Ортогональное преобразование

В линейной алгебре ортогональное преобразование — это линейное преобразование T : V → V на вещественном пространстве внутреннего продукта V , которое сохраняет скалярный продукт . То есть для каждой пары u , v элементов V мы имеем

$\langle u,v\rangle =\langle Tu,Tv\rangle \,.$

Поскольку длины векторов и углы между ними определяются через скалярное произведение, ортогональные преобразования сохраняют длины векторов и углы между ними. В частности, ортогональные преобразования отображают ортонормированные базы в ортонормированные базы.

Ортогональные преобразования инъективны : если $Tv=0$ затем $0=\langle Tv,Tv\rangle =\langle v,v\rangle$, следовательно $v=0$, ядро поэтому $T$ тривиально.

Ортогональные преобразования в двух- или трехмерном евклидовом пространстве — это жесткие вращения , отражения или комбинации вращения и отражения (также известные как неправильные вращения ). Отражения — это преобразования, которые меняют направление спереди назад, ортогонально плоскости зеркала, как это делают зеркала (реального мира). Матрицы , соответствующие собственным вращениям (без отражения), имеют определитель +1. Преобразования с отражением представлены матрицами с определителем −1. Это позволяет обобщить концепцию вращения и отражения на более высокие измерения.

В конечномерных пространствах матричное представление (относительно ортонормированного базиса ) ортогонального преобразования является ортогональной матрицей . Его строки представляют собой взаимно ортогональные векторы с единичной нормой, так что строки составляют ортонормированный базис V . Столбцы матрицы образуют другой ортонормированный базис V .

Если ортогональное преобразование обратимо (что всегда имеет место, когда V конечномерно), то его обратное преобразование $T^{-1}$ — еще одно ортогональное преобразование, идентичное транспонированию $T$: $T^{-1}=T^{\mathtt {T}}$.

Примеры

Рассмотрим пространство внутреннего продукта $(\mathbb {R} ^{2},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ со стандартным евклидовым внутренним произведением и стандартным базисом. Тогда матричное преобразование

$T={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$

является ортогональным. Чтобы увидеть это, рассмотрите

${\begin{aligned}Te_{1}={\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}&&Te_{2}={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}\end{aligned}}$

Затем,

${\begin{aligned}&\langle Te_{1},Te_{1}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\cos(\theta )\\\sin(\theta )\end{bmatrix}}=\cos ^{2}(\theta )+\sin ^{2}(\theta )=1\\&\langle Te_{1},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin(\theta )\cos(\theta )-\sin(\theta )\cos(\theta )=0\\&\langle Te_{2},Te_{2}\rangle ={\begin{bmatrix}-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-\sin(\theta )\\\cos(\theta )\end{bmatrix}}=\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1\\\end{aligned}}$

Предыдущий пример можно расширить для построения всех ортогональных преобразований. Например, следующие матрицы определяют ортогональные преобразования на $(\mathbb {R} ^{3},\langle \cdot ,\cdot \rangle )$:

${\begin{bmatrix}\cos(\theta )&-\sin(\theta )&0\\\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}\cos(\theta )&0&-\sin(\theta )\\0&1&0\\\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta )&-\sin(\theta )\\0&\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{bmatrix}}$

См. также

• Неправильное вращение
• Линейное преобразование
• Ортогональная матрица
• Унитарное преобразование