Вращение (математика)

Вращение в математике — понятие, зародившееся в геометрии . Любое вращение — это движение некоторого пространства , сохраняющее хотя бы одну точку . Например, оно может описывать движение твердого тела вокруг фиксированной точки. Вращение может иметь знак (как знак угла ): вращение по часовой стрелке имеет отрицательную величину, поэтому поворот против часовой стрелки имеет положительную величину.Вращение отличается от других типов движений: перемещений , не имеющих неподвижных точек, и (гиперплоскостных) отражений , каждое из которых имеет целую $(n - 1)$ -мерную плоскость неподвижных точек в $n$ - мерном пространстве.

Математически вращение — это карта . Все вращения вокруг фиксированной точки образуют группу по составу, называемую группой вращений (определенного пространства). Но в механике и, шире, в физике , под этим понятием часто понимают преобразование координат (важно, преобразование ортонормированного базиса ), поскольку для любого движения тела существует обратное преобразование, которое, если применить к системе отсчёта, ссылка приводит к тому, что тело находится в тех же координатах. Например, в двух измерениях вращение тела по часовой стрелке вокруг точки с сохранением фиксированных осей эквивалентно вращению осей против часовой стрелки вокруг той же точки, в то время как тело остается неподвижным. Эти два типа вращения называются активными и пассивными преобразованиями . ^[1]^[2]

Сопутствующие определения и терминология [ править ]

Группа вращений — это Ли группа вращений вокруг фиксированной точки . Эта (общая) неподвижная точка или центр называется центром вращения и обычно отождествляется с началом координат . Группа вращения представляет собой точечный стабилизатор в более широкой группе движений (сохраняющих ориентацию) .

Для конкретного вращения:

Ось вращения представляет собой линию его неподвижных точек. Они существуют только при $n > 2$ .
Плоскость вращения – это плоскость , инвариантная относительно вращения. В отличие от оси, ее точки сами по себе не фиксированы. Ось (если имеется) и плоскость вращения ортогональны .

Представление вращений — это особый формализм, алгебраический или геометрический, используемый для параметризации карты вращения. Это значение в некотором роде противоположно значению в теории групп .

Вращения (аффинных) пространств точек и соответствующих векторных пространств не всегда четко различаются. Первые иногда называют аффинными вращениями (хотя этот термин вводит в заблуждение), тогда как вторые — векторными вращениями . Подробности смотрите в статье ниже.

Определения и представления [ править ]

В евклидовой геометрии [ править ]

Вращение плоскости вокруг точки, за которым следует еще одно вращение вокруг другой точки, приводит к полному движению, которое представляет собой либо вращение (как на этом рисунке), либо перемещение .

Движение евклидова пространства аналогично его изометрии : оно оставляет расстояние между любыми двумя точками неизменным после преобразования. Но (правильный) поворот также должен сохранять структуру ориентации . Термин « неправильное вращение » относится к изометриям, которые меняют (переворачивают) ориентацию. На языке теории групп различие выражается как прямая и косвенная изометрии в евклидовой группе , где первая включает тождественный компонент . Любое прямое евклидово движение можно представить как композицию вращения вокруг неподвижной точки и перемещения.

В одномерном пространстве возможны только тривиальные вращения. В двух измерениях только один угол необходим для указания поворота вокруг начала координат — угол поворота , который определяет элемент группы кругов (также известный как $U(1)$ ). Вращение направлено на поворот объекта против часовой стрелки на угол $θ$ относительно начала координат ; см. ниже подробности . Композиция вращений суммирует их углы по модулю 1 оборота , что означает, что все двумерные вращения вокруг одной и той же точки коммутируют . Вращения вокруг разных точек, вообще говоря, не коммутируют. Любое двумерное прямое движение представляет собой либо перемещение, либо вращение; см . в разделе Изометрия евклидовой плоскости подробности .

Эйлерово вращение Земли. Внутренний (зеленый), прецессия (синий) и нутация (красный)

Вращения в трехмерном пространстве отличаются от вращений в двух измерениях по ряду важных особенностей. Вращения в трех измерениях, как правило, не коммутативны , поэтому порядок применения вращений важен даже относительно одной и той же точки. Кроме того, в отличие от двумерного случая, трехмерное прямое движение в общем положении представляет собой не вращение, а винтовую операцию . Вращение вокруг начала координат имеет три степени свободы (подробности см. В формализме вращения в трех измерениях ), столько же, сколько измерений.Трехмерное вращение можно задать несколькими способами. Наиболее распространенные методы:

Углы Эйлера (на фото слева). Любое вращение вокруг начала координат можно представить как композицию трех вращений, определяемых как движение, полученное изменением одного из углов Эйлера при оставлении двух других постоянными. Они представляют собой систему смешанных осей вращения , поскольку углы измеряются относительно смеси различных систем отсчета , а не одной системы координат, которая является чисто внешней или чисто внутренней. В частности, первый угол перемещает линию узлов вокруг внешней оси z , второй вращает вокруг линии узлов, а третий представляет собой внутреннее вращение (вращение) вокруг оси, закрепленной в движущемся теле. Углы Эйлера обычно обозначаются как α , β , γ или φ , θ , ψ . Это представление удобно только для вращений вокруг неподвижной точки.

Представление «ось-угол» (на рисунке справа) определяет угол с осью, вокруг которого происходит вращение. Это можно легко визуализировать. Есть два варианта его представления:
- как пара, состоящая из угла и единичного вектора оси, или
- как евклидов вектор, полученный умножением угла на этот единичный вектор, называемый вектором вращения (хотя, строго говоря, он является псевдовектором ).
Матрицы, версоры (кватернионы) и другие алгебраические см. в разделе «Формализм линейной и полилинейной алгебры» . вещи: подробности

Перспективная проекция на трехмерный тессеракт, вращающийся в четырехмерном евклидовом пространстве.

Общее вращение в четырех измерениях имеет только одну фиксированную точку, центр вращения, и не имеет оси вращения; см . вращении в 4-мерном евклидовом пространстве подробности . Вместо этого вращение имеет две взаимно ортогональные плоскости вращения, каждая из которых фиксирована в том смысле, что точки в каждой плоскости остаются внутри плоскостей. Вращение имеет два угла поворота, по одному на каждую плоскость вращения , на которые вращаются точки в плоскостях. Если это $ω 1$ и $ω 2,$ то все точки, не лежащие в плоскостях, вращаются на угол между $ω 1$ и $ω 2$ . Вращение в четырех измерениях вокруг фиксированной точки имеет шесть степеней свободы. Четырехмерное прямое движение в общем положении — это вращение вокруг некоторой точки (как и во всех даже евклидовых измерениях), но существуют и винтовые операции.

линейной и полилинейной Формализм алгебры

Когда кто-то рассматривает движения евклидова пространства, которые сохраняют начало координат , различие между точками и векторами , важное в чистой математике, может быть стерто, поскольку существует каноническое взаимно-однозначное соответствие между точками и векторами положения . То же самое верно и для геометрий, отличных от евклидовой , но пространство которых является аффинным пространством с дополнительной структурой ; см. пример ниже . Альтернативно векторное описание вращений можно понимать как параметризацию геометрических вращений вплоть до их композиции с трансляциями. Другими словами, одно векторное вращение представляет собой множество эквивалентных вращений вокруг всех точек пространства.

Движение, сохраняющее начало координат, аналогично линейному оператору на векторах, сохраняющему ту же геометрическую структуру, но выраженному через векторы. Для евклидовых векторов этим выражением является их величина ( евклидова норма ). В компонентах такой оператор выражается $n \times n$ ортогональной матрицей размера , которая умножается на векторы-столбцы .

Как уже говорилось , (собственное) вращение отличается от произвольного движения с неподвижной точкой сохранением ориентации векторного пространства. Таким образом, определитель ортогональной матрицы вращения должен быть равен 1. Единственная другая возможность для определителя ортогональной матрицы - это −1 , и этот результат означает, что преобразование представляет собой отражение в гиперплоскости , точечное отражение (для нечетного $n$ ) или другое какое-то неправильное вращение . Матрицы всех собственных вращений образуют специальную ортогональную группу .

Два измерения [ править ]

В двух измерениях, чтобы выполнить поворот с использованием матрицы, точка $(x, y),$ которую нужно повернуть против часовой стрелки, записывается как вектор-столбец, а затем умножается на матрицу вращения, рассчитанную на основе угла $θ$ :

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

.

Координаты точки после вращения — $x’, y’$ , а формулы для $x’$ и $y’$ :

{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}

Векторы ${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}$ и ${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}$ имеют одинаковую величину и, как и ожидалось, разделены углом $θ$ .

Очки на $R 2$ Плоскость также можно представить в виде комплексных чисел : точка $(x, y)$ на плоскости представлена комплексным числом.

z=x+iy

Его можно повернуть на угол $θ,$ умножив его на $e. я$ , а затем разложим произведение по формуле Эйлера следующим образом:

{\begin{aligned}e^{i\theta }z&=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)\\&=x\cos \theta +iy\cos \theta +ix\sin \theta -y\sin \theta \\&=(x\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )\\&=x'+iy',\end{aligned}}

и приравнивание вещественной и мнимой частей дает тот же результат, что и двумерная матрица:

{\begin{aligned}x'&=x\cos \theta -y\sin \theta \\y'&=x\sin \theta +y\cos \theta .\end{aligned}}

Поскольку комплексные числа образуют коммутативное кольцо , вращения векторов в двух измерениях коммутативны, в отличие от более высоких измерений. Они имеют только одну степень свободы , так как такие повороты полностью определяются углом поворота. ^[3]

Три измерения [ править ]

Как и в двух измерениях, матрицу можно использовать для поворота точки $(x, y, z)$ в точку $(x', y', z')$ . Используемая матрица представляет собой матрицу 3 × 3 ,

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}

Это умножается на вектор, представляющий точку, чтобы получить результат.

\mathbf {A} {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}

Набор всех соответствующих матриц вместе с операцией умножения матриц представляет собой группу вращения SO(3) . Матрица $A$ является членом трехмерной специальной ортогональной группы SO $(3)$ , то есть это ортогональная матрица с определителем 1. То, что это ортогональная матрица, означает, что ее строки представляют собой набор ортогональных единичных векторов (так что они являются ортонормированным базисом ), как и его столбцы, что упрощает обнаружение и проверку того, является ли матрица допустимой матрицей вращения.

Вышеупомянутые углы Эйлера и представления ось-угол можно легко преобразовать в матрицу вращения.

Другой возможностью представить вращение трехмерных евклидовых векторов являются кватернионы, описанные ниже.

Кватернионы [ править ]

Единичные кватернионы , или версоры , в некотором смысле являются наименее интуитивно понятным представлением трехмерного вращения. Они не являются трехмерным примером общего подхода. Они более компактны, чем матрицы, и с ними легче работать, чем со всеми другими методами, поэтому их часто предпочитают в реальных приложениях. ^{[ нужна ссылка ]}

Версор (также называемый кватернионом вращения ) состоит из четырех действительных чисел, ограниченных таким образом, чтобы норма кватерниона была равна 1. Это ограничение ограничивает степени свободы кватерниона тремя, как это требуется. В отличие от матриц и комплексных чисел необходимы два умножения:

\mathbf {x'} =\mathbf {qxq} ^{-1},

где $q$ — версор, $q -1$ является его обратным , а $x$ — вектор, рассматриваемый как кватернион с нулевой скалярной частью . Кватернион может быть связан с формой вектора вращения угла поворота оси с помощью экспоненциальной карты кватернионов:

\mathbf {q} =e^{\mathbf {v} /2},

где $v$ — вектор вращения, рассматриваемый как кватернион.

Однократное умножение на версор, влево или вправо , само по себе является вращением, но в четырех измерениях. Любое четырехмерное вращение вокруг начала координат можно представить двумя умножениями кватернионов: одним левым и одним правым, на два разных единичных кватерниона.

Дальнейшие примечания [ править ]

В более общем смысле поворот координат в любом измерении представляется ортогональными матрицами. Набор всех ортогональных матриц в $n$ измерениях, которые описывают собственные вращения (определитель = +1), вместе с операцией умножения матриц образует специальную ортогональную группу $SO(n)$ .

Матрицы часто используются для выполнения преобразований, особенно когда преобразуется большое количество точек, поскольку они являются прямым представлением линейного оператора . Вращения, представленные другими способами, часто перед использованием преобразуются в матрицы. Их можно расширить для одновременного представления вращений и преобразований с использованием однородных координат . Проективные преобразования представлены матрицами 4 × 4 . Это не матрицы вращения, но преобразование, представляющее евклидово вращение, имеет матрицу вращения 3 × 3 в верхнем левом углу.

Основным недостатком матриц является то, что их расчет и выполнение вычислений обходятся дороже. Кроме того, в расчетах, где числовая нестабильность вызывает беспокойство, матрицы могут быть более склонны к ней, поэтому расчеты по восстановлению ортонормированности , которые для матриц являются дорогостоящими, необходимо выполнять чаще.

матричному формализму альтернатив Больше

Как было продемонстрировано выше, существуют три полилинейной алгебры формализма вращения : один с U (1) или комплексными числами для двух измерений и два других с версорами или кватернионами для трех и четырех измерений.

В общем случае (даже для векторов, снабженных неевклидовой квадратичной формой Минковского ) вращение векторного пространства можно выразить как бивектор . Этот формализм используется в геометрической алгебре и, в более общем смысле, в в алгебре Клиффорда представлении групп Ли .

В случае положительно определенной евклидовой квадратичной формы двойная накрывающая группа группы изометрий $\mathrm {SO} (n)$ известна как группа Spin , $\mathrm {Spin} (n)$ . Ее удобно описать в терминах алгебры Клиффорда. Единичные кватернионы дают группе $\mathrm {Spin} (3)\cong \mathrm {SU} (2)$ .

В неевклидовой геометрии [ править ]

В сферической геометрии прямое движение ^{[ нужны разъяснения ]} -сферы $n$ ) - то же самое , (пример эллиптической геометрии что вращение $(n + 1)$ -мерного евклидова пространства вокруг начала координат ( $SO(n + 1)$ ). При нечетном $n$ большинство этих движений не имеют неподвижных точек на $n$ -сфере и, строго говоря, не являются вращениями сферы ; такие движения иногда называют Клиффорда переводами . ^{[ нужна ссылка ]} Вращения вокруг неподвижной точки в эллиптической и гиперболической геометрии не отличаются от евклидовых. ^{[ нужны разъяснения ]}

Аффинная геометрия и проективная геометрия не имеют четкого понятия вращения.

В теории относительности [ править ]

Обобщение вращения применяется в специальной теории относительности , где можно считать, что оно действует в четырехмерном пространстве, пространстве-времени , охватываемом тремя измерениями пространства и одним измерением времени. В специальной теории относительности это пространство называется пространством Минковского , а четырехмерные вращения, называемые преобразованиями Лоренца , имеют физическую интерпретацию. Эти преобразования сохраняют квадратичную форму, называемую пространственно-временным интервалом .

Если вращение пространства Минковского происходит в пространственноподобной плоскости, то это вращение совпадает с пространственным вращением в евклидовом пространстве. Напротив, вращение в плоскости, охватываемой пространственным измерением и временным измерением, является гиперболическим вращением , и если эта плоскость содержит ось времени системы отсчета, это называется «повышением Лоренца». Эти преобразования демонстрируют псевдоевклидову природу пространства Минковского. Гиперболические вращения иногда описываются как отображения сжатия и часто появляются на диаграммах Минковского , которые визуализируют (1 + 1)-мерную псевдоевклидову геометрию на плоских чертежах. Изучение теории относительности связано с группой Лоренца, порожденной пространственными вращениями и гиперболическими вращениями. ^[4]

В то время как $вращения SO(3)$ в физике и астрономии соответствуют вращениям небесной сферы как 2-сферы в евклидовом 3-мерном пространстве, преобразования Лоренца из $SO(3;1) +$ вызывают конформные преобразования небесной сферы. Это более широкий класс сферных преобразований, известный как преобразования Мёбиуса .

Дискретные вращения [ править ]

Важность [ править ]

Вращения определяют важные классы симметрии : вращательная симметрия — это инвариантность относительно конкретного вращения . Круговая симметрия — это инвариантность относительно любого вращения вокруг фиксированной оси.

Как было сказано выше, евклидовы вращения применяются к динамике твердого тела . Более того, большая часть математического формализма в физике (например, векторное исчисление ) инвариантна к вращению; см. вращение дополнительные физические аспекты . Евклидовы вращения и, в более общем плане, описанная выше симметрия Лоренца считаются законами симметрии природы . Напротив, отражательная симметрия не является точным законом симметрии природы.

Обобщения [ править ]

Комплексные матрицы , аналогичные вещественным ортогональным матрицам, являются унитарными матрицами. $\mathrm {U} (n)$ , которые представляют вращения в комплексном пространстве. Набор всех унитарных матриц данной размерности $n$ образует унитарную группу. $\mathrm {U} (n)$ степени $n$ ; а ее подгруппа, представляющая собственные вращения (тех, которые сохраняют ориентацию пространства), является специальной унитарной группой. $\mathrm {SU} (n)$ степени $n$ . Эти сложные вращения важны в контексте спиноров . Элементы $\mathrm {SU} (2)$ используются для параметризации трехмерных евклидовых вращений (см. выше ), а также соответствующих преобразований спина ( см. теорию представлений SU(2) ).

См. также [ править ]

Сноски [ править ]

^ Вайсштейн, Эрик В. «Трансформация алиби». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Трансформация псевдонима». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
^ Лунесто 2001, с. 30.
^ Лошади 1999, стр. 580–588.

Ссылки [ править ]

Хестенес, Дэвид (1999). Новые основы классической механики . Дордрехт : Kluwer Academic Publishers . ISBN 0-7923-5514-8 .

Лунесто, Пертти (2001). Алгебры Клиффорда и спиноры . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-00551-7 .

Браннон, Ребекка М. (2002). «Обзор полезных теорем, включающих правильные ортогональные матрицы, относящиеся к трехмерному физическому пространству» (PDF) . Альбукерке : Национальные лаборатории Сандии .

[1] Вайсштейн, Эрик В. «Трансформация алиби». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Трансформация псевдонима». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.

[3] Лунесто 2001, с. 30.

[4] Лошади 1999, стр. 580–588.

[1]

[2]

[3]

[4]