n -эллипс

Примеры 3-эллипсов для трех заданных фокусов. Прогрессия расстояний не линейна.

В геометрии является $n$ -эллипс обобщением эллипса , допускающим наличие более двух фокусов . ^[1] $n$ -эллипсы имеют множество других названий, включая мультифокальный эллипс , ^[2] полиэллипс , ^[3] эгг-ног , ^[4] $к$ -эллипс , ^[5] и яичная кривая Чирнхауса (по Эренфриду Вальтеру фон Чирнхаусу ). Впервые их исследовал Джеймс Клерк Максвелл в 1846 году. ^[6]

Для заданных $n$ фокальных точек $(ui, n vi n)$ на плоскости $-$ эллипс — это геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний до $фокусов$ которых равна константе $d$ . В формулах это набор

\left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}.

Эллипс 1 — это круг , эллипс 2 — классический эллипс. Обе являются алгебраическими кривыми степени 2.

Для любого числа $n$ фокусов $n$ -эллипс представляет собой замкнутую выпуклую кривую . ^[2]^{: (стр. 90)} Кривая является гладкой , если она не проходит через фокус. ^[5]^{: стр.7}

n - эллипс, вообще говоря, представляет собой подмножество точек, удовлетворяющих конкретному алгебраическому уравнению . ^[5]^{: Рис. 2 и 4, с. 7} Если n нечетно , алгебраическая степень кривой равна $2^{n}$ , а если n четное , степень равна $2^{n}-{\binom {n}{n/2}}.$ ^[5]^{: (Тем. 1.1)}

n -эллипсы являются частными случаями спектроэдров .

См. также

Ссылки

^ Дж. Секино (1999): « n -Эллипсы и проблема суммы минимальных расстояний», American Mathematical Monthly 106 # 3 (март 1999 г.), 193–202. МИСТЕР 1682340 ; Збл 986.51040 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эрдеш, Пол ; Винце, Иштван (1982). «О приближении выпуклых замкнутых плоских кривых мультифокальными эллипсами» (PDF) . Журнал прикладной вероятности . 19 : 89–96. дои : 10.2307/3213552 . JSTOR 3213552 . S2CID 17166889 . Архивировано из оригинала (PDF) 28 сентября 2016 года . Проверено 22 февраля 2015 г.
^ З. А. Мелзак и Дж. С. Форсайт (1977): «Поликоника 1. полиэллипсы и оптимизация», Q. of Appl. Математика. , страницы 239–255, 1977.
^ П. В. Сахадеван (1987): «Теория яичного изгиба - новая кривая с тремя фокусными точками», Международный журнал математического образования в науке и технологиях 18 (1987), 29–39. МИСТЕР 872599 ; Збл 613.51030 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Дж. Ни, П. А. Паррило, Б. Штурмфельс: « Дж. Ни, П. Паррило, Б.Ст.: «Полуопределенное представление k-эллипса», в «Алгоритмах алгебраической геометрии » , тома IMA по математике и ее приложениям, 146 , Спрингер, Нью-Йорк, 2008, стр. 117–132.
^ Джеймс Клерк Максвелл (1846): « Документ об описании овальных кривых , февраль 1846 г., из «Научных писем и статей Джеймса Клерка Максвелла»: 1846-1862 гг.

Дальнейшее чтение

П. Л. Розин: « О построении овалов »
Б. Штурмфельс: « Геометрия полуопределенного программирования », стр. 9–16.

[Sekino-1] Дж. Секино (1999): « n -Эллипсы и проблема суммы минимальных расстояний», American Mathematical Monthly 106 # 3 (март 1999 г.), 193–202. МИСТЕР 1682340 ; Збл 986.51040 .

[erdos-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эрдеш, Пол ; Винце, Иштван (1982). «О приближении выпуклых замкнутых плоских кривых мультифокальными эллипсами» (PDF) . Журнал прикладной вероятности . 19 : 89–96. дои : 10.2307/3213552 . JSTOR 3213552 . S2CID 17166889 . Архивировано из оригинала (PDF) 28 сентября 2016 года . Проверено 22 февраля 2015 г.

[Melzak-3] З. А. Мелзак и Дж. С. Форсайт (1977): «Поликоника 1. полиэллипсы и оптимизация», Q. of Appl. Математика. , страницы 239–255, 1977.

[Sahadevan-4] П. В. Сахадеван (1987): «Теория яичного изгиба - новая кривая с тремя фокусными точками», Международный журнал математического образования в науке и технологиях 18 (1987), 29–39. МИСТЕР 872599 ; Збл 613.51030 .

[NPS-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Дж. Ни, П. А. Паррило, Б. Штурмфельс: « Дж. Ни, П. Паррило, Б.Ст.: «Полуопределенное представление k-эллипса», в «Алгоритмах алгебраической геометрии » , тома IMA по математике и ее приложениям, 146 , Спрингер, Нью-Йорк, 2008, стр. 117–132.

[Maxwell-6] Джеймс Клерк Максвелл (1846): « Документ об описании овальных кривых , февраль 1846 г., из «Научных писем и статей Джеймса Клерка Максвелла»: 1846-1862 гг.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]