Задача о вписанном квадрате

Нерешенная задача по математике :

На каждой ли жордановой кривой есть вписанный квадрат?

Проблема вписанного квадрата , также известная как проблема квадратного колышка или гипотеза Теплица , представляет собой нерешенный вопрос в геометрии : содержит ли каждая плоская простая замкнутая кривая все четыре вершины некоторого квадрата ? Это справедливо, если кривая выпуклая или кусочно- гладкая , а также в других частных случаях. Задача была предложена Отто Теплицем в 1911 году. ^[1] Некоторые первые положительные результаты были получены Арнольдом Эмчем. ^[2] и Лев Шнирельманн . ^[3] Общий случай остается открытым. ^[4]

Постановка задачи

Позволять $C$ быть жордановой кривой . Многоугольник $P$ вписан в $C$ если все вершины $P$ принадлежать $C$ . Задача о вписанном квадрате спрашивает:

Любая ли жорданова кривая допускает вписанный квадрат?

Не требуется , чтобы вершины квадрата располагались вдоль кривой в каком-то определенном порядке.

Примеры

Некоторые фигуры, например круги и квадраты , допускают бесконечное количество вписанных квадратов. Если $C$ треугольник тупоугольный , то в него входит ровно один вписанный квадрат; прямоугольные треугольники допускают ровно два, а остроугольные треугольники — ровно три. ^[5]

Решенные дела

Соблазнительно попытаться решить проблему вписанного квадрата, доказав, что специальный класс правильных кривых всегда содержит вписанный квадрат, а затем аппроксимировать произвольную кривую последовательностью хороших кривых и сделать вывод, что все еще существует вписанный квадрат как предел квадратов, вписанных в кривые последовательности. Одна из причин, по которой этот аргумент не был доведен до конца, заключается в том, что пределом последовательности квадратов может быть одна точка, а не квадрат. Тем не менее сейчас известно, что во многих частных случаях кривых имеется вписанный квадрат. ^[6]

Кусочно-аналитические кривые

Арнольд Эмч ( 1916 ) показал, что кусочно- аналитические кривые всегда имеют вписанные квадраты. В частности, это справедливо для полигонов . Доказательство Эмча рассматривает кривые, очерченные серединами секущих отрезков к прямой кривой, параллельной данной прямой. Он показывает, что когда эти кривые пересекаются с кривыми, построенными таким же образом для перпендикулярного семейства секущих, возникает нечетное число пересечений. Следовательно, всегда существует хотя бы одно пересечение, образующее центр ромба, вписанного в данную кривую. Непрерывно вращая две перпендикулярные линии на прямой угол и применяя теорему о промежуточном значении , он показывает, что по крайней мере один из этих ромбов является квадратом. ^[6]

Локально монотонные кривые

Стромквист доказал, что каждая локальная монотонная плоская простая кривая допускает вписанный квадрат. ^[7] Условием допуска является то, что для любой точки $p$ кривая $C$ должна быть локально представлена в виде графика функции $y=f(x)$ .

Точнее, для любой данной точки $p$ на $C$ , есть район $U(p)$ и фиксированное направление $n(p)$ (направление « $y$ -ось») так, что ни хорда одна $C$ -в этой окрестности- параллельно $n(p)$ .

К локально монотонным кривым относятся все типы многоугольников , все замкнутые выпуклые кривые и все кусочные кривые. $C^{1}$ кривые без каких-либо изломов .

Кривые без специальных трапеций

Еще более слабое условие на кривую, чем локальная монотонность, состоит в том, что для некоторого $\varepsilon >0$ , кривая не имеет вписанных специальных трапеций размером $\varepsilon$ . Особая трапеция — это равнобедренная трапеция с тремя равными сторонами, каждая из которых длиннее четвертой стороны, вписанная в кривую с порядком вершин, соответствующим порядку самой кривой по часовой стрелке. Его размер — это длина части кривой, охватывающей три равные стороны. Здесь эта длина измеряется в области параметризации фиксированной $C$ , как $C$ может быть не поддающимся исправлению . Вместо предельного аргумента доказательство основано на теории относительного препятствия . Это условие открыто и плотно в пространстве всех жордановых кривых относительно компактно-открытой топологии . В этом смысле задача вписанного квадрата решена для общих кривых. ^[6]

Кривые на ринге

Если жордановая кривая вписана в кольцо, внешний радиус которого не превышает $1+{\sqrt {2}}$ умноженный на его внутренний радиус, и он нарисован таким образом, что отделяет внутренний круг кольца от внешнего круга, тогда он содержит вписанный квадрат. В этом случае, если данную кривую аппроксимировать некоторой корректной кривой, то любые большие квадраты, содержащие центр кольца и вписанные в аппроксимацию, топологически отделены от меньших вписанных квадратов, не содержащих центр. Пределом последовательности больших квадратов снова должен быть большой квадрат, а не вырожденная точка, поэтому можно использовать ограничивающий аргумент. ^[6]

Симметричные кривые

Утвердительный ответ также известен для центрально-симметричных кривых, даже для фракталов, таких как снежинка Коха , и кривых с отражательной симметрией поперек линии. ^[8]

Липшицевы графики

В 2017 году Теренс Тао опубликовал доказательство существования квадрата в кривых, образованных объединением графиков двух функций , обе из которых имеют одинаковое значение на концах кривых и обе подчиняются условию непрерывности Липшица с Константа Липшица меньше единицы. Тао также сформулировал несколько связанных с этим гипотез. ^[9]В 2024 году Джошуа Грин и Эндрю Лобб опубликовали препринт, улучшающий этот результат до кривых с постоянной Липшица меньше $1+{\sqrt {2}}$ . ^[10]

Джордан изгибается близко к $C^{2}$ Кривая Джордана

В марте 2022 года Грегори Р. Чемберс показал, что если $\gamma$ представляет собой кривую Жордана, близкую к $C^{2}$ Кривая Джордана $\beta$ в $\mathbb {R} ^{2}$ , затем $\gamma$ содержит вписанный квадрат. Он показал, что если $\kappa >0$ максимальная беззнаковая кривизна $\beta$ и есть карта $f$ из изображения $\gamma$ к образу $\beta$ с $\|f(x)-x\|<1/10\kappa$ и $f\circ \gamma$ имеющий номер обмотки $1$ , затем $\gamma$ имеет вписанный квадрат с положительной стороной. ^[11]

Варианты и обобщения

Можно задаться вопросом, можно ли вписать в произвольную жорданову кривую другие фигуры. Известно, что для любого треугольника $T$ и кривая Жордана $C$ , существует треугольник, подобный $T$ и вписан в $C$ . ^[12]^[13] При этом множество вершин таких треугольников плотно в $C$ . ^[14] В частности, всегда существует вписанный равносторонний треугольник .

Известно также, что любая жорданова кривая допускает вписанный прямоугольник . Это было доказано Воаном, сведя проблему к невложимости проективной плоскости в $\mathbb {R} ^{3}$ ; его доказательство примерно 1977 года опубликовано в журнале Meyerson. ^[15]В 2020 году Моралес и Вильянуэва охарактеризовали локально связные плоские континуумы, допускающие хотя бы один вписанный прямоугольник. ^[16] В 2020 году Джошуа Эван Грин и Эндрю Лобб доказали, что для любой гладкой кривой Джордана $C$ и прямоугольник $R$ в евклидовой плоскости существует прямоугольник, подобный $R$ чьи вершины лежат на $C$ . ^[4]^[17]^[18] Это обобщает как существование прямоугольников (произвольной формы), так и существование квадратов на гладких кривых, известное со времен работы Шнирельмана (1944) . ^[3] В 2021 году Грин и Лобб расширили свой результат 2020 года и доказали, что каждая гладкая жорданова кривая вписывает каждый вписанный четырехугольник (по модулю подобия, сохраняющего ориентацию). ^[19]

Некоторые обобщения проблемы вписанного квадрата рассматривают вписанные многоугольники для кривых и даже более общие континуумы в евклидовых пространствах более высоких размерностей . Например, Стромквист доказал, что каждая непрерывная замкнутая кривая $C$ в $\mathbb {R} ^{n}$ удовлетворяющее «Условию А», согласно которому никакие два аккорда $C$ в подходящей окрестности любой точки перпендикулярны, допускает вписанный четырехугольник с равными сторонами и равными диагоналями. ^[7] К этому классу кривых относятся все $C^{2}$ кривые. Нильсен и Райт доказали, что любой симметричный континуум $K$ в $\mathbb {R} ^{n}$ содержит множество вписанных прямоугольников. ^[8]

Ссылки

^ Теплиц, О. (1911), «О некоторых задачах анализа местоположения», Труды Швейцарского общества естественных исследований (на немецком языке), 94 : 197.
^ Эмч, Арнольд (1916), «О некоторых свойствах медиан замкнутых непрерывных кривых, образованных аналитическими дугами», American Journal of Mathematics , 38 (1): 6–18, doi : 10.2307/2370541 , JSTOR 2370541 , MR 1506274
^ Jump up to: ^а ^б Šnirel'man, L. G. (1944), "On certain geometrical properties of closed curves", Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 10 : 34–44, MR 0012531
^ Jump up to: ^а ^б Хартнетт, Кевин (25 июня 2020 г.), «Новая геометрическая перспектива решает старую проблему о прямоугольниках» , Quanta Magazine , получено 26 июня 2020 г.
^ Бейли, Герберт; ДеТемпл, Дуэйн (1998), «Квадраты, вписанные в углы и треугольники», Mathematics Magazine , 71 (4): 278–284, doi : 10.2307/2690699 , JSTOR 2690699
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Матшке, Бенджамин (2014), «Обзор проблемы квадратного колышка», Уведомления Американского математического общества , 61 (4): 346–352, doi : 10.1090/noti1100
^ Jump up to: ^а ^б Стромквист, Уолтер (1989), «Вписанные квадраты и квадратообразные четырехугольники в замкнутых кривых», Mathematika , 36 (2): 187–197, doi : 10.1112/S0025579300013061 , MR 1045781
^ Jump up to: ^а ^б Нильсен, Марк Дж.; Райт, SE (1995), «Прямоугольники, вписанные в симметричные континуумы», Geometriae Dedicata , 56 (3): 285–297, doi : 10.1007/BF01263570 , MR 1340790
^ Тао, Теренс (2017), «Интеграционный подход к задаче Теплица о квадратной привязке», Forum of Mathematics , 5 : e30, doi : 10.1017/fms.2017.23 , MR 3731730 ; см. также сообщение в блоге Тао о том же наборе результатов.
^ Грин, Джошуа; Лобб, Эндрю (2024). «Квадратные привязки между двумя графиками». arXiv : 2407.07798 .
^ Чемберс, Грегори (март 2022 г.). «О задаче о квадратном колышке». arXiv : 2203.02613 [ math.GT ].
^ Мейерсон, Марк Д. (1980), «Равносторонние треугольники и непрерывные кривые», Fundamenta Mathematicae , 110 (1): 1–9, doi : 10.4064/fm-110-1-1-9 , MR 0600575
^ Кронхаймер, Э.Х.; Кронхаймер, П.Б. (1981), «Проблема трипо», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 24 (1): 182–192, doi : 10.1112/jlms/s2-24.1.182 , MR 0623685
^ Нильсен, Марк Дж. (1992), «Треугольники, вписанные в простые замкнутые кривые», Geometriae Dedicata , 43 (3): 291–297, doi : 10.1007/BF00151519 , MR 1181760
^ Мейерсон, Марк Д. (1981), «Балансирование» (PDF) , Topology Proceedings , 6 (1): 71 , получено 6 октября 2023 г.
^ Моралес-Фуэнтес, Улисес; Вильянуэва-Сеговия, Кристина (2021), «Прямоугольники, вписанные в локально связные плоские континуумы», Topology Proceedings , 58 : 37–43
^ Грин, Джошуа Эван; Лобб, Эндрю (сентябрь 2021 г.), «Проблема прямоугольной привязки», Annals of Mathematics , 194 (2): 509–517, arXiv : 2005.09193 , doi : 10.4007/annals.2021.194.2.4 , S2CID 218684701
^ Шварц, Ричард Эван (13 сентября 2021 г.). «Прямоугольники, кривые и бутылки Клейна» . Бюллетень Американского математического общества . 59 (1): 1–17. дои : 10.1090/bull/1755 . ISSN 0273-0979 .
^ Грин, Джошуа Эван; Лобб, Эндрю (2023). «Циклические четырехугольники и гладкие кривые Жордана» . Математические изобретения . 234 (3): 931–935. дои : 10.1007/s00222-023-01212-6 . ISSN 0020-9910 .

Дальнейшее чтение

Клее, Виктор ; Вагон, Стэн (1991), «Вписанные квадраты», Старые и новые нерешенные проблемы плоской геометрии и теории чисел , Математические изложения Дольчиани, том. 11, Издательство Кембриджского университета, стр. 58–65, 137–144, ISBN. 978-0-88385-315-3

Внешние ссылки

Марк Дж. Нильсен, Фигуры, вписанные в кривые. Краткий экскурс в старую проблему
Вписанные квадраты: Денн выступает в блоге Джордана Элленберга
Грант Сандерсон, Кого волнует топология? (Задача о вписанном прямоугольнике) , 3Blue1Brown , YouTube a — видео, показывающее топологическое решение упрощенной версии задачи.

[1] Теплиц, О. (1911), «О некоторых задачах анализа местоположения», Труды Швейцарского общества естественных исследований (на немецком языке), 94 : 197.

[Emch-2] Эмч, Арнольд (1916), «О некоторых свойствах медиан замкнутых непрерывных кривых, образованных аналитическими дугами», American Journal of Mathematics , 38 (1): 6–18, doi : 10.2307/2370541 , JSTOR 2370541 , MR 1506274

[Schnirelmann_1944-3] Jump up to: ^а ^б Šnirel'man, L. G. (1944), "On certain geometrical properties of closed curves", Akademiya Nauk SSSR I Moskovskoe Matematicheskoe Obshchestvo. Uspekhi Matematicheskikh Nauk , 10 : 34–44, MR 0012531

[hartnett-4] Jump up to: ^а ^б Хартнетт, Кевин (25 июня 2020 г.), «Новая геометрическая перспектива решает старую проблему о прямоугольниках» , Quanta Magazine , получено 26 июня 2020 г.

[5] Бейли, Герберт; ДеТемпл, Дуэйн (1998), «Квадраты, вписанные в углы и треугольники», Mathematics Magazine , 71 (4): 278–284, doi : 10.2307/2690699 , JSTOR 2690699

[matschke-6] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Матшке, Бенджамин (2014), «Обзор проблемы квадратного колышка», Уведомления Американского математического общества , 61 (4): 346–352, doi : 10.1090/noti1100

[stromquist-7] Jump up to: ^а ^б Стромквист, Уолтер (1989), «Вписанные квадраты и квадратообразные четырехугольники в замкнутых кривых», Mathematika , 36 (2): 187–197, doi : 10.1112/S0025579300013061 , MR 1045781

[nielsen-wright-8] Jump up to: ^а ^б Нильсен, Марк Дж.; Райт, SE (1995), «Прямоугольники, вписанные в симметричные континуумы», Geometriae Dedicata , 56 (3): 285–297, doi : 10.1007/BF01263570 , MR 1340790

[9] Тао, Теренс (2017), «Интеграционный подход к задаче Теплица о квадратной привязке», Forum of Mathematics , 5 : e30, doi : 10.1017/fms.2017.23 , MR 3731730 ; см. также сообщение в блоге Тао о том же наборе результатов.

[10] Грин, Джошуа; Лобб, Эндрю (2024). «Квадратные привязки между двумя графиками». arXiv : 2407.07798 .

[11] Чемберс, Грегори (март 2022 г.). «О задаче о квадратном колышке». arXiv : 2203.02613 [ math.GT ].

[meyerson-12] Мейерсон, Марк Д. (1980), «Равносторонние треугольники и непрерывные кривые», Fundamenta Mathematicae , 110 (1): 1–9, doi : 10.4064/fm-110-1-1-9 , MR 0600575

[13] Кронхаймер, Э.Х.; Кронхаймер, П.Б. (1981), «Проблема трипо», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 24 (1): 182–192, doi : 10.1112/jlms/s2-24.1.182 , MR 0623685

[14] Нильсен, Марк Дж. (1992), «Треугольники, вписанные в простые замкнутые кривые», Geometriae Dedicata , 43 (3): 291–297, doi : 10.1007/BF00151519 , MR 1181760

[15] Мейерсон, Марк Д. (1981), «Балансирование» (PDF) , Topology Proceedings , 6 (1): 71 , получено 6 октября 2023 г.

[morales-villanueva-16] Моралес-Фуэнтес, Улисес; Вильянуэва-Сеговия, Кристина (2021), «Прямоугольники, вписанные в локально связные плоские континуумы», Topology Proceedings , 58 : 37–43

[17] Грин, Джошуа Эван; Лобб, Эндрю (сентябрь 2021 г.), «Проблема прямоугольной привязки», Annals of Mathematics , 194 (2): 509–517, arXiv : 2005.09193 , doi : 10.4007/annals.2021.194.2.4 , S2CID 218684701

[18] Шварц, Ричард Эван (13 сентября 2021 г.). «Прямоугольники, кривые и бутылки Клейна» . Бюллетень Американского математического общества . 59 (1): 1–17. дои : 10.1090/bull/1755 . ISSN 0273-0979 .

[19] Грин, Джошуа Эван; Лобб, Эндрю (2023). «Циклические четырехугольники и гладкие кривые Жордана» . Математические изобретения . 234 (3): 931–935. дои : 10.1007/s00222-023-01212-6 . ISSN 0020-9910 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]