Жесткая трансформация

В математике жесткое преобразование (также называемое евклидовым преобразованием или евклидовой изометрией ) — это геометрическое преобразование , евклидова пространства которое сохраняет евклидово расстояние между каждой парой точек.

Жесткие преобразования включают вращения , перемещения , отражения или любую их последовательность. Отражения иногда исключаются из определения жесткого преобразования, требуя, чтобы преобразование также сохраняло направленность объектов в евклидовом пространстве. (Отражение не сохраняет ручность; например, оно преобразует левую руку в правую.) Чтобы избежать двусмысленности, преобразование, сохраняющее леворукость, известно как жесткое движение , евклидово движение или собственное жесткое преобразование .

Во втором измерении твердое движение представляет собой либо перемещение , либо вращение . В третьем измерении каждое твердое движение можно разложить на композицию вращения и перемещения, поэтому его иногда называют ротационным перемещением . В третьем измерении все твёрдые движения также являются винтовыми движениями (это теорема Часля ).

В размерности не более трех любое несобственное жесткое преобразование можно разложить на несобственное вращение с последующим перемещением или на последовательность отражений .

Любой объект сохранит ту же форму и размер после правильной жесткой трансформации.

Все жесткие преобразования являются примерами аффинных преобразований . Набор всех (правильных и несобственных) жестких преобразований представляет собой математическую группу , называемую евклидовой группой , обозначаемую E( n ) для n -мерных евклидовых пространств. Множество жестких движений называется специальной евклидовой группой и обозначается SE( n ) .

В кинематике твердые движения в трехмерном евклидовом пространстве используются для представления перемещений твердых тел . Согласно теореме Шалеса , любое жесткое преобразование можно выразить как винтовое движение .

Формальное определение

Жесткое преобразование формально определяется как преобразование, которое при воздействии на любой вектор v создает преобразованный вектор T ( v ) вида

T ( v ) = R v + t

где Р ^Т = Р ⁻¹ (т. е. R — ортогональное преобразование ), а t — вектор, задающий сдвиг начала координат.

Кроме того, правильное жесткое преобразование имеет

оно (R) = 1

это означает, что R не вызывает отражения и, следовательно, представляет собой вращение (ортогональное преобразование, сохраняющее ориентацию). Действительно, когда матрица ортогонального преобразования создает отражение, ее определитель равен -1.

Формула расстояния

Мера расстояния между точками, или метрика , необходима для того, чтобы подтвердить, что преобразование является жестким. Формула евклидова расстояния для R ^н является обобщением теоремы Пифагора . Формула дает квадрат расстояния между двумя точками X и Y как сумму квадратов расстояний по осям координат, то есть

$$d\left(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \right)^{2}=\left(X_{1}-Y_{1}\right)^{2}+\left(X_{2}-Y_{2}\right)^{2}+\dots +\left(X_{n}-Y_{n}\right)^{2}=\left(\mathbf {X} -\mathbf {Y} \right)\cdot \left(\mathbf {X} -\mathbf {Y} \right).$$

где X = ( X ₁ , X ₂ , ..., X _n ) и Y = ( Y ₁ , Y ₂ , ..., Y _n ) , а точка обозначает скалярное произведение .

Используя эту формулу расстояния, жесткое преобразование g : R ^н → Р ^н имеет собственность,

$$d(g(\mathbf {X} ),g(\mathbf {Y} ))^{2}=d(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )^{2}.$$

Переводы и линейные преобразования

Перевод преобразование векторного пространства добавляет вектор d к каждому вектору в пространстве, что означает, что это

g ( v ) = v + d .

Легко показать, что это жесткое преобразование, показав, что расстояние между переведенными векторами равно расстоянию между исходными векторами:

$$d(\mathbf {v} +\mathbf {d} ,\mathbf {w} +\mathbf {d} )^{2}=(\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )\cdot (\mathbf {v} +\mathbf {d} -\mathbf {w} -\mathbf {d} )=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )\cdot (\mathbf {v} -\mathbf {w} )=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2}.$$

Линейное преобразование векторного пространства L : R ^н → Р ^н , сохраняет линейные комбинации ,

$$L(\mathbf {V} )=L(a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )=aL(\mathbf {v} )+bL(\mathbf {w} ).$$

Линейное преобразование L может быть представлено матрицей, что означает

L  : v → [ L ] v ,

где [ L ] — матрица размера n × n .

Линейное преобразование является жестким преобразованием, если оно удовлетворяет условию:

$$d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=d(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )^{2},$$

то есть

$$d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )\cdot ([L]\mathbf {v} -[L]\mathbf {w} )=([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ))\cdot ([L](\mathbf {v} -\mathbf {w} )).$$

Теперь воспользуемся тем фактом, что скалярное произведение двух векторов v . w можно записать как матричную операцию v ^Т w , где T обозначает транспонирование матрицы, мы имеем

$$d([L]\mathbf {v} ,[L]\mathbf {w} )^{2}=(\mathbf {v} -\mathbf {w} )^{\mathsf {T}}[L]^{\mathsf {T}}[L](\mathbf {v} -\mathbf {w} ).$$

Таким образом, линейное преобразование L является жестким, если его матрица удовлетворяет условию

$$[L]^{\mathsf {T}}[L]=[I],$$

где [ I ] — единичная матрица. Матрицы, удовлетворяющие этому условию, называются ортогональными. Это условие фактически требует, чтобы столбцы этих матриц были ортогональными единичными векторами.

Матрицы, удовлетворяющие этому условию, образуют математическую группу при операции умножения матриц, называемую ортогональной группой матриц размера n×n и обозначаемую O ( n ) .

Вычислите определитель условия для ортогональной матрицы, чтобы получить

$$\det \left([L]^{\mathsf {T}}[L]\right)=\det[L]^{2}=\det[I]=1,$$

который показывает, что матрица [ L ] может иметь определитель +1 или -1. Ортогональные матрицы с определителем −1 являются отражениями, а с определителем +1 — поворотами. Заметим, что множество ортогональных матриц можно рассматривать как состоящее из двух многообразий в R ^{n × n} разделенные набором сингулярных матриц.

Набор матриц вращения называется специальной ортогональной группой и обозначается SO( n ) . Это пример группы Ли , поскольку она имеет структуру многообразия.

См. также

• Деформация (механика)
• Движение (геометрия)