 2

. Также можно увидеть, что

((G 1) 2) 3

состоит только из тождественного автоморфизма, так как любой элемент

G

, фиксирующий 1, 2 и 3, должен также фиксировать все остальные вершины, поскольку они определяются их смежностью с 1, 2 и 3. Объединение предыдущего вычислений, теперь мы можем получить

| г | знак равно 8 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 знак равно 48

.

Результатом, тесно связанным с теоремой о стабилизаторе орбиты, является лемма Бернсайда :

|X/G|={\frac {1}{|G|}}\sum _{g\in G}|X^{g}|,

где

Х г

- это набор точек, фиксированных

g

. Этот результат в основном полезен, когда

G

и

X

конечны, когда его можно интерпретировать следующим образом: количество орбит равно среднему числу точек, фиксированных на элемент группы.

Зафиксировав группу $G$ , множество формальных разностей конечных $G$ -множеств образует кольцо, называемое кольцом Бернсайда группы $G$ , где сложение соответствует несвязному объединению , а умножение - декартову произведению .

Примеры [ править ]

The тривиальное действие любой группы $G$ на любом множестве $X$ определяется равенством $g \cdot x = x$ для всех $g$ в $G$ и всех $x$ в $X$ ; то есть каждый элемент группы вызывает тождественную перестановку на $X$ . ^[12]
В каждой группе $G$ это действие группы $G$ на $G$ : $g \cdot x = gx$ для всех $g$ , $x$ в $G.$ умножение слева — Это действие является свободным и транзитивным (регулярным) и составляет основу быстрого доказательства теоремы Кэли о том, что каждая группа изоморфна подгруппе симметрической группы перестановок множества $G$ .
В каждой группе $с$ подгруппой $H$ левое умножение является действием $G$ на множестве смежных классов $G / H$ : $g \cdot aH = gaH$ для всех $g$ , $a$ в $G.$ G В частности, если $H$ не содержит нетривиальных нормальных подгрупп группы $G,$ это индуцирует изоморфизм группы $G$ в подгруппу группы перестановок степени $[G : H]$ .
В каждой группе $G$ — сопряжение это действие $G$ на $G$ : $g \cdot x = gxg -1$ . Для варианта правильного действия обычно используется экспоненциальная запись: $x г = г -1 хг$ ; оно удовлетворяет ( $x г) час = х хх$ .
В каждой группе $G$ с подгруппой $H$ сопряжение — это действие группы $G$ на сопряженные группы $H$ : $g \cdot K = gKg -1$ для всех $g$ в $G$ и $K$ , сопряженных с $H$ .
Действие $Z$ на множестве $X$ определяется автоморфизмом X , $X$ заданным действием 1. Аналогично действие $Z /2 Z$ на $X.$ эквивалентно инволюции данным $однозначно$ определяет и
Симметричная группа $S n$ и ее подгруппы действуют на множестве ${1, ..., n}$ , переставляя ее элементы
многогранника Группа симметрии действует на множестве вершин этого многогранника. Он также действует на множество граней или множество ребер многогранника.
Группа симметрии любого геометрического объекта действует на множество точек этого объекта.
Для координатного пространства $V$ над полем $F$ с группой единиц $F *$ отображение $F * \times V \to V$ , заданное формулой $a \times (x 1, x 2, ..., x n) \mapsto (ax 1, ax 2, ..., ax n)$ — групповое действие, называемое скалярным умножением .
Группа автоморфизмов векторного пространства (или графа , или группы, или кольца...) действует на векторное пространство (или множество вершин графа, или группы, или кольца...).
Общая линейная группа $GL(n, K)$ и ее подгруппы, особенно ее подгруппы Ли (включая специальную линейную группу $SL(n, K)$ , ортогональную группу $O(n, K)$ , специальную ортогональную группу $SO(n, K)$ , и симплектическая группа $Sp(n, K)$ ) являются группами Ли , действующими в векторном пространстве $K н$ . Групповые операции задаются умножением матриц из групп на векторы из $K н$ .
Общая линейная группа $GL(n, Z)$ действует на $Z н$ действием естественной матрицы. Орбиты его действия классифицируются по наибольшему общему делителю координат вектора в $Z н$ .
Аффинная группа действует транзитивно на точках аффинного пространства , а подгруппа V аффинной группы (т. е. векторного пространства) оказывает транзитивное и свободное (т. е. регулярное ) действие; на этих точках ^[13] действительно, это можно использовать для определения аффинного пространства .
Проективная линейная группа $PGL(n + 1, K)$ и ее подгруппы, особенно ее подгруппы Ли, которые являются группами Ли, действующими в проективном пространстве $P н (К)$ . Это фактор действия полной линейной группы на проективном пространстве. Особенно примечательна $PGL(2, K)$ — симметрия проективной прямой, которая является резко 3-транзитивной, сохраняя перекрестное отношение ; группа Мёбиуса $PGL(2, C)$ представляет особый интерес.
Изометрия узоры плоскости действует на набор 2D-изображений и узоров, таких как обоев . Определение можно уточнить, уточнив, что подразумевается под изображением или узором, например, функция положения со значениями в наборе цветов. Изометрии на самом деле являются одним из примеров аффинной группы (действия). ^{[ сомнительно – обсудить ]}
Множества, на которые действует группа $G$ , составляют категорию G $-множеств$ , в которых объектами являются $G$ -множества, а морфизмами являются $гомоморфизмы G$ -множеств: функции $f : X \to Y$ такие, что $g \cdot(f (x)) = f (г \cdot Икс)$ для каждого $г$ в $G$ .
Группа Галуа L расширения поля $/ K действует$ на поле $L$ но оказывает лишь тривиальное действие на элементы подполя $K.$ , Подгруппы $Gal(L / K)$ соответствуют подполям $L$ содержащим $K$ , то есть расширениям промежуточных полей между $L$ и $K.$ ,
Аддитивная группа действительных чисел $(R, +)$ действует на фазовое пространство « хороших » систем в классической механике (и в более общих динамических системах ) путем перевода времени : если $t$ находится в $R$ , а $x$ находится в фазе пространстве, то $x$ описывает состояние системы, а $t + x$ определяется как состояние системы $через t$ секунд, если $t$ положительное, или $- t$ секунд назад, если $t$ отрицательное.
Аддитивная группа действительных чисел $(R, +)$ действует на множество действительных функций действительной переменной различными способами, причем $(t \cdot f)(x)$ равна, например, $f (x + t)$ , $f (x) + t$ , $f (xe т)$ , $ж (x) е т$ , $ж (Икс + т) е т$ , или $f (xe т) + t$ , но не $f (xe т + т)$ .
Учитывая групповое действие $G$ на $X$ , мы можем определить индуцированное действие $G$ на множестве степеней X $,$ полагая $g \cdot U = {g \cdot u : u \in U}$ для каждого подмножества $U$ из $X$ и каждого $g$ в $G$ . Это полезно, например, при изучении действия большой группы Матье на 24-множестве и при изучении симметрии в некоторых моделях конечной геометрии .
Кватернионы с нормой 1 ( версоры ) как мультипликативная группа действуют на $R 3$ : для любого такого кватерниона $z = cos α /2 + v sin α /2$ отображение $f (x) = z x z *$ — вращение против часовой стрелки на угол $α$ вокруг оси, заданной единичным вектором $v$ ; $z$ – то же вращение; см. кватернионы и пространственное вращение . Это не точное действие, потому что кватернион $-1$ оставляет все точки там, где они были, как и кватернион $1$ .
Для данных левых $G$ -множеств $X$ , $Y$ существует левое $G$ -множество $Y. Икс$ элементами которого являются $G$ -эквивариантные отображения $α : X \times G \to Y$ и с левым $G$ -действием, заданным выражением $g \cdot α = α \circ (id X \times - g)$ (где « $- g$ » означает умножение справа на $g$ ). Это $G$ -множество обладает тем свойством, что его неподвижные точки соответствуют эквивариантным отображениям $X \to Y$ ; в более общем смысле, это экспоненциальный объект в категории $G$ -множеств.

Групповые действия и группоиды [ править ]

Понятие группового действия может быть закодировано группоидом G действия $' = G ⋉ X,$ ассоциированным с групповым действием. Стабилизаторами действия являются группы вершин группоида, а орбитами действия — его компоненты.

Морфизмы и изоморфизмы между G -множествами [ править ]

Если $X$ и $Y$ — два $G$ -множества, морфизм из $X$ в $Y$ — это функция $f : X \to Y$ такая, что $f (g \cdot x) = g \cdot f (x)$ для всех $g$ в $G$ и всех $x$ в $X$ . Морфизмы $G-$ множеств называют также эквивариантными отображениями или $G$ - отображениями .

Композиция двух морфизмов снова является морфизмом. Если морфизм $f$ биективен, то его обратный также является морфизмом. В этом случае $f$ называется изоморфизмом , а два $G$ -множества $X$ и $Y$ называются изоморфными ; для всех практических целей изоморфные $G$ -множества неразличимы.

Некоторые примеры изоморфизмов:

Каждое регулярное $действие G$ изоморфно действию $G$ на $G$ , заданному умножением слева.
Каждое свободное $действие G$ изоморфно $G \times S$ , где $S$ — некоторое множество, а $G$ действует на $G \times S$ умножением слева по первой координате. ( $S$ можно считать множеством орбит $X / G$ .)
Каждое транзитивное $действие G$ изоморфно умножению слева на $G$ на множестве левых смежных классов некоторой подгруппы $H$ группы $G$ . ( $H$ можно считать группой стабилизатора любого элемента исходного $G$ -множества.)

С этим понятием морфизма совокупность всех $G$ -множеств образует категорию ; эта категория является топосом Гротендика (на самом деле, если предположить классическую металогику , этот топос будет даже булевым).

Варианты и обобщения [ править ]

Мы также можем рассмотреть действия моноидов на множествах, используя те же две аксиомы, что и выше. Однако это не определяет биективные отображения и отношения эквивалентности. См. действие полугруппы .

Вместо действий на множествах мы можем определить действия групп и моноидов на объекты произвольной категории: начать с объекта $X$ некоторой категории, а затем определить действие на $как$ гомоморфизм моноида в моноид эндоморфизмов X $X$ . Если $X$ имеет базовое множество, то все определения и факты, изложенные выше, могут быть перенесены. Например, если мы возьмем категорию векторных пространств, мы получим представления групп таким образом .

Мы можем рассматривать группу $G$ как категорию с единственным объектом, в которой каждый морфизм обратим . Тогда (левое) групповое действие — это не что иное, как (ковариантный) функтор из $G$ в категорию множеств , а представление группы — это функтор из $G$ в категорию векторных пространств . Тогда морфизм между $G$ -множествами является естественным преобразованием функторов группового действия. По аналогии, действие группоида — это функтор из группоида в категорию множеств или в какую-либо другую категорию.

Помимо непрерывных действий топологических групп на топологических пространствах, часто рассматривают также гладкие действия групп Ли на гладких многообразиях , регулярные действия алгебраических групп на алгебраических многообразиях и действия групповых схем на схемах . Все это примеры групповых объектов , действующих на объекты соответствующей категории.

Галерея [ править ]

Орбита фундаментального сферического треугольника (отмечена красным) под действием полной октаэдрической группы.
Орбита фундаментального сферического треугольника (отмечена красным) под действием полной группы икосаэдра.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

Цитаты [ править ]

^ Эйе и Чанг (2010). Курс абстрактной алгебры . п. 144.
^ Это делает, например, Смит (2008). Введение в абстрактную алгебру . п. 253.
^ «Определение: аксиомы правильных групповых действий» . Доказательство вики . Проверено 19 декабря 2021 г.
^ Терстон 1997 , Определение 3.5.1(iv).
^ Капович 2009 , стр. 73.
^ Терстон 1980 , с. 176.
^ Хэтчер 2002 , с. 72.
^ Маскет 1988 , II.A.1, II.A.
^ Том Дик 1987 .
^ Процессези, Клаудио (2007). Группы Ли: подход через инварианты и представления . Springer Science & Business Media. п. 5. ISBN 9780387289298 . Проверено 23 февраля 2017 г.
^ М. Артин, Алгебра , Предложение 6.8.4, стр. 179.
^ Эйе и Чанг (2010). Курс абстрактной алгебры . п. 145.
^ Рид, Майлз (2005). Геометрия и топология . Кембридж, Великобритания, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 170. ИСБН 9780521613255 .

Ссылки [ править ]

Ашбахер, Майкл (2000). Теория конечных групп . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78675-1 . МР 1777008 .
Черт возьми, Дэвид; Ричард Фут (2003). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Уайли. ISBN 0-471-43334-9 .
Эй, Минкинг; Чанг, Шоу-Те (2010). Курс абстрактной алгебры . Всемирная научная. ISBN 978-981-4271-88-2 .
Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-79540-1 , МР 1867354 .
Ротман, Джозеф (1995). Введение в теорию групп . Тексты для аспирантов по математике 148 (4-е изд.). Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-94285-8 .
Смит, Джонатан Д.Х. (2008). Введение в абстрактную алгебру . Учебники по математике. ЦРК Пресс. ISBN 978-1-4200-6371-4 .
Капович, Майкл (2009), Гиперболические многообразия и дискретные группы , Modern Birkhäuser Classics, Birkhäuser, стр. xxvii+467, ISBN 978-0-8176-4912-8 , Збл 1180.57001
Маскит, Бернард (1988), Клейнианские группы , Основы математических наук, том. 287, Springer-Verlag, стр. XIII+326, Zbl 0627.30039
Терстон, Уильям (1980), Геометрия и топология трехмерных многообразий , конспект лекций в Принстоне, с. 175
Терстон, Уильям П. (1997), Трехмерная геометрия и топология. Том. 1. , Принстонская математическая серия, том. 35, Princeton University Press, стр. x+311, Zbl 0873.57001
Том Дик, Таммо (1987), Группы преобразований , Исследования де Грютера по математике, том. 8, Берлин: Вальтер де Грюйтер и компания, с. 29, номер домена : 10.1515/9783110858372.312 , ISBN 978-3-11-009745-0 , МР 0889050

Внешние ссылки [ править ]

[1] Эйе и Чанг (2010). Курс абстрактной алгебры . п. 144.

[2] Это делает, например, Смит (2008). Введение в абстрактную алгебру . п. 253.

[3] «Определение: аксиомы правильных групповых действий» . Доказательство вики . Проверено 19 декабря 2021 г.

[FOOTNOTEThurston1997Definition_3.5.1(iv)-4] Терстон 1997 , Определение 3.5.1(iv).

[FOOTNOTEKapovich2009p._73-5] Капович 2009 , стр. 73.

[FOOTNOTEThurston1980176-6] Терстон 1980 , с. 176.

[FOOTNOTEHatcher2002p._72-7] Хэтчер 2002 , с. 72.

[FOOTNOTEMaskit1988II.A.1,_II.A.2-8] Маскет 1988 , II.A.1, II.A.

[FOOTNOTEtom_Dieck1987-9] Том Дик 1987 .

[Procesi-10] Процессези, Клаудио (2007). Группы Ли: подход через инварианты и представления . Springer Science & Business Media. п. 5. ISBN 9780387289298 . Проверено 23 февраля 2017 г.

[11] М. Артин, Алгебра , Предложение 6.8.4, стр. 179.

[12] Эйе и Чанг (2010). Курс абстрактной алгебры . п. 145.

[13] Рид, Майлз (2005). Геометрия и топология . Кембридж, Великобритания, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 170. ИСБН 9780521613255 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]