Фокус (геометрия)

Точка $F$ является точкой фокусировки красного эллипса, зеленой параболы и синей гиперболы.

В геометрии ; фокусы или фокусы ( / ˈ f oʊ k aɪ / .: сг ) — это особые точки , focus относительно которых любая из множества кривых строится . Например, при определении конических сечений можно использовать один или два фокуса , четырьмя типами которых являются круг , эллипс , парабола и гипербола . Кроме того, два фокуса используются для определения овала Кассини и декартова овала , а более двух фокусов используются для определения n -эллипса .

Конические сечения

Определение коник через два фокуса

Эллипс геометрическое можно определить как место точек, для которых сумма расстояний до двух данных фокусов постоянна.

Круг . — это частный случай эллипса, в котором два фокуса совпадают друг с другом Таким образом, круг можно проще определить как геометрическое место точек, каждая из которых находится на фиксированном расстоянии от одного заданного фокуса. Круг также можно определить как круг Аполлония в терминах двух разных фокусов, как место точек, имеющих фиксированное соотношение расстояний до двух фокусов.

Парабола удаленная — предельный случай эллипса, в котором один из фокусов — точка, на бесконечность .

Гиперболу абсолютное можно определить как геометрическое место точек, для которых значение разности расстояний до двух данных фокусов постоянно.

Определение коник через фокус и директрису.

Также возможно описать все конические сечения в терминах одного фокуса и одной директрисы , которая представляет собой заданную линию, не содержащую фокуса. Коника определяется как геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до фокуса, разделенное на расстояние до директрисы, является фиксированной положительной константой, называемой эксцентриситетом $e$ . Если $0 < e <1,$ то коника является эллипсом, если $e = 1,$ то коника является параболой, а если $e > 1,$ коника является гиперболой. Если расстояние до фокуса фиксировано, а директриса представляет собой бесконечную линию , поэтому эксцентриситет равен нулю, то коника представляет собой круг.

Определение коник через фокус и директрису.

Также можно описать все конические сечения как места точек, равноудаленных от одного фокуса и одной круговой направляющей. Для эллипса и фокус, и центр направляющей окружности имеют конечные координаты, а радиус направляющей окружности больше, чем расстояние между центром этой окружности и фокусом; таким образом, фокус находится внутри круга директрисы. Созданный таким образом эллипс имеет второй фокус в центре круга директрисы, и эллипс полностью лежит внутри круга.

Для параболы центр директрисы перемещается в точку на бесконечности (см. Проективная геометрия ). «Окружность» директрисы становится кривой нулевой кривизны, неотличимой от прямой. Два плеча параболы по мере расширения становятся все более параллельными, и «на бесконечности» становятся параллельными; используя принципы проективной геометрии, две параллели пересекаются в бесконечной точке, и парабола становится замкнутой кривой (эллиптическая проекция).

Для создания гиперболы радиус направляющей окружности выбирается меньшим, чем расстояние между центром этой окружности и фокусом; таким образом, фокус находится за пределами круга директрисы. Плечи гиперболы приближаются к асимптотическим линиям, и «правое» плечо одной ветви гиперболы встречается с «левым» плечом другой ветви гиперболы в бесконечной точке; это основано на принципе, согласно которому в проективной геометрии одна линия встречается в бесконечной точке. Таким образом, две ветви гиперболы представляют собой две (скрученные) половины кривой, замкнутой на бесконечности.

В проективной геометрии все коники эквивалентны в том смысле, что каждая теорема, которая может быть сформулирована для одной, может быть сформулирована и для других.

Астрономическое значение

В гравитационной задаче двух тел орбиты двух тел друг относительно друга описываются двумя перекрывающимися коническими сечениями, причем один из фокусов одного совпадает с одним из фокусов другого в центре масс ( барицентре ) тела. два тела.

Так, например, малой планеты Плутона самый большой спутник Харон имеет эллиптическую орбиту, один фокус которой находится в барицентре системы Плутон-Харон, который представляет собой точку, находящуюся в пространстве между двумя телами; и Плутон также движется по эллипсу, один из фокусов которого находится в том же барицентре между телами. Эллипс Плутона полностью находится внутри эллипса Харона, как показано на этой анимации системы.

Для сравнения: земная Луна движется по эллипсу с одним из своих фокусов в барицентре Луны и Земли , причем этот барицентр находится внутри самой Земли, а Земля (точнее, ее центр) движется по эллипсу с одним фокусом. в том же барицентре внутри Земли. Барицентр составляет примерно три четверти расстояния от центра Земли до ее поверхности.

Более того, система Плутон-Харон движется по эллипсу вокруг своего барицентра с Солнцем , как и система Земля-Луна (и любая другая система планета-Луна или безлунная планета в Солнечной системе). В обоих случаях барицентр находится внутри тела Солнца.

Две двойные звезды также движутся по эллипсам, имеющим общий фокус в своем барицентре; анимацию смотрите здесь .

Декартовы овалы и овалы Кассини.

Декартов овал — это набор точек, для каждой из которых взвешенная сумма расстояний до двух заданных фокусов постоянна. Если веса равны, получается особый случай эллипса.

Овал Кассини — это совокупность точек, для каждой из которых произведение расстояний до двух данных фокусов постоянно.

Обобщения

n - эллипс — это набор точек, имеющих одинаковую сумму расстояний до $n$ фокусов ( $случай n = 2$ представляет собой обычный эллипс).

Понятие фокуса можно обобщить на произвольные алгебраические кривые . Пусть $C$ — кривая класса $m$ , и пусть $I$ и $J$ обозначают точки окружности, находящиеся на бесконечности . Проведите $m$ касательных к $C$ каждый из $I$ и $J.$ через Есть два набора из $m$ строк, которые будут иметь $m 2$ точки пересечения, за исключением некоторых случаев из-за особенностей и т. д. Эти точки пересечения определяются как фокусы $C$ . Другими словами, точка $P$ является фокусом, если $и$ PJ $касаются$ точки $C.$ PI Когда $C$ — действительная кривая, вещественными являются только пересечения сопряженных пар, поэтому $находится m$ в реальных фокусах $и m 2 - m$ воображаемых фокусов. Когда $C$ является коникой, действительные фокусы, определенные таким образом, являются именно теми фокусами, которые можно использовать в геометрическом построении $C$ .

Конфокальные кривые

Пусть $P 1, P 2, \dots, P m$ заданы как фокусы кривой $C$ класса $m$ . Пусть $P$ — произведение тангенциальных уравнений этих точек, а $Q —$ произведение тангенциальных уравнений круговых точек на бесконечности. Тогда все прямые, которые являются общими касательными как к $P = 0$ , так и $к Q = 0,$ касаются $C$ . Итак, по теореме AF+BG касательное уравнение $C$ имеет вид $HP + KQ = 0$ . Поскольку $C$ имеет класс $m$ , $H$ должна быть константой, $а степень K$ должна быть меньше или равна $m - 2$ . Случай $H = 0$ можно исключить как вырожденный, поэтому касательное уравнение $C$ записать в виде $P + fQ = 0$ , где $f$ — произвольный полином степени можно $2 m$ . ^[1]