Острые и тупоугольные треугольники

Остроугольный треугольник (или остроугольный треугольник ) — это треугольник с тремя острыми углами (менее 90°). Тупоугольный треугольник (или тупоугольный треугольник ) — это треугольник с одним тупым углом (более 90°) и двумя острыми углами. углы треугольника должны составлять 180° Поскольку в евклидовой геометрии , ни один евклидов треугольник не может иметь более одного тупого угла.

Острые и тупоугольные треугольники — это два разных типа косоугольных треугольников , которые не являются прямоугольными, поскольку не имеют прямых углов (90°).

Верно	Тупой	Острый
	$\quad \underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}$
	Косой

Свойства

Во всех треугольниках центроид — пересечение медиан , каждая из которых соединяет вершину с серединой противоположной стороны, — и инцентр — центр круга, который внутренне касается всех трёх сторон — находятся внутри треугольника. треугольник. Однако, хотя ортоцентр и описанная окружность находятся внутри остроугольного треугольника, они находятся снаружи тупоугольного треугольника.

треугольника Ортоцентр — это точка пересечения трех высот , каждая из которых перпендикулярно соединяет сторону с противоположной вершиной . В случае остроугольного треугольника все три отрезка полностью лежат внутри треугольника и поэтому пересекаются внутри него. Но для тупоугольного треугольника высоты двух острых углов пересекают только продолжения противоположных сторон. Эти высоты полностью выходят за пределы треугольника, в результате чего их пересечение друг с другом (и, следовательно, с увеличенной высотой от вершины с тупым углом) происходит снаружи треугольника.

Точно так же центр описанной окружности треугольника — пересечение биссектрис трех сторон , который является центром окружности, проходящей через все три вершины, — находится внутри остроугольного треугольника, но вне тупоугольного треугольника.

Прямоугольный треугольник — это промежуточный случай: и его центр описанной окружности, и его ортоцентр лежат на его границе.

В любом треугольнике любые две угловые меры A и B , противоположные сторонам a и b соответственно, связаны соотношением

$A>B\quad {\text{if and only if}}\quad a>b.$

Это означает, что самая длинная сторона тупоугольного треугольника — это сторона, противоположная тупоугольной вершине.

В остроугольный треугольник входят три вписанных квадрата , каждая из которых одна сторона совпадает с частью стороны треугольника, а две другие вершины квадрата совпадают на двух оставшихся сторонах треугольника. (В прямоугольном треугольнике два из них объединены в один и тот же квадрат, поэтому существует только два различных вписанных квадрата.) Однако в тупоугольном треугольнике есть только один вписанный квадрат, одна из сторон которого совпадает с частью самой длинной стороны треугольника. .

Все треугольники, у которых линия Эйлера параллельна одной стороне, являются острыми. Это свойство справедливо для стороны BC тогда и только тогда, когда $(\tan B)(\tan C)=3.$

Неравенства

См. Также: Список неравенств треугольника.

Стороны

Если угол C тупой, то для сторон a , b и c имеем

${\frac {c^{2}}{2}}<a^{2}+b^{2}<c^{2},$

при этом левое неравенство приближается к равенству в пределе только тогда, когда угол при вершине равнобедренного треугольника приближается к 180 °, а правое неравенство приближается к равенству только тогда, когда тупой угол приближается к 90 °.

Если треугольник остроугольный, то

$a^{2}+b^{2}>c^{2},\quad b^{2}+c^{2}>a^{2},\quad c^{2}+a^{2}>b^{2}.$

Высота

Если C — наибольший угол, а h _c — высота из вершины C , то для остроугольного треугольника

${\frac {1}{h_{c}^{2}}}<{\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}},$

с противоположным неравенством, если C тупой.

Медианы

С самой длинной стороной c и медианами m _a и m _b с других сторон,

$4c^{2}+9a^{2}b^{2}>16m_{a}^{2}m_{b}^{2}$

для остроугольного треугольника, но с обратным неравенством для тупоугольного треугольника.

Медиана m _c самой длинной стороны больше или меньше радиуса описанной окружности острого или тупоугольного треугольника соответственно:

$m_{c}>R$

для остроугольных треугольников и обратное для тупоугольных.

Площадь

Неравенство Оно для площади A ,

$27(b^{2}+c^{2}-a^{2})^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\leq (4A)^{6},$

справедливо для всех остроугольных треугольников, но не для всех тупоугольных треугольников.

Тригонометрические функции

Для остроугольного треугольника имеем углы A , B и C :

$\cos ^{2}A+\cos ^{2}B+\cos ^{2}C<1,$

причем обратное неравенство справедливо для тупоугольного треугольника.

Для остроугольного треугольника с радиусом описанной окружности R ,

$a\cos ^{3}A+b\cos ^{3}B+c\cos ^{3}C\leq {\frac {abc}{4R^{2}}}$

и

$\cos ^{3}A+\cos ^{3}B+\cos ^{3}C+\cos A\cos B\cos C\geq {\frac {1}{2}}.$

Для остроугольного треугольника

$\sin ^{2}A+\sin ^{2}B+\sin ^{2}C>2,$

с обратным неравенством для тупоугольного треугольника.

Для остроугольного треугольника

$\sin A\cdot \sin B+\sin B\cdot \sin C+\sin C\cdot \sin A\leq (\cos A+\cos B+\cos C)^{2}.$

Для любого треугольника тождество тройного касания углов гласит, что сумма тангенсов равна их произведению. Поскольку острый угол имеет положительное значение тангенса, а тупой угол имеет отрицательное значение, выражение для произведения тангенсов показывает, что

$\tan A+\tan B+\tan C=\tan A\cdot \tan B\cdot \tan C>0$

для остроугольных треугольников, а для тупоугольных треугольников справедливо противоположное направление неравенства.

У нас есть

$\tan A+\tan B+\tan C\geq 2(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$

для остроугольных треугольников и наоборот для тупоугольных.

Для всех остроугольных треугольников

$(\tan A+\tan B+\tan C)^{2}\geq (\sec A+1)^{2}+(\sec B+1)^{2}+(\sec C+1)^{2}.$

Для всех остроугольных треугольников с внутренним радиусом r и описанным радиусом R ,

$a\tan A+b\tan B+c\tan C\geq 10R-2r.$

Для остроугольного треугольника площадью К :

$({\sqrt {\cot A}}+{\sqrt {\cot B}}+{\sqrt {\cot C}})^{2}\leq {\frac {K}{r^{2}}}.$

Окружной радиус, внутренний радиус и внешний радиус

В остроугольном треугольнике сумма радиуса описанной окружности R и внутреннего радиуса r меньше половины суммы кратчайших сторон a и b :

$R+r<{\frac {a+b}{2}},$

а обратное неравенство справедливо для тупоугольного треугольника.

Для остроугольного треугольника с медианами m _a , m _b и m _c и радиусом описанной окружности R мы имеем

$m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}>6R^{2}$

а противоположное неравенство справедливо для тупоугольного треугольника.

Кроме того, остроугольный треугольник удовлетворяет

$r^{2}+r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}<8R^{2},$

через внешней окружности радиусы r _a , r _b и r _c , снова с обратным неравенством, справедливым для тупоугольного треугольника.

Для остроугольного треугольника с полупериметром s ,

$s-r>2R,$

а обратное неравенство справедливо для тупоугольного треугольника.

Для остроугольного треугольника площадью К :

$ab+bc+ca\geq 2R(R+r)+{\frac {8K}{\sqrt {3}}}.$

центрами

Для остроугольного треугольника расстояние между центром описанной окружности O и ортоцентром H удовлетворяет условию

$OH<R,$

причем противоположное неравенство справедливо для тупоугольного треугольника.

Для остроугольного треугольника расстояние между центром вписанной окружности I и ортоцентром H удовлетворяет условию

$IH<r{\sqrt {2}},$

где r — внутренний радиус с обратным неравенством для тупоугольного треугольника.

Вписанный квадрат

Если один из вписанных квадратов остроугольного треугольника имеет длину стороны x _a , а другой имеет длину стороны x _b, причем x _a < x _b , то

$1\geq {\frac {x_{a}}{x_{b}}}\geq {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}\approx 0.94.$

Два треугольника

Если два тупоугольных треугольника имеют стороны ( a, b, c ) и ( p, q, r ), причем c и r — самые длинные стороны соответственно, то

$ap+bq<cr.$

Примеры

Треугольники со специальными названиями

, Треугольник Калаби единственный неравносторонний треугольник, у которого самый большой квадрат, помещающийся внутри, может быть расположен любым из трех различных способов, является тупым и равнобедренным с углами при основании 39,1320261...° и третьим углом 101,7359477.. .°.

с Равносторонний треугольник тремя углами по 60° является острым.

Треугольник Морли , образованный из любого треугольника пересечениями его трисектрисов смежных углов, является равносторонним и, следовательно, острым.

Золотой треугольник — это равнобедренный треугольник, в котором отношение дублированной стороны к основной стороне равно золотому сечению . Он острый, с углами 36°, 72° и 72°, что делает его единственным треугольником с углами в пропорциях 1:2:2.

Семиугольный треугольник , стороны которого совпадают со стороной, меньшей диагональю и большей диагональю правильного семиугольника , тупоугольный, с углами $\pi /7,2\pi /7,$ и $4\pi /7.$

Треугольники с целыми сторонами

Единственный треугольник с последовательными целыми числами для высоты и сторон является остроугольным, его стороны (13,14,15) и высота со стороны 14 равны 12.

Треугольник наименьшего периметра с целыми сторонами в арифметической прогрессии и целосторонний треугольник наименьшего периметра с различными сторонами являются тупыми, а именно тот, у которого стороны (2, 3, 4).

Единственные треугольники, у которых один угол вдвое больше другого и имеют целые стороны в арифметической прогрессии, являются острыми: а именно, треугольник (4,5,6) и его кратные.

Не существует остроугольных целосторонних треугольников с площадью = периметру , но есть три тупоугольных, имеющих стороны (6,25,29), (7,15,20) и (9,10,17).

Наименьший целосторонний треугольник с тремя рациональными медианами является остроконечным, со сторонами (68, 85, 87).

Треугольники Цапли имеют целые стороны и целую площадь. Косой треугольник Цапли с наименьшим периметром острый, со сторонами (6, 5, 5). Наименьшую площадь имеют два косых треугольника Герона: острый со сторонами (6, 5, 5) и тупой со сторонами (8, 5, 5), площадь каждого из которых равна 12.

См. также

• Щепка треугольник

Ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Острый треугольник» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Тупоугольный треугольник» . Математический мир .