Вращение осей в двух измерениях

Декартова система координат xy , повернутая на угол. $\theta$ в x'y' декартову систему координат

Более широкий охват этой темы см. в разделе «Вращение в двух измерениях» .

В математике вращение осей в двух измерениях представляет собой отображение из xy декартовой системы координат в декартову систему координат x'y' , в которой начало координат остается фиксированным, а оси x' и y' получаются путем вращения оси x и y против часовой стрелки под углом $\theta$. Точка P имеет координаты ( x , y ) относительно исходной системы и координаты ( x' , y' ) относительно новой системы. В новой системе координат будет казаться, что точка P повернута в противоположном направлении, то есть по часовой стрелке на угол $\theta$. Аналогично определяется вращение осей более чем в двух измерениях. Вращение осей представляет собой линейную карту. и жесткая трансформация .

Мотивация

Системы координат необходимы для изучения уравнений кривых методами аналитической геометрии . Для использования метода координатной геометрии оси располагаются в удобном положении относительно рассматриваемой кривой. Например, для изучения уравнений эллипсов и гипербол фокусы обычно располагаются на одной из осей и располагаются симметрично относительно начала координат. Если кривая (гипербола, парабола , эллипс и т. д.) расположена неудобно относительно осей, следует изменить систему координат, чтобы разместить кривую в удобном и знакомом месте и ориентации. Процесс внесения этого изменения называется преобразованием координат .

Решение многих проблем можно упростить, вращая оси координат для получения новых осей через то же начало координат.

Вывод

Уравнения, определяющие преобразование в двух измерениях, которое поворачивает оси xy против часовой стрелки на угол $\theta$ в оси x'y' , выводятся следующим образом.

Пусть в системе xy точка P имеет полярные координаты $(r,\alpha )$. Тогда в x’y’ системе P будет иметь полярные координаты $(r,\alpha -\theta )$.

Используя тригонометрические функции , имеем

$$x=r\cos \alpha$$ ( 1 )

$$y=r\sin \alpha$$ ( 2 )

и используя стандартные тригонометрические формулы для разностей, имеем

$$x'=r\cos(\alpha -\theta )=r\cos \alpha \cos \theta +r\sin \alpha \sin \theta$$ ( 3 )

$$y'=r\sin(\alpha -\theta )=r\sin \alpha \cos \theta -r\cos \alpha \sin \theta .$$ ( 4 )

Подставив уравнения ( 1 ) и ( 2 ) в уравнения ( 3 ) и ( 4 ), получим

$$x'=x\cos \theta +y\sin \theta$$ ( 5 )

$$y'=-x\sin \theta +y\cos \theta .$$ ( 6 )

Уравнения ( 5 ) и ( 6 ) можно представить в матричной форме как $${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},$$

которое представляет собой стандартное матричное уравнение вращения осей в двух измерениях.

Обратное преобразование

$$x=x'\cos \theta -y'\sin \theta$$ ( 7 )

$$y=x'\sin \theta +y'\cos \theta ,$$ ( 8 )

или $${\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}.$$

Примеры в двух измерениях

Пример 1

Найдите координаты точки $P_{1}=(x,y)=({\sqrt {3}},1)$ после поворота осей на угол $\theta _{1}=\pi /6$или 30°.

Решение: $$x'={\sqrt {3}}\cos(\pi /6)+1\sin(\pi /6)=({\sqrt {3}})({\sqrt {3}}/2)+(1)(1/2)=2$$$$y'=1\cos(\pi /6)-{\sqrt {3}}\sin(\pi /6)=(1)({\sqrt {3}}/2)-({\sqrt {3}})(1/2)=0.$$

Оси повернуты против часовой стрелки на угол $\theta _{1}=\pi /6$ и новые координаты $P_{1}=(x',y')=(2,0)$. Обратите внимание, что точка, кажется, была повернута по часовой стрелке через $\pi /6$ относительно фиксированных осей, так что теперь она совпадает с (новой) осью x' .

Пример 2

Найдите координаты точки $P_{2}=(x,y)=(7,7)$ после поворота осей по часовой стрелке на 90°, то есть на угол $\theta _{2}=-\pi /2$, или −90°.

Решение: $${\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos(-\pi /2)&\sin(-\pi /2)\\-\sin(-\pi /2)&\cos(-\pi /2)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}7\\7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-7\\7\end{bmatrix}}.$$

Оси повернуты на угол $\theta _{2}=-\pi /2$, который находится по часовой стрелке, и новые координаты $P_{2}=(x',y')=(-7,7)$. Опять же, обратите внимание, что точка, кажется, была повернута против часовой стрелки через $\pi /2$ относительно неподвижных осей.

Вращение конических секций

Основная статья: Коническое сечение

Наиболее общее уравнение второй степени имеет вид

$$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$$      ( $A,B,C$ не все ноль). ( 9 )

Путем изменения координат (вращение осей и перемещение осей ) уравнение ( 9 ) можно привести к стандартной форме , с которой обычно легче работать. Всегда можно повернуть координаты на определенный угол, чтобы исключить член x'y' . Подставив уравнения ( 7 ) и ( 8 ) в уравнение ( 9 ), получим

$$A'x'^{2}+B'x'y'+C'y'^{2}+D'x'+E'y'+F'=0,$$ ( 10 )

где

• $A'=A\cos ^{2}\theta +B\sin \theta \cos \theta +C\sin ^{2}\theta ,$
• $B'=2(C-A)\sin \theta \cos \theta +B(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta ),$
• $C'=A\sin ^{2}\theta -B\sin \theta \cos \theta +C\cos ^{2}\theta ,$
• $D'=D\cos \theta +E\sin \theta ,$
• $E'=-D\sin \theta +E\cos \theta ,$
• $F'=F.$

( 11 )

Если $\theta$ выбирается так, что $\cot 2\theta =(A-C)/B$ у нас будет $B'=0$ и член x’y’ в уравнении ( 10 ) исчезнет.

Когда возникает проблема с B , D и E, отличными от нуля, их можно устранить, выполнив последовательно вращение (исключая B ) и сдвиг (удаляя члены D и E ).

Определение повернутых конических сечений

Невырожденное коническое сечение, заданное уравнением ( 9 ), можно идентифицировать путем оценки $B^{2}-4AC$. Коническое сечение – это:

• эллипс или круг, если $B^{2}-4AC<0$;
• парабола, если $B^{2}-4AC=0$;
• гипербола, если $B^{2}-4AC>0$.

Обобщение на несколько измерений

Предположим, что прямоугольная система координат xyz повернута вокруг своей оси z против часовой стрелки (смотря вниз на положительную ось z ) на угол $\theta$, то есть положительная ось x сразу поворачивается в положительную ось y . Координата z каждой точки не изменяется, а координаты x и y преобразуются, как указано выше. Старые координаты ( x , y , z ) точки Q связаны с ее новыми координатами ( x' , y' , z' ) соотношением $${\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.$$

Обобщая на любое конечное число измерений, матрица вращения $A$ – ортогональная матрица , отличающаяся от единичной не более чем четырьмя элементами. Эти четыре элемента имеют форму

$a_{ii}=a_{jj}=\cos \theta$      и      $a_{ij}=-a_{ji}=\sin \theta ,$

для некоторых $\theta$ и некоторые я ≠ j .

Пример в нескольких измерениях

Пример 3

Найдите координаты точки $P_{3}=(w,x,y,z)=(1,1,1,1)$ после того, как положительная ось w была повернута на угол $\theta _{3}=\pi /12$или 15° в положительную ось z .

Решение: $${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}w'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\cos(\pi /12)&0&0&\sin(\pi /12)\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\sin(\pi /12)&0&0&\cos(\pi /12)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\\[4pt]&\approx {\begin{bmatrix}0.96593&0.0&0.0&0.25882\\0.0&1.0&0.0&0.0\\0.0&0.0&1.0&0.0\\-0.25882&0.0&0.0&0.96593\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1.0\\1.0\\1.0\\1.0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1.22475\\1.00000\\1.00000\\0.70711\end{bmatrix}}.\end{aligned}}$$

См. также

• Вращение
• Вращение (математика)

Ссылки

• Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN  0-471-84819-0
• Борегар, Раймонд А.; Фрэли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN  0-395-14017-Х
• Берден, Ричард Л.; Фейрес, Дж. Дуглас (1993), Численный анализ (5-е изд.), Бостон: Приндл, Вебер и Шмидт , ISBN  0-534-93219-3
• Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б. младший (1970), Колледжское исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , LCCN   76087042