Выпуклая кривая

В геометрии выпуклая кривая — это плоская кривая , опорную линию каждая точка которой проходит через . Существует множество других эквивалентных определений этих кривых, восходящих к Архимеду . Примеры выпуклых кривых включают выпуклые многоугольники , границы выпуклых множеств и графики выпуклых функций . Важные подклассы выпуклых кривых включают замкнутые выпуклые кривые (границы ограниченных выпуклых множеств), выпуклые гладкие кривые и строго выпуклые кривые, которые обладают дополнительным свойством: каждая опорная линия проходит через уникальную точку кривой.

Ограниченные выпуклые кривые имеют вполне определенную длину, которую можно получить путем аппроксимации их многоугольниками или из средней длины их проекций на прямую. Максимальное количество точек сетки, которые могут принадлежать одной кривой, определяется ее длиной. Точки, в которых выпуклая кривая имеет единственную опорную линию , плотны внутри кривой, а расстояние этих линий от начала координат определяет непрерывную опорную функцию . Гладкая простая замкнутая кривая является выпуклой тогда и только тогда, когда ее кривизна имеет постоянный знак, что происходит тогда и только тогда, когда ее полная кривизна равна ее полной абсолютной кривизне .

Определения

Архимед в своей книге «О сфере и цилиндре » определяет выпуклые дуги как плоские кривые, которые лежат на одной стороне линии, проходящей через две их конечные точки, и у которых все хорды касаются одной и той же стороны кривой. ^[1] Возможно, это было первое формальное определение любого понятия выпуклости, хотя выпуклые многоугольники и выпуклые многогранники были известны уже задолго до Архимеда. ^[2] В течение следующих двух тысячелетий выпуклость мало изучалась: ^[2] его углубленное исследование началось вновь лишь в XIX веке, ^[3] когда Огюстен-Луи Коши и другие начали использовать математический анализ вместо алгебраических методов, чтобы поставить исчисление на более строгую основу. ^[1]^[2]

Возможны многие другие эквивалентные определения выпуклых кривых, как подробно описано ниже. Выпуклые кривые также определяются их опорными линиями, множествами, границы которых они образуют, и их пересечениями с линиями. Чтобы отличить замкнутые выпуклые кривые от незамкнутых кривых, замкнутые выпуклые кривые иногда также называют выпуклыми петлями , а незамкнутые выпуклые кривые также называют выпуклыми дугами . ^[4]

Основные понятия

Плоская кривая — это образ любой непрерывной функции от отрезка до евклидовой плоскости . Интуитивно это набор точек, которые можно отслеживать с помощью движущейся точки. Более конкретно, гладкие кривые обычно, по крайней мере, требуют, чтобы функция от интервала до плоскости была непрерывно дифференцируемой , а в некоторых контекстах определяется, что требуются более высокие производные. Функция, параметризующая гладкую кривую, часто считается регулярной , что означает, что ее производная не близка к нулю; интуитивно понятно, что движущаяся точка никогда не замедляется и не меняет направление. Каждая внутренняя точка гладкой кривой имеет касательную . Если к тому же вторая производная существует всюду, то каждая из этих точек имеет вполне определенную кривизну . ^[5]

Плоская кривая является замкнутой, если две конечные точки отрезка отображаются в одну и ту же точку плоскости, и она является простой , если никакие другие две точки не совпадают. ^[5] Реже простую плоскую кривую можно назвать открытой , если она топологически эквивалентна линии, не имеет конечной точки и не образует какой-либо предельной точки, которая ей не принадлежит, и разделяет плоскость на две неограниченные области. ^[6] Однако эта терминология неоднозначна, поскольку в других источниках кривая с двумя различными конечными точками называется разомкнутой кривой. ^[7] Здесь мы используем топологическое значение разомкнутой кривой.

Опорные линии

Опорной линией называется линия, содержащая хотя бы одну точку кривой, для которой кривая содержится в одной из двух полуплоскостей , ограниченных этой линией. Плоская кривая называется выпуклой , если через каждую ее точку проходит опорная линия. ^[8]^[9] Например, график имеет выпуклой функции под графиком опорную линию, проходящую через каждую его точку. Более строго: в точках, где функция имеет производную, имеется ровно одна опорная линия — касательная . ^[10]

Опорные линии и касательные линии — это не одно и то же. ^[11] но для выпуклых кривых каждая касательная линия является опорной. ^[8] В точке кривой, где существует касательная линия, может быть только одна опорная линия - касательная линия. ^[12] Следовательно, гладкая кривая является выпуклой, если она лежит по одну сторону каждой касательной к ней. Это можно использовать как эквивалентное определение выпуклости для гладких кривых или, в более общем смысле, для кусочно- гладких кривых. ^[13]^[а]

Границы выпуклых множеств

Выпуклую кривую можно альтернативно определить как связное подмножество границы выпуклого на множества евклидовой плоскости . ^[8]^[9] Не каждое выпуклое множество имеет связную границу. ^[б] но когда это происходит, вся граница представляет собой пример выпуклой кривой. Когда ограниченное выпуклое множество на плоскости не является отрезком, его граница образует простую замкнутую выпуклую кривую. ^[16] По теореме Жордана о кривой простая замкнутая кривая делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области, а другое эквивалентное определение замкнутой выпуклой кривой состоит в том, что это простая замкнутая кривая, объединение которой с ее внутренней частью представляет собой выпуклое множество. ^[9]^[17] Примерами открытых и неограниченных выпуклых кривых являются графики выпуклых функций. Опять же, это границы выпуклых множеств, надграфики тех же функций. ^[18]

Это определение эквивалентно определению выпуклых кривых от опорных линий. Каждая выпуклая кривая, определяемая как кривая с опорной линией, проходящей через каждую точку, является подмножеством границы своей собственной выпуклой оболочки . Каждое связное подмножество границы выпуклого множества имеет опорную линию, проходящую через каждую из его точек. ^[8]^[9]^[19]

Пересечение с линиями

Для выпуклой кривой каждая линия на плоскости пересекает кривую одним из четырех способов: ее пересечением может быть пустое множество, одна точка, пара точек или интервал. В тех случаях, когда замкнутая кривая пересекается в одной точке или на интервале, линия является опорной. Это можно использовать как альтернативное определение выпуклых кривых: это жордановые кривые (связные простые кривые), для которых каждое пересечение с прямой имеет один из этих четырех типов. Это определение можно использовать для обобщения выпуклых кривых евклидовой плоскости на некоторые другие линейные пространства, такие как вещественная проективная плоскость . В этих пространствах, как и в евклидовой плоскости, любая кривая, имеющая только эти ограниченные пересечения линий, имеет опорную линию для каждой точки. ^[20]

Строгая выпуклость

Строго выпуклые кривые снова имеют множество эквивалентных определений. Это выпуклые кривые, не содержащие отрезков . ^[21] Это кривые, у которых каждое пересечение кривой с прямой состоит не более чем из двух точек. ^[20] Это кривые, которые могут быть образованы как связное подмножество границы строго выпуклого множества . ^[22] Здесь множество является строго выпуклым, если каждая точка его границы является крайней точкой множества, единственным максимизатором некоторой линейной функции. ^[23] Как границы строго выпуклых множеств, это кривые, которые лежат в выпуклом положении , а это означает, что ни одна из их точек не может быть выпуклой комбинацией любого другого подмножества своих точек. ^[24]

Замкнутые строго выпуклые кривые можно определить как простые замкнутые кривые, локально эквивалентные (при соответствующем преобразовании координат) графикам строго выпуклых функций. Это означает, что в каждой точке кривой существует такая окрестность точек и система декартовых координат внутри этой окрестности, что внутри этой окрестности кривая совпадает с графиком строго выпуклой функции. ^[25]^[с]

Симметрия

Гладкие замкнутые выпуклые кривые с осью симметрии , такие как эллипс или яйцо Мосса , иногда можно назвать овалами . ^[28] Однако то же слово также использовалось для описания множеств, в которых каждая точка имеет уникальную линию, не пересекающуюся с остальной частью набора, особенно в контексте овалов в конечной проективной геометрии . В евклидовой геометрии это гладкие строго выпуклые замкнутые кривые, без каких-либо требований симметрии. ^[20]

Характеристики

Длина и площадь

Каждая ограниченная выпуклая кривая является спрямляемой кривой , что означает, что она имеет четко определенную конечную длину дуги и может быть аппроксимирована по длине последовательностью вписанных ломаных цепей . Для замкнутых выпуклых кривых длина может быть задана формулой Крофтона как $\pi$ раз превышает среднюю длину его проекций на линии. ^[8] Также можно аппроксимировать площадь выпуклой оболочки выпуклой кривой последовательностью вписанных выпуклых многоугольников . Для любого целого числа $n$ , наиболее точное приближение $n$ -gon обладает тем свойством, что каждая вершина имеет опорную линию, параллельную линии, проходящей через две соседние вершины. ^[29] Как уже знал Архимед, если две выпуклые кривые имеют один и тот же конец, и одна из двух кривых лежит между другой и линией, проходящей через их концы, то внутренняя кривая короче внешней. ^[2]

Согласно теореме Ньютона об овалах , площадь, отрезанная линией от бесконечно дифференцируемой выпуклой кривой, не может быть алгебраической функцией коэффициентов прямой. ^[30]

Строго выпуклая кривая не может проходить через многие точки целочисленной решетки . Если кривая имеет длину $L$ , то согласно теореме Войтеха Ярника число узлов решетки, через которые он может пройти, не превосходит ${\frac {3}{\sqrt[{3}]{2\pi }}}L^{2/3}+O(L^{1/3}).$ Поскольку в этой оценке используется обозначение big O , она точна только в предельном случае больших длин. Ни ведущую константу, ни показатель степени ошибки нельзя улучшить. ^[31]

Опорные линии и функция поддержки

Выпуклая кривая может иметь не более счетного множества особых точек , причем она имеет более одной опорной линии. Все остальные точки должны быть неособыми, а единственная опорная линия в этих точках обязательно является касательной. Это означает, что неособые точки образуют плотное множество . на кривой ^[10]^[32] Также возможно построить выпуклые кривые, у которых особые точки плотны. ^[19]

Замкнутая строго выпуклая замкнутая кривая имеет непрерывную опорную функцию , отображающую каждое направление опорных линий на их знаковое расстояние от начала координат. Это пример ежа , типа кривой, определяемой как огибающая системы линий с непрерывной опорной функцией. К ежам относятся и невыпуклые кривые, такие как астроида , и даже самопересекающиеся кривые, но гладкие строго выпуклые кривые — единственные ежи, не имеющие особых точек. ^[33]

Невозможно, чтобы выпуклая кривая имела три параллельные касательные. Более строго: гладкая замкнутая кривая является выпуклой тогда и только тогда, когда она не имеет трех параллельных касательных линий. В одном направлении середина любых трёх параллельных касательных линий разделяла бы точки касания двух других линий, поэтому она не могла бы быть линией поддержки. Через точку касания не может быть другой линии поддержки, поэтому кривая, касающаяся этих трех линий, не может быть выпуклой. В другом направлении невыпуклая гладкая замкнутая кривая имеет хотя бы одну точку без опорной линии. Касательная линия, проходящая через эту точку, и две касательные опорные линии, параллельные ей, образуют набор из трех параллельных касательных линий. ^[13]^[д]

Кривизна

Согласно теореме о четырех вершинах , каждая гладкая замкнутая кривая имеет по крайней мере четыре вершины , точки, которые являются локальными минимумами или локальными максимумами кривизны . ^[36] Первоначальное доказательство теоремы, проведенное Шьямадасом Мукхопадхьяей в 1909 году, рассматривало только выпуклые кривые; ^[37] Позже оно было распространено на все гладкие замкнутые кривые. ^[36]

Кривизну можно использовать для характеристики гладких замкнутых выпуклых кривых . ^[13] Кривизна тривиальным образом зависит от параметризации кривой: если регулярная параметризация кривой меняется на обратную, получается тот же набор точек, но его кривизна инвертируется . ^[5] Гладкая простая замкнутая кривая с регулярной параметризацией является выпуклой тогда и только тогда, когда ее кривизна имеет постоянный знак: всегда неотрицательный или всегда неположительный. ^[13]^[и] Всякая гладкая простая замкнутая кривая строго положительной (или строго отрицательной) кривизны строго выпукла, но некоторые строго выпуклые кривые могут иметь точки нулевой кривизны. ^[39]

Полная абсолютная кривизна гладкой выпуклой кривой, $\int |\kappa (s)|ds,$ самое большее $2\pi$ . Это точно $2\pi$ для замкнутых выпуклых кривых, равный полной кривизне этих кривых и любой простой замкнутой кривой. Для выпуклых кривых равенство полной абсолютной кривизны и полной кривизны следует из того, что кривизна имеет единый знак. Для замкнутых кривых, не являющихся выпуклыми, общая абсолютная кривизна всегда больше, чем $2\pi$ , а его избыток можно использовать как меру того, насколько кривая далека от выпуклости. В более общем смысле, по теореме Фенхеля , полная абсолютная кривизна замкнутой гладкой пространственной кривой равна как минимум $2\pi$ , с равенством только для выпуклых плоских кривых. ^[40]^[41]

По теореме Александрова негладкая выпуклая кривая имеет вторую производную, а значит, и вполне определённую кривизну почти всюду . Это означает, что подмножество точек без второй производной имеет нулевую меру на кривой. Однако в других смыслах множество точек со второй производной может быть небольшим. В частности, для графиков негладких выпуклых функций общего положения это скудное множество , т. е. счетное объединение нигде не плотных множеств . ^[42]

Вписанные многоугольники

Граница любого выпуклого многоугольника образует выпуклую кривую (т.е. кусочно-линейную кривую , а не строго выпуклую). Многоугольник, вписанный в любую строго выпуклую кривую с упорядоченными вершинами вдоль кривой, должен быть выпуклым многоугольником. ^[43]

Задача о вписанном квадрате — это задача доказать, что каждая простая замкнутая кривая на плоскости содержит четыре угла квадрата. Хотя в целом она еще не решена, решенные случаи включают выпуклые кривые. ^[44] В связи с этой проблемой изучались смежные задачи нахождения вписанных четырехугольников для выпуклых кривых. Масштабированную и повернутую копию любого прямоугольника или трапеции можно вписать в любую заданную замкнутую выпуклую кривую. Когда кривая гладкая, масштабированную и повернутую копию любого вписанного четырехугольника в нее можно вписать . Однако для этого результата необходимо предположение о гладкости, поскольку некоторые правые коршуны не могут быть вписаны в некоторые тупоугольные равнобедренные треугольники . ^[45]^[46] Правильные многоугольники, имеющие более четырех сторон, не могут быть вписаны во все замкнутые выпуклые кривые, поскольку кривая, образованная полукругом и ее диаметром, не содержит ни одного из этих многоугольников. ^[47]

См. также

Выпуклая поверхность , многомерное обобщение выпуклых кривых.
Список тем, посвященных выпуклости

Примечания

^ Предположение о гладкости необходимо при определении выпуклых кривых с помощью касательных линий. Существуют фрактальные кривые и даже графики непрерывных функций , не имеющие ни касательных, ни даже вертикальных или односторонних касательных. ^[14] Для этих кривых совершенно неверно , что они лежат по одну сторону каждой касательной линии, но они не являются выпуклыми.
^ Для плиты , области между двумя параллельными линиями, границей являются две ее определяющие линии. ^[15]
^ Многие спирали также локально выпуклы, но не образуют замкнутых кривых. ^[9]^[26] Невыпуклые многоугольники — это замкнутые кривые, локально эквивалентные графикам кусочно-линейных выпуклых функций, но эти функции не являются строго выпуклыми. ^[27]
^ Существуют гладкие разомкнутые кривые, не имеющие трех параллельных касательных, но не выпуклые; Примером может служить график любого кубического полинома. Для графика функции наклон любой касательной линии является производной функции в этой точке: ^[34] а поскольку производная кубики представляет собой квадратичный многочлен, она дает любой заданный наклон не более двух раз. ^[35]
^ Некоторые непростые замкнутые кривые, такие как розовые кривые, также имеют кривизны с постоянным знаком. ^[38]

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фенчел, В. (1983), «Выпуклость на протяжении веков», Грубер, Питер М .; Уиллс, Йорг М. (ред.), Выпуклость и ее приложения , Базель: Birkhäuser , стр. 120–130, doi : 10.1007/978-3-0348-5858-8_6 , MR 0731109
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Двилевич, Роман Дж. (2009), «Краткая история выпуклости» (PDF) , Дифференциальная геометрия — динамические системы , 11 : 112–129, MR 2533649
^ Грубер, Питер М. (1993), «История выпуклости» , в Грубере, Питер М. (редактор), Справочник по выпуклой геометрии, том A , Амстердам: Северная Голландия, стр. 1–15, ISBN 0-444-89598-1
^ Странцен, Джон; Брукс, Джефф (1992), «Карта растяжения хорды выпуклой петли является изометрией», Geometriae Dedicata , 41 (1): 51–62, doi : 10.1007/BF00181542 , MR 1147501 , S2CID 121294001
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Банчофф, Томас Ф .; Ловетт, Стивен Т. (2016), «Глава 1: Плоские кривые: локальные свойства», Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей (2-е изд.), CRC Press, стр. 1–46, ISBN 978-1-4822-4737-4
^ Мур, Роберт Л. (1920), «О простых непрерывных кривых», Труды Американского математического общества , 21 (3): 333–347, doi : 10.2307/1988935 , JSTOR 1988935 , MR 1501148
^ Веблен, Освальд (1931), Кембриджский коллоквиум, 1916, часть. II: Analysis Situs , Лекции коллоквиума, том. 5, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, с. 3
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Топоногов, Виктор А. (2006), «Проблемы 1.5: выпуклые плоские кривые», в Ровенски, Владимир Ю (редактор), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей: краткое руководство , Birkhäuser, стр. 15–19, doi : 10.1007 /b137116 , ISBN 978-0-8176-4402-4
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Латецкий, Лонгин Ян; Розенфельд, Азриэль (март 1998 г.), «Бездифференциальная геометрия плоских кривых с поддержкой и ручностью» (PDF) , Распознавание образов , 31 (5): 607–622, Бибкод : 1998PatRe..31..607L , doi : 10.1016/s0031- 3203(97)00071-х
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бурбаки, Николя (2004), Функции действительной переменной: элементарная теория , Элементы математики, перевод Испании, Филип, Берлин: Springer-Verlag , стр. 29, номер домена : 10.1007/978-3-642-59315-4 , ISBN 3-540-65340-6 , МР 2013000
^ Радемахер, Ганс ; Тёплиц, Отто (1994), Удовольствие от математики , Научная библиотека Принстона , Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета , стр. 164, ISBN 0-691-02351-4 , МР 1300411
^ Эпштейн, Чарльз Л. (2008), Введение в математику медицинской визуализации (2-е изд.), Общество промышленной и прикладной математики , стр. 17, ISBN 978-0-89871-779-2
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Грей, Альфред ; Аббена, Эльза; Саламон, Саймон (2006), «6.4 Выпуклые плоские кривые», Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica (3-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: CRC Press , стр. 164–166, ISBN 978-1-58488-448-4 ; обратите внимание, что (согласно определению 1.5, стр. 5) этот источник предполагает, что все описываемые им кривые кусочно-гладкие.
^ Цесельский, Кшиштоф Крис (2022), «Непрерывные карты, не допускающие касательных линий: столетие функций Безиковича», The American Mathematical Monthly , 129 (7): 647–659, doi : 10.1080/00029890.2022.2071562 , MR 4457737 , S2CID 249140750
^ Препарата, Франко П .; Шамос, Майкл Ян (1985), «2.2.2.1 Метод плиты», Вычислительная геометрия: Введение , Нью-Йорк: Springer, стр. 45–48, doi : 10.1007/978-1-4612-1098-6 , ISBN 978-1-4612-7010-2 , S2CID 206656565
^ Латецкий, Лонгин Ян (1998), «Основные определения и положения», Дискретное представление пространственных объектов в компьютерном зрении , Вычислительная визуализация и зрение, том. 11, Springer Нидерланды , стр. 33–43, номер документа : 10.1007/978-94-015-9002-0_2.
^ Банчофф и Ловетт (2016) , с. 65.
^ Бринхейс, Ян (2020 г.), «Выпуклые функции: основные свойства», Выпуклый анализ для оптимизации , Тексты для аспирантов по исследованию операций, Springer International Publishing, стр. 123–149, doi : 10.1007/978-3-030-41804-5_5 , ISBN 978-3-030-41804-5 , S2CID 218921797
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Обнимаю, Дэниел; Вейль, Вольфганг (2020), Лекции по выпуклой геометрии , Тексты для аспирантов по математике , том. 286, Чам: Спрингер, номер документа : 10.1007/978-3-030-50180-8 , ISBN. 978-3-030-50180-8 , МР 4180684 , S2CID 226548863 ; см., в частности, теорему 1.16 (теорема об опоре), с. 27, и упражнение 16, с. 60
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Польстер, Буркард ; Штайнке, Гюнтер (2001), «2.2.1 Выпуклые кривые, дуги и овалы» , Геометрия на поверхностях , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 84, Cambridge University Press , стр. 31–34, doi : 10.1017/CBO9780511549656 , ISBN. 0-521-66058-0 , МР 1889925
^ Маэхара, Хироши (2015), «Еще раз о проблеме точек круговой решетки», Discrete Mathematics , 338 (3): 164–167, doi : 10.1016/j.disc.2014.11.004 , MR 3291879
^ Хартманн, Эрих; Фэн, Ю Ю (1993), «О выпуклости функциональных сплайнов», Компьютерное геометрическое проектирование , 10 (2): 127–142, doi : 10.1016/0167-8396(93)90016-V , MR 1213308
^ Ха, Труонг Суан Дук; Ян, Йоханнес (2019), «Характеристики строго выпуклых множеств по уникальности точек опоры», Оптимизация , 68 (7): 1321–1335, doi : 10.1080/02331934.2018.1476513 , MR 3985200 , S2CID 126177709
^ Гарибальди, Джулия; Иосевич, Алекс; Сенгер, Стивен (2011), Проблема расстояния Эрдёша , Студенческая математическая библиотека, том. 56, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , с. 51 , номер домена : 10.1090/stml/056 , ISBN 978-0-8218-5281-1 , МР 2721878
^ Риччи, Фульвио; Траваглини, Джанкарло (2001), «Выпуклые кривые, преобразования Радона и операторы свертки, определяемые сингулярными мерами», Proceedings of the American Mathematical Society , 129 (6): 1739–1744, doi : 10.1090/S0002-9939-00-05751- 8 , МР 1814105
^ Умехара, Масааки; Ямада, Котаро (2017), «Глава 4: Геометрия спиралей» , Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing , стр. 40–49, doi : 10.1142/9901 , ISBN 978-981-4740-23-4 , МР 3676571
^ Юринский, Вадим Владимирович (1995), "1.4.4 Кусочно-линейные функции и многогранники" , Суммы и гауссовы векторы , Конспект лекций по математике, вып. 1617, Берлин и Гейдельберг: Springer, стр. 24–27, doi : 10.1007/bfb0092599 , ISBN. 978-3-540-60311-5
^ Шварцман, Стивен (1994), «Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке» , MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки, стр. 156 , ISBN 9780883855119
^ Джонсон, Гарольд Х.; Фогт, Эндрю (1980), «Геометрический метод аппроксимации выпуклых дуг», SIAM Journal on Applied Mathematics , 38 (2): 317–325, doi : 10.1137/0138027 , MR 0564017
^ Арнольд В.И. (1989), "Топологическое доказательство трансцендентности абелевых интегралов в "Началах Ньютона"", Историко-математические исследования (31): 7–17, ISSN 0136-0949 , MR 0993175
^ Суиннертон-Дайер, HPF (1974), «Число точек решетки на выпуклой кривой», Journal of Number Theory , 6 (2): 128–135, Bibcode : 1974JNT.....6..128S , doi : 10.1016/0022-314Х(74)90051-1 , МР 0337857
^ Какея, Соити (1915), «О некоторых свойствах выпуклых кривых и поверхностей». , Математический журнал Тохоку , 8 : 218–221, JFM 45.1348.02
^ Мартинес-Мор, Ив (2001), «Фрактальный проективный еж», Demonstratio Mathematica , 34 (1): 59–63, doi : 10.1515/dema-2001-0108 , MR 1823083 , S2CID 118211962
^ Абрамсон, Джей (2014), «3.1 Определение производной» , Precalculus , OpenStax
^ Хиггинс, Питер М. (2008), История чисел: от подсчета к криптографии , Лондон: Springer, стр. 179, номер домена : 10.1007/978-1-84800-001-8 , ISBN 978-1-84800-000-1
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ДеТурк, Деннис ; Глюк, Герман; Померлеано, Дэниел; Вик, Дэвид Ши (2007), «Теорема о четырех вершинах и ее обратная» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 54 (2): 9268, arXiv : math/0609268
^ Мухопадхьяя, С. (1909), «Новые методы в геометрии плоской дуги», Бюллетень Калькуттского математического общества , 1 : 21–27.
^ Чеслак, Вальдемар; Зайоц, Юзеф (1986), «Розетки», Mathematica Scandinavica , 58 (1): 114–118, doi : 10.7146/math.scand.a-12133 , JSTOR 24491607 , MR 0845490
^ Хелтон, Дж. Уильям; Не, Цзяван (2010), «Полуопределенное представление выпуклых множеств», Mathematical Programming , 122 (1, Ser. A): 21–64, arXiv : 0705.4068 , doi : 10.1007/s10107-008-0240-y , MR 2533752 , S2CID 1352703
^ Чен, Банг-Йен (2000), «Римановы подмногообразия», в Диллене, Франки Дж. Э.; Верстрален, Леопольд К.А. (ред.), Справочник по дифференциальной геометрии, Vol. I , Амстердам: Северная Голландия, стр. 187–418, doi : 10.1016/S1874-5741(00)80006-0 , MR 1736854 ; см., в частности, стр. 360
^ Банчофф и Ловетт (2016) , с. 108.
^ Грубер, Питер М. (2007), «2.2: Теорема Александрова о дифференцируемости второго порядка», Выпуклая и дискретная геометрия , Фундаментальные принципы математических наук, том. 336, Берлин: Springer, стр. 27–32, ISBN. 978-3-540-71132-2 , МР 2335496
^ Милнор, JW (1950), «О полной кривизне узлов», Annals of Mathematics , Second Series, 52 (2): 248–257, doi : 10.2307/1969467 , JSTOR 1969467 , MR 0037509 ; см. обсуждение после теоремы 3.4 (теоремы Фенхеля), с. 254
^ Стромквист, Уолтер (1989), «Вписанные квадраты и квадратообразные четырехугольники в замкнутых кривых», Mathematika , 36 (2): 187–197, doi : 10.1112/S0025579300013061 , MR 1045781
^ Акопян, Арсений; Аввакумов, Сергей (2018), «Любой вписанный четырехугольник можно вписать в любую замкнутую выпуклую гладкую кривую», Форум математики , 6 : Статья № e7, 9, arXiv : 1712.10205 , doi : 10.1017/fms.2018.7 , MR 3810027 , S2CID 111377310
^ Матшке, Бенджамин (2021), «Четырехугольники, вписанные в выпуклые кривые», Труды Американского математического общества , 374 (8): 5719–5738, arXiv : 1801.01945 , doi : 10.1090/tran/8359 , MR 4293786 , S2CID 11917 4856
^ Джеррард, Р.П. (1961), «Вписанные квадраты в плоские кривые», Труды Американского математического общества , 98 (2): 234–241, doi : 10.1090/s0002-9947-1961-0120604-3 , MR 0120604 , S2CID 54091952

[15] Предположение о гладкости необходимо при определении выпуклых кривых с помощью касательных линий. Существуют фрактальные кривые и даже графики непрерывных функций , не имеющие ни касательных, ни даже вертикальных или односторонних касательных. ^[14] Для этих кривых совершенно неверно , что они лежат по одну сторону каждой касательной линии, но они не являются выпуклыми.

[17] Для плиты , области между двумя параллельными линиями, границей являются две ее определяющие линии. ^[15]

[30] Многие спирали также локально выпуклы, но не образуют замкнутых кривых. ^[9]^[26] Невыпуклые многоугольники — это замкнутые кривые, локально эквивалентные графикам кусочно-линейных выпуклых функций, но эти функции не являются строго выпуклыми. ^[27]

[39] Существуют гладкие разомкнутые кривые, не имеющие трех параллельных касательных, но не выпуклые; Примером может служить график любого кубического полинома. Для графика функции наклон любой касательной линии является производной функции в этой точке: ^[34] а поскольку производная кубики представляет собой квадратичный многочлен, она дает любой заданный наклон не более двух раз. ^[35]

[43] Некоторые непростые замкнутые кривые, такие как розовые кривые, также имеют кривизны с постоянным знаком. ^[38]

[fenchel-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фенчел, В. (1983), «Выпуклость на протяжении веков», Грубер, Питер М .; Уиллс, Йорг М. (ред.), Выпуклость и ее приложения , Базель: Birkhäuser , стр. 120–130, doi : 10.1007/978-3-0348-5858-8_6 , MR 0731109

[dwilewicz-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Двилевич, Роман Дж. (2009), «Краткая история выпуклости» (PDF) , Дифференциальная геометрия — динамические системы , 11 : 112–129, MR 2533649

[gruhist-3] Грубер, Питер М. (1993), «История выпуклости» , в Грубере, Питер М. (редактор), Справочник по выпуклой геометрии, том A , Амстердам: Северная Голландия, стр. 1–15, ISBN 0-444-89598-1

[strantzen-brooks-4] Странцен, Джон; Брукс, Джефф (1992), «Карта растяжения хорды выпуклой петли является изометрией», Geometriae Dedicata , 41 (1): 51–62, doi : 10.1007/BF00181542 , MR 1147501 , S2CID 121294001

[banchoff-lovett-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Банчофф, Томас Ф .; Ловетт, Стивен Т. (2016), «Глава 1: Плоские кривые: локальные свойства», Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей (2-е изд.), CRC Press, стр. 1–46, ISBN 978-1-4822-4737-4

[moore-6] Мур, Роберт Л. (1920), «О простых непрерывных кривых», Труды Американского математического общества , 21 (3): 333–347, doi : 10.2307/1988935 , JSTOR 1988935 , MR 1501148

[veblen-7] Веблен, Освальд (1931), Кембриджский коллоквиум, 1916, часть. II: Analysis Situs , Лекции коллоквиума, том. 5, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, с. 3

[toponogov-8] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Топоногов, Виктор А. (2006), «Проблемы 1.5: выпуклые плоские кривые», в Ровенски, Владимир Ю (редактор), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей: краткое руководство , Birkhäuser, стр. 15–19, doi : 10.1007 /b137116 , ISBN 978-0-8176-4402-4

[latecki-rosenfeld-9] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Латецкий, Лонгин Ян; Розенфельд, Азриэль (март 1998 г.), «Бездифференциальная геометрия плоских кривых с поддержкой и ручностью» (PDF) , Распознавание образов , 31 (5): 607–622, Бибкод : 1998PatRe..31..607L , doi : 10.1016/s0031- 3203(97)00071-х

[bourbaki-10] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бурбаки, Николя (2004), Функции действительной переменной: элементарная теория , Элементы математики, перевод Испании, Филип, Берлин: Springer-Verlag , стр. 29, номер домена : 10.1007/978-3-642-59315-4 , ISBN 3-540-65340-6 , МР 2013000

[rademacher-toeplitz-11] Радемахер, Ганс ; Тёплиц, Отто (1994), Удовольствие от математики , Научная библиотека Принстона , Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета , стр. 164, ISBN 0-691-02351-4 , МР 1300411

[epstein-12] Эпштейн, Чарльз Л. (2008), Введение в математику медицинской визуализации (2-е изд.), Общество промышленной и прикладной математики , стр. 17, ISBN 978-0-89871-779-2

[gray-13] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Грей, Альфред ; Аббена, Эльза; Саламон, Саймон (2006), «6.4 Выпуклые плоские кривые», Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей с помощью Mathematica (3-е изд.), Бока-Ратон, Флорида: CRC Press , стр. 164–166, ISBN 978-1-58488-448-4 ; обратите внимание, что (согласно определению 1.5, стр. 5) этот источник предполагает, что все описываемые им кривые кусочно-гладкие.

[ciesielski-14] Цесельский, Кшиштоф Крис (2022), «Непрерывные карты, не допускающие касательных линий: столетие функций Безиковича», The American Mathematical Monthly , 129 (7): 647–659, doi : 10.1080/00029890.2022.2071562 , MR 4457737 , S2CID 249140750

[preparata-shamos-16] Препарата, Франко П .; Шамос, Майкл Ян (1985), «2.2.2.1 Метод плиты», Вычислительная геометрия: Введение , Нью-Йорк: Springer, стр. 45–48, doi : 10.1007/978-1-4612-1098-6 , ISBN 978-1-4612-7010-2 , S2CID 206656565

[latecki-18] Латецкий, Лонгин Ян (1998), «Основные определения и положения», Дискретное представление пространственных объектов в компьютерном зрении , Вычислительная визуализация и зрение, том. 11, Springer Нидерланды , стр. 33–43, номер документа : 10.1007/978-94-015-9002-0_2.

[FOOTNOTEBanchoffLovett201665-19] Банчофф и Ловетт (2016) , с. 65.

[brinkhuis-20] Бринхейс, Ян (2020 г.), «Выпуклые функции: основные свойства», Выпуклый анализ для оптимизации , Тексты для аспирантов по исследованию операций, Springer International Publishing, стр. 123–149, doi : 10.1007/978-3-030-41804-5_5 , ISBN 978-3-030-41804-5 , S2CID 218921797

[hug-weil-21] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Обнимаю, Дэниел; Вейль, Вольфганг (2020), Лекции по выпуклой геометрии , Тексты для аспирантов по математике , том. 286, Чам: Спрингер, номер документа : 10.1007/978-3-030-50180-8 , ISBN. 978-3-030-50180-8 , МР 4180684 , S2CID 226548863 ; см., в частности, теорему 1.16 (теорема об опоре), с. 27, и упражнение 16, с. 60

[polster-steinke-22] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Польстер, Буркард ; Штайнке, Гюнтер (2001), «2.2.1 Выпуклые кривые, дуги и овалы» , Геометрия на поверхностях , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 84, Cambridge University Press , стр. 31–34, doi : 10.1017/CBO9780511549656 , ISBN. 0-521-66058-0 , МР 1889925

[maehara-23] Маэхара, Хироши (2015), «Еще раз о проблеме точек круговой решетки», Discrete Mathematics , 338 (3): 164–167, doi : 10.1016/j.disc.2014.11.004 , MR 3291879

[hartmann-feng-24] Хартманн, Эрих; Фэн, Ю Ю (1993), «О выпуклости функциональных сплайнов», Компьютерное геометрическое проектирование , 10 (2): 127–142, doi : 10.1016/0167-8396(93)90016-V , MR 1213308

[ha-jahn-25] Ха, Труонг Суан Дук; Ян, Йоханнес (2019), «Характеристики строго выпуклых множеств по уникальности точек опоры», Оптимизация , 68 (7): 1321–1335, doi : 10.1080/02331934.2018.1476513 , MR 3985200 , S2CID 126177709

[garibaldi-iosevich-senger-26] Гарибальди, Джулия; Иосевич, Алекс; Сенгер, Стивен (2011), Проблема расстояния Эрдёша , Студенческая математическая библиотека, том. 56, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , с. 51 , номер домена : 10.1090/stml/056 , ISBN 978-0-8218-5281-1 , МР 2721878

[ricci-travaglini-27] Риччи, Фульвио; Траваглини, Джанкарло (2001), «Выпуклые кривые, преобразования Радона и операторы свертки, определяемые сингулярными мерами», Proceedings of the American Mathematical Society , 129 (6): 1739–1744, doi : 10.1090/S0002-9939-00-05751- 8 , МР 1814105

[umehara-yamada-28] Умехара, Масааки; Ямада, Котаро (2017), «Глава 4: Геометрия спиралей» , Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей , Хакенсак, Нью-Джерси: World Scientific Publishing , стр. 40–49, doi : 10.1142/9901 , ISBN 978-981-4740-23-4 , МР 3676571

[yurinsky-29] Юринский, Вадим Владимирович (1995), "1.4.4 Кусочно-линейные функции и многогранники" , Суммы и гауссовы векторы , Конспект лекций по математике, вып. 1617, Берлин и Гейдельберг: Springer, стр. 24–27, doi : 10.1007/bfb0092599 , ISBN. 978-3-540-60311-5

[schwartzman-31] Шварцман, Стивен (1994), «Слова математики: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке» , MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки, стр. 156 , ISBN 9780883855119

[johnson-vogt-32] Джонсон, Гарольд Х.; Фогт, Эндрю (1980), «Геометрический метод аппроксимации выпуклых дуг», SIAM Journal on Applied Mathematics , 38 (2): 317–325, doi : 10.1137/0138027 , MR 0564017

[arnold-33] Арнольд В.И. (1989), "Топологическое доказательство трансцендентности абелевых интегралов в "Началах Ньютона"", Историко-математические исследования (31): 7–17, ISSN 0136-0949 , MR 0993175

[swinnerton-dyer-34] Суиннертон-Дайер, HPF (1974), «Число точек решетки на выпуклой кривой», Journal of Number Theory , 6 (2): 128–135, Bibcode : 1974JNT.....6..128S , doi : 10.1016/0022-314Х(74)90051-1 , МР 0337857

[kakeya-35] Какея, Соити (1915), «О некоторых свойствах выпуклых кривых и поверхностей». , Математический журнал Тохоку , 8 : 218–221, JFM 45.1348.02

[martinez-maure-36] Мартинес-Мор, Ив (2001), «Фрактальный проективный еж», Demonstratio Mathematica , 34 (1): 59–63, doi : 10.1515/dema-2001-0108 , MR 1823083 , S2CID 118211962

[abramson-37] Абрамсон, Джей (2014), «3.1 Определение производной» , Precalculus , OpenStax

[higgins-38] Хиггинс, Питер М. (2008), История чисел: от подсчета к криптографии , Лондон: Springer, стр. 179, номер домена : 10.1007/978-1-84800-001-8 , ISBN 978-1-84800-000-1

[dgpv-40] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ДеТурк, Деннис ; Глюк, Герман; Померлеано, Дэниел; Вик, Дэвид Ши (2007), «Теорема о четырех вершинах и ее обратная» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 54 (2): 9268, arXiv : math/0609268

[mukhopadhyaya-41] Мухопадхьяя, С. (1909), «Новые методы в геометрии плоской дуги», Бюллетень Калькуттского математического общества , 1 : 21–27.

[cieslak-zajac-42] Чеслак, Вальдемар; Зайоц, Юзеф (1986), «Розетки», Mathematica Scandinavica , 58 (1): 114–118, doi : 10.7146/math.scand.a-12133 , JSTOR 24491607 , MR 0845490

[helton-nie-44] Хелтон, Дж. Уильям; Не, Цзяван (2010), «Полуопределенное представление выпуклых множеств», Mathematical Programming , 122 (1, Ser. A): 21–64, arXiv : 0705.4068 , doi : 10.1007/s10107-008-0240-y , MR 2533752 , S2CID 1352703

[chen-45] Чен, Банг-Йен (2000), «Римановы подмногообразия», в Диллене, Франки Дж. Э.; Верстрален, Леопольд К.А. (ред.), Справочник по дифференциальной геометрии, Vol. I , Амстердам: Северная Голландия, стр. 187–418, doi : 10.1016/S1874-5741(00)80006-0 , MR 1736854 ; см., в частности, стр. 360

[FOOTNOTEBanchoffLovett2016108-46] Банчофф и Ловетт (2016) , с. 108.

[gruber-47] Грубер, Питер М. (2007), «2.2: Теорема Александрова о дифференцируемости второго порядка», Выпуклая и дискретная геометрия , Фундаментальные принципы математических наук, том. 336, Берлин: Springer, стр. 27–32, ISBN. 978-3-540-71132-2 , МР 2335496

[milnor-48] Милнор, JW (1950), «О полной кривизне узлов», Annals of Mathematics , Second Series, 52 (2): 248–257, doi : 10.2307/1969467 , JSTOR 1969467 , MR 0037509 ; см. обсуждение после теоремы 3.4 (теоремы Фенхеля), с. 254

[stromquist-49] Стромквист, Уолтер (1989), «Вписанные квадраты и квадратообразные четырехугольники в замкнутых кривых», Mathematika , 36 (2): 187–197, doi : 10.1112/S0025579300013061 , MR 1045781

[akopyan-avvakumov-50] Акопян, Арсений; Аввакумов, Сергей (2018), «Любой вписанный четырехугольник можно вписать в любую замкнутую выпуклую гладкую кривую», Форум математики , 6 : Статья № e7, 9, arXiv : 1712.10205 , doi : 10.1017/fms.2018.7 , MR 3810027 , S2CID 111377310

[matschke-51] Матшке, Бенджамин (2021), «Четырехугольники, вписанные в выпуклые кривые», Труды Американского математического общества , 374 (8): 5719–5738, arXiv : 1801.01945 , doi : 10.1090/tran/8359 , MR 4293786 , S2CID 11917 4856

[jerrard-52] Джеррард, Р.П. (1961), «Вписанные квадраты в плоские кривые», Труды Американского математического общества , 98 (2): 234–241, doi : 10.1090/s0002-9947-1961-0120604-3 , MR 0120604 , S2CID 54091952

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[а]

[б]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[с]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[д]

[36]

[37]

[и]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[14]

[15]

[26]

[27]

[34]

[35]

[38]