Треугольник Калаби

Треугольник Калаби — это особый треугольник, найденный Эухенио Калаби и определяемый его свойством иметь три разных положения для самого большого квадрата , который он содержит. ^[1] Это тупоугольный треугольник равнобедренный с иррациональным , но алгебраическим соотношением длин его сторон и основания. ^[2]

Определение

Рассмотрим самый большой квадрат, который можно поместить в произвольный треугольник. Возможно, такой квадрат можно расположить в треугольнике более чем одним способом. Если самый большой такой квадрат можно расположить тремя разными способами, то треугольник является либо равносторонним треугольником , либо треугольником Калаби. ^[3]^[4] Таким образом, треугольник Калаби можно определить как треугольник, который не является равносторонним и имеет три положения для своего наибольшего квадрата.

Форма

Треугольник $△ ABC$ равнобедренный , длина сторон которого равна $AB = AC$ . Если отношение основания к любой ножке равно $x$ , мы можем установить, что $AB = AC = 1, BC = x$ . Тогда мы можем рассмотреть следующие три случая:

случай 1) $△ ABC$ — остроугольный треугольник: Условие $0<x<{\sqrt {2}}$ .; В этом случае $x = 1$ справедливо для равностороннего треугольника .
случай 2) $△ ABC$ — прямоугольный треугольник: Условие $x={\sqrt {2}}$ .; В этом случае никакое значение не является допустимым.
случай 3) $△ ABC$ — тупоугольный треугольник: Условие ${\sqrt {2}}<x<2$ .; В этом случае треугольник Калаби справедлив для наибольшего положительного корня из $2x^{3}-2x^{2}-3x+2=0$ в $x=1.55138752454832039226...$ ( ОЭИС : A046095 ).

Пример ответа

Consider the case of $AB = AC = 1, BC = x$ . Then

0<x<2.

Let a base angle be $θ$ and a square be $□ DEFG$ on base $BC$ with its side length as $a$ .Let $H$ be the foot of the perpendicular drawn from the apex $A$ to the base. Then

{\begin{aligned}HB&=HC=\cos \theta ={\frac {x}{2}},\\AH&=\sin \theta ={\frac {x}{2}}\tan \theta ,\\0&<\theta <{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}

Then $HB = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠x/2⁠$ and $HE = ⁠ a / 2 ⁠$ , so $EB = ⁠ x - a / 2 ⁠$ .

From △DEB ∽ △AHB,

{\begin{aligned}&EB:DE=HB:AH\\&\Leftrightarrow {\bigg (}{\frac {x-a}{2}}{\bigg )}:a=\cos \theta :\sin \theta =1:\tan \theta \\&\Leftrightarrow a={\bigg (}{\frac {x-a}{2}}{\bigg )}\tan \theta \\&\Leftrightarrow a={\frac {x\tan \theta }{\tan \theta +2}}.\\\end{aligned}}

case 1) $△ ABC$ is acute triangle

Let $□ IJKL$ be a square on side $AC$ with its side length as $b$ .From △ABC ∽ △IBJ,

{\begin{aligned}&AB:IJ=BC:BJ\\&\Leftrightarrow 1:b=x:BJ\\&\Leftrightarrow BJ=bx.\end{aligned}}

From △JKC ∽ △AHC,

{\begin{aligned}&JK:JC=AH:AC\\&\Leftrightarrow b:JC={\frac {x}{2}}\tan \theta :1\\&\Leftrightarrow JC={\frac {2b}{x\tan \theta }}.\end{aligned}}

Then

{\begin{aligned}&x=BC=BJ+JC=bx+{\frac {2b}{x\tan \theta }}\\&\Leftrightarrow x=b{\frac {x^{2}\tan \theta +2}{x\tan \theta }}\\&\Leftrightarrow b={\frac {x^{2}\tan \theta }{x^{2}\tan \theta +2}}.\end{aligned}}

Therefore, if two squares are congruent,

{\begin{aligned}&a=b\\&\Leftrightarrow {\frac {x\tan \theta }{\tan \theta +2}}={\frac {x^{2}\tan \theta }{x^{2}\tan \theta +2}}\\&\Leftrightarrow x\tan \theta \cdot (x^{2}\tan \theta +2)=x^{2}\tan \theta (\tan \theta +2)\\&\Leftrightarrow x\tan \theta \cdot (x(\tan \theta +2)-(x^{2}\tan \theta +2))=0\\&\Leftrightarrow x\tan \theta \cdot (x\tan \theta -2)\cdot (x-1)=0\\&\Leftrightarrow 2\sin \theta \cdot 2(\sin \theta -1)\cdot (x-1)=0.\end{aligned}}

In this case, ${\frac {\pi }{4}}<\theta <{\frac {\pi }{2}},2\sin \theta \cdot 2(\sin \theta -1)\neq 0.$

Therefore $x=1$ , it means that $△ ABC$ is equilateral triangle.

case 2) $△ ABC$ is right triangle

In this case, $x={\sqrt {2}},\tan \theta =1$ , so $a={\frac {\sqrt {2}}{3}},b={\frac {1}{2}}.$

Then no value is valid.

case 3) $△ ABC$ is obtuse triangle

Let $□ IJKA$ be a square on base $AC$ with its side length as $b$ .

From △AHC ∽ △JKC,

{\begin{aligned}&AH:HC=JK:KC\\&\Leftrightarrow \sin \theta :\cos \theta =b:(1-b)\\&\Leftrightarrow b\cos \theta =(1-b)\sin \theta \\&\Leftrightarrow b=(1-b)\tan \theta \\&\Leftrightarrow b={\frac {\tan \theta }{1+\tan \theta }}.\end{aligned}}

Therefore, if two squares are congruent,

{\begin{aligned}&a=b\\&\Leftrightarrow {\frac {x\tan \theta }{\tan \theta +2}}={\frac {\tan \theta }{1+\tan \theta }}\\&\Leftrightarrow {\frac {x}{\tan \theta +2}}={\frac {1}{1+\tan \theta }}\\&\Leftrightarrow x(\tan \theta +1)=\tan \theta +2\\&\Leftrightarrow (x-1)\tan \theta =2-x.\end{aligned}}

In this case,

\tan \theta ={\frac {\sqrt {(2+x)(2-x)}}{x}}.

So, we can input the value of $tan θ$ ,

{\begin{aligned}&(x-1)\tan \theta =2-x\\&\Leftrightarrow (x-1){\frac {\sqrt {(2+x)(2-x)}}{x}}=2-x\\&\Leftrightarrow (2-x)\cdot ((x-1)^{2}(2+x)-x^{2}(2-x))=0\\&\Leftrightarrow (2-x)\cdot (2x^{3}-2x^{2}-3x+2)=0.\end{aligned}}

In this case, ${\sqrt {2}}<x<2$ , we can get the following equation:

2x^{3}-2x^{2}-3x+2=0.

Корень уравнения Калаби

Если $x$ является наибольшим положительным корнем уравнения Калаби:

2x^{3}-2x^{2}-3x+2=0,{\sqrt {2}}<x<2

мы можем вычислить значение $x$ следующими методами.

метод Ньютона

Мы можем установить функцию $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ следующее:

{\begin{aligned}f(x)&=2x^{3}-2x^{2}-3x+2,\\f'(x)&=6x^{2}-4x-3=6{\bigg (}x-{\frac {1}{3}}{\bigg )}^{2}-{\frac {11}{3}}.\end{aligned}}

Функция $f$ непрерывна и дифференцируема на $\mathbb {R}$ и

{\begin{aligned}f({\sqrt {2}})&={\sqrt {2}}-2<0,\\f(2)&=4>0,\\f'(x)&>0,\forall x\in [{\sqrt {2}},2].\end{aligned}}

Тогда $f$ является монотонно возрастающей функцией и по теореме о промежуточном значении уравнение Калаби $f (x) = 0$ имеет единственное решение на открытом интервале. ${\sqrt {2}}<x<2$ .

Значение $x$ рассчитывается методом Ньютона следующим образом:

{\begin{aligned}x_{0}&={\sqrt {2}},\\x_{n+1}&=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}={\frac {4x_{n}^{3}-2x_{n}^{2}-2}{6x_{n}^{2}-4x_{n}-3}}.\end{aligned}}

Метод Ньютона для поиска корня уравнения Калаби.
NO	itaration value
$x$ ₀	1.41421356237309504880168872420969807856967187537694...
$x$ ₁	1.58943369375323596617308283187888791370090306159374...
$x$ ₂	1.55324943049375428807267665439782489231871295592784...
$x$ ₃	1.55139234383942912142613029570413117306471589987689...
$x$ ₄	1.55138752458074244056538641010106649611908076010328...
$x$ ₅	1.55138752454832039226341994813293555945836732015691...
$x$ ₆	1.55138752454832039226195251026462381516359470986821...
$x$ ₇	1.55138752454832039226195251026462381516359170380388...

Метод Кардано

Значение $x$ можно выразить комплексными числами, используя метод Кардано :

x={1 \over 3}{\Bigg (}1+{\sqrt[{3}]{-23+3i{\sqrt {237}} \over 4}}+{\sqrt[{3}]{-23-3i{\sqrt {237}} \over 4}}{\Bigg )}.

^[3]^[5]^[а]

метод Вьета

Значение $x$ также можно выразить без комплексных чисел , используя метод Вьета :

{\begin{aligned}x&={1 \over 3}{\bigg (}1+{\sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{-1}\!\!{\bigg (}\!-{23 \over 11{\sqrt {22}}}{\bigg )}{\bigg )}{\bigg )}\\&=1.55138752454832039226195251026462381516359170380389\cdots .\end{aligned}}

^[2]

метод Лагранжа

Значение $x$ имеет непрерывной дроби представление методом Лагранжа следующим образом:
[1, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 1, 3, 1, 1, 390, ...] =

1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{390+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

. ^[3]^[6]^[7]^[б]

угол основания и угол при вершине

Треугольник Калаби тупоугольный с углом при основании $θ$ и углом при вершине $ψ$ следующим образом:

{\begin{aligned}\theta &=\cos ^{-1}(x/2)\\&=39.13202614232587442003651601935656349795831966723206\cdots ^{\circ },\\\psi &=180-2\theta \\&=101.73594771534825115992696796128687300408336066553587\cdots ^{\circ }.\\\end{aligned}}

См. также

Сноски

Примечания

^ Если мы установим полярную форму комплексного числа, мы сможем вычислить значение $x$ следующим образом:
${\begin{aligned}\alpha &=re^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )={\frac {-23+3i{\sqrt {237}}}{4}},\\r&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-23)^{2}+9\cdot 237}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2\cdot 11^{3}}}={\Bigg (}{\sqrt {\frac {11}{2}}}{\Bigg )}^{3},\\\cos \varphi &=-{\frac {23}{4}}{\frac {1}{r}}=-{\frac {23\cdot 2{\sqrt {2}}}{4\cdot 11{\sqrt {11}}}}=-{\frac {23}{11{\sqrt {22}}}},\\{\sqrt[{3}]{\alpha }}&={\sqrt[{3}]{r}}e^{\frac {i\varphi }{3}}={\sqrt[{3}]{r}}{\Big (}\cos {\Big (}{\frac {\varphi }{3}}{\Big )}+i\sin {\Big (}{\frac {\varphi }{3}}{\Big )}{\Big )},\\{\sqrt[{3}]{\alpha }}+{\sqrt[{3}]{\bar {\alpha }}}&=2{\sqrt[{3}]{r}}\cos {\Big (}{\frac {\varphi }{3}}{\Big )}={\sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{-1}\!\!{\bigg (}\!-{23 \over 11{\sqrt {22}}}{\bigg )}{\bigg )},\\x&={\frac {1}{3}}{\bigg (}1+{\sqrt[{3}]{\alpha }}+{\sqrt[{3}]{\bar {\alpha }}}{\bigg )}={1 \over 3}{\bigg (}1+{\sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{-1}\!\!{\bigg (}\!-{23 \over 11{\sqrt {22}}}{\bigg )}{\bigg )}{\bigg )}.\end{aligned}}$
Тогда этот метод Кардано эквивалентен методу Вьета .

^ Если непрерывная дробь

[a 0, a 1, a 2, ...]

найдена

с числителями h

₁ ,

h

₂ , ... и знаменателями

k

₁ ,

k

₂ , ... то соответствующее рекурсивное соотношение: что для гауссовских скобок :

час п знак равно а п час п - 1 + час п - 2

,

k п знак равно а п k п - 1 + k п - 2

.

Последовательные подходящие дроби задаются формулой

⁠ h n / k n ⁠ = ⁠ а п час п - 1 + час п - 2 / а п k п - 1 + k п - 2 ⁠

.

Если непрерывная дробь

[1, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 1, 3, 1, 1, 390, 1, 1, 2, 11, 6, 2, 1, 1, 56, 1, 4, 3, 1, 1, 6, 9, 3, 2, 1, 8, 10, 9, 25, 2, 1, 3, 1, 3, 5, 2, 35, 1, 1, 1, 41, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 2, 1, 4, 11, 1, 2, 2, 1, 1, 6, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 7, 2, 2, 2, 36, 7, 22, 1, 2, 1, ...], ^[8]

мы можем вычислить рациональное приближение

x

следующим образом:

Значение числителей $h n$ и знаменателей $k n$ цепной дроби
$n$	$a n$	$h n$	$k n$
-2		0	1
-1		1	0
0	1	1	1
1	1	2	1
2	1	3	2
3	4	14	9
4	2	31	20
5	1	45	29
6	2	121	78
7	1	166	107
8	5	951	613
9	2	2068	1333
10	1	3019	1946
11	3	11125	7171
12	1	14144	9117
13	1	25269	16288
14	390	9869054	6361437
15	1	9894323	6377725
16	1	19763377	12739162
17	2	49421077	31856049
18	11	563395224	363155701
19	6	3429792421	2210790255
20	2	7422980066	4784736211
21	1	10852772487	6995526466
22	1	18275752553	11780262677
23	56	1034294915455	666690236378
24	1	1052570668008	678470499055
25	4	5244577587487	3380572232598
26	3	16786303430469	10820187196849
27	1	22030881017956	14200759429447
28	1	38817184448425	25020946626296
29	6	254933987708506	164326439187223
30	9	2333223073824979	1503958899311303
31	3	7254603209183443	4676203137121132
32	2	16842429492191865	10856365173553567
33	1	24097032701375308	15532568310674699
34	8	209618691103194329	135116911658951159
35	10	2120283943733318598	1366701684900186289
36	9	19292174184703061711	12435432075760627760
37	25	484424638561309861373	312252503578915880289
38	2	988141451307322784457	636940439233592388338
39	1	1472566089868632645830	949192942812508268627
40	3	5405839720913220721947	3484519267671117194219
41	1	6878405810781853367777	4433712210483625462846
42	3	26041057153258780825278	16785655899121993582757
43	5	137083691577075757494167	88361991706093593376631
44	2	300208440307410295813612	193509639311309180336019
45	35	10644379102336436110970587	6861199367601914905137296
46	1	10944587542643846406784199	7054709006913224085473315
47	1	21588966644980282517754786	13915908374515138990610611
48	1	32533554187624128924538985	20970617381428363076083926
49	41	1355464688337569568423853171	873711221013078025110051577
50	1	1387998242525193697348392156	894681838394506388186135503
51	2	4131461173387956963120637483	2663074897802090801482322583
52	2	9650920589301107623589667122	6220831633998687991150780669
53	1	13782381762689064586710304605	8883906531800778792633103252
54	2	37215684114679236797010276332	23988644697600245576416987173
55	2	88213749992047538180730857269	56861195927001269945467077598
56	3	301856934090821851339202848139	194572232478604055412818219967
57	1	390070684082869389519933705408	251433428405605325358285297565
58	4	1862139670422299409418937669771	1200305946101025356845959410227
59	2	4114350024927468208357809044950	2652045320607656039050204118019
60	1	5976489695349767617776746714721	3852351266708681395896163528246
61	1	10090839720277235826134555759671	6504396587316337434946367646265
62	1	16067329415627003443911302474392	10356747854025018830842531174511
63	1	26158169135904239270045858234063	16861144441341356265788898820776
64	3	94541836823339721254048877176581	60940181178049087628209227636839
65	1	120700005959243960524094735410644	77801325619390443893998126457615
66	6	818741872578803484398617289640445	527748134894391750992197986382529
67	2	1758183751116850929321329314691534	1133297595408173945878394099222673
68	1	2576925623695654413719946604331979	1661045730302565696870592085605202
69	4	12065886245899468584201115732019450	7777480516618436733360762441643481
70	11	135301674328589808839932219656545929	87213331413105369763838978943683493
71	1	147367560574489277424133335388565379	94990811929723806497199741385326974
72	2	430036795477568363688198890433676687	277194955272552982758238461714337441
73	2	1007441151529626004800531116255918753	649380722474829772013676664814001856
74	1	1437477947007194368488730006689595440	926575677747382754771915126528339297
75	1	2444919098536820373289261122945514193	1575956400222212526785591791342341153
76	6	16106992538228116608224296744362680598	10382314079080657915485465874582386215
77	3	50765896713221170197962151356033555987	32722898637464186273241989415089499798
78	1	66872889251449286806186448100396236585	43105212716544844188727455289671886013
79	1	117638785964670457004148599456429792572	75828111354009030461969444704761385811
80	1	184511675216119743810335047556826029157	118933324070553874650696899994433271824
81	1	302150461180790200814483647013255821729	194761435424562905112666344699194657635
82	1	486662136396909944624818694570081850886	313694759495116779763363244693627929459
83	1	788812597577700145439302341583337672615	508456194919679684876029589392822587094
84	4	3641912526707710526382028060903432541346	2347519539173835519267481602264918277835
85	1	4430725124285410671821330402486770213961	2855975734093515204143511191657740864929
86	7	34656988396705585229131340878310824039073	22339349677828441948272059943869104332338
87	2	73744701917696581130084012159108418292107	47534675089750399100687631079395949529605
88	2	182146392232098747489299365196527660623287	117408699857329240149647322102661003391548
89	2	438037486381894076108682742552163739538681	282352074804408879399982275284717956312701
90	36	15951495901980285487401878097074422284015803	10282083392816048898549009232352507430648784
91	7	112098508800243892487921829422073119727649302	72256935824516751169243046901752269970854189
92	22	2482118689507345920221682125382683056292300447	1599934671532184574621896041070902446789440942
93	1	2594217198307589812709603954804756176019949749	1672191607356701325791139087972654716760295131
94	2	7670553086122525545640890034992195408332199945	4944317886245587226204174217016211880310031204
95	1	10264770284430115358350493989796951584352149694	6616509493602288551995313304988866597070326335

Рациональное приближение $x$ есть ⁠ $h$ ₉₅ / $k$ ₉₅ ⁠ и границы погрешности $ε$ следующие:

{\begin{aligned}x&\approx {\frac {h_{95}}{k_{95}}}\\&={\frac {10264770284430115358350493989796951584352149694}{6616509493602288551995313304988866597070326335}}\\&=1.5513875245483203922619525102646238151635917038038871995280071201179267425542569572957604536135484903\cdots ,\\\varepsilon &={\frac {1}{k_{95}(k_{95}+k_{94})}}\\&=1.82761...\times 10^{-91}.\end{aligned}}

Цитаты

^ Калаби, Эухенио (3 ноября 1997 г.). «План доказательства квадратов, зажатых в треугольник» . Архивировано из оригинала 12 декабря 2012 года . Проверено 3 мая 2018 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Стюарт 2004 , с. 15.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик В. «Треугольник Калаби» . Математический мир .
^ Конвей, Дж. Х. ; Гай, РК (1996). «Треугольник Калаби» . Книга чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 206.
^ Стюарт 2004 , стр. 7–10.
^ Жозеф-Луи, Лагранж (1769), «О разрешении числовых уравнений» , Мемуары Королевской академии наук и Belles-lettres de Berlin , 23 - Œuvres II, стр.539-578.
^ Жозеф-Луи, Лагранж (1770), «Дополнения к мемуарам о разрешении числовых уравнений» , Мемуары Королевской академии наук и Belles-lettres de Berlin , 24 — Œuvres II, стр.581-652.
^ (последовательность A046096 в OEIS )

Ссылки

Стюарт, Ян (2004), Теория Галуа (3-е изд.), Чепмен и Холл / CRC, ISBN 978-1-58488-393-7 - теории Галуа Ошибки .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Треугольник Калаби» . Математический мир .

[6] Если мы установим полярную форму комплексного числа, мы сможем вычислить значение $x$ следующим образом:
${\begin{aligned}\alpha &=re^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )={\frac {-23+3i{\sqrt {237}}}{4}},\\r&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-23)^{2}+9\cdot 237}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2\cdot 11^{3}}}={\Bigg (}{\sqrt {\frac {11}{2}}}{\Bigg )}^{3},\\\cos \varphi &=-{\frac {23}{4}}{\frac {1}{r}}=-{\frac {23\cdot 2{\sqrt {2}}}{4\cdot 11{\sqrt {11}}}}=-{\frac {23}{11{\sqrt {22}}}},\\{\sqrt[{3}]{\alpha }}&={\sqrt[{3}]{r}}e^{\frac {i\varphi }{3}}={\sqrt[{3}]{r}}{\Big (}\cos {\Big (}{\frac {\varphi }{3}}{\Big )}+i\sin {\Big (}{\frac {\varphi }{3}}{\Big )}{\Big )},\\{\sqrt[{3}]{\alpha }}+{\sqrt[{3}]{\bar {\alpha }}}&=2{\sqrt[{3}]{r}}\cos {\Big (}{\frac {\varphi }{3}}{\Big )}={\sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{-1}\!\!{\bigg (}\!-{23 \over 11{\sqrt {22}}}{\bigg )}{\bigg )},\\x&={\frac {1}{3}}{\bigg (}1+{\sqrt[{3}]{\alpha }}+{\sqrt[{3}]{\bar {\alpha }}}{\bigg )}={1 \over 3}{\bigg (}1+{\sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{-1}\!\!{\bigg (}\!-{23 \over 11{\sqrt {22}}}{\bigg )}{\bigg )}{\bigg )}.\end{aligned}}$
Тогда этот метод Кардано эквивалентен методу Вьета .

[10] Если непрерывная дробь $[a 0, a 1, a 2, ...]$ найдена $с числителями h$ ₁ , $h$ ₂ , ... и знаменателями $k$ ₁ , $k$ ₂ , ... то соответствующее рекурсивное соотношение: что для гауссовских скобок :
$час п знак равно а п час п - 1 + час п - 2$ ,
$k п знак равно а п k п - 1 + k п - 2$ .
Последовательные подходящие дроби задаются формулой
$⁠ h n / k n ⁠ = ⁠ а п час п - 1 + час п - 2 / а п k п - 1 + k п - 2 ⁠$ .
Если непрерывная дробь
[1, 1, 1, 4, 2, 1, 2, 1, 5, 2, 1, 3, 1, 1, 390, 1, 1, 2, 11, 6, 2, 1, 1, 56, 1, 4, 3, 1, 1, 6, 9, 3, 2, 1, 8, 10, 9, 25, 2, 1, 3, 1, 3, 5, 2, 35, 1, 1, 1, 41, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 2, 1, 4, 11, 1, 2, 2, 1, 1, 6, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 7, 2, 2, 2, 36, 7, 22, 1, 2, 1, ...], ^[8]
мы можем вычислить рациональное приближение $x$ следующим образом:
Значение числителей $h n$ и знаменателей $k n$ цепной дроби
$n$ $a n$ $h n$ $k n$
-2
0 1
-1
1 0
0 1 1 1
1 1 2 1
2 1 3 2
3 4 14 9
4 2 31 20
5 1 45 29
6 2 121 78
7 1 166 107
8 5 951 613
9 2 2068 1333
10 1 3019 1946
11 3 11125 7171
12 1 14144 9117
13 1 25269 16288
14 390 9869054 6361437
15 1 9894323 6377725
16 1 19763377 12739162
17 2 49421077 31856049
18 11 563395224 363155701
19 6 3429792421 2210790255
20 2 7422980066 4784736211
21 1 10852772487 6995526466
22 1 18275752553 11780262677
23 56 1034294915455 666690236378
24 1 1052570668008 678470499055
25 4 5244577587487 3380572232598
26 3 16786303430469 10820187196849
27 1 22030881017956 14200759429447
28 1 38817184448425 25020946626296
29 6 254933987708506 164326439187223
30 9 2333223073824979 1503958899311303
31 3 7254603209183443 4676203137121132
32 2 16842429492191865 10856365173553567
33 1 24097032701375308 15532568310674699
34 8 209618691103194329 135116911658951159
35 10 2120283943733318598 1366701684900186289
36 9 19292174184703061711 12435432075760627760
37 25 484424638561309861373 312252503578915880289
38 2 988141451307322784457 636940439233592388338
39 1 1472566089868632645830 949192942812508268627
40 3 5405839720913220721947 3484519267671117194219
41 1 6878405810781853367777 4433712210483625462846
42 3 26041057153258780825278 16785655899121993582757
43 5 137083691577075757494167 88361991706093593376631
44 2 300208440307410295813612 193509639311309180336019
45 35 10644379102336436110970587 6861199367601914905137296
46 1 10944587542643846406784199 7054709006913224085473315
47 1 21588966644980282517754786 13915908374515138990610611
48 1 32533554187624128924538985 20970617381428363076083926
49 41 1355464688337569568423853171 873711221013078025110051577
50 1 1387998242525193697348392156 894681838394506388186135503
51 2 4131461173387956963120637483 2663074897802090801482322583
52 2 9650920589301107623589667122 6220831633998687991150780669
53 1 13782381762689064586710304605 8883906531800778792633103252
54 2 37215684114679236797010276332 23988644697600245576416987173
55 2 88213749992047538180730857269 56861195927001269945467077598
56 3 301856934090821851339202848139 194572232478604055412818219967
57 1 390070684082869389519933705408 251433428405605325358285297565
58 4 1862139670422299409418937669771 1200305946101025356845959410227
59 2 4114350024927468208357809044950 2652045320607656039050204118019
60 1 5976489695349767617776746714721 3852351266708681395896163528246
61 1 10090839720277235826134555759671 6504396587316337434946367646265
62 1 16067329415627003443911302474392 10356747854025018830842531174511
63 1 26158169135904239270045858234063 16861144441341356265788898820776
64 3 94541836823339721254048877176581 60940181178049087628209227636839
65 1 120700005959243960524094735410644 77801325619390443893998126457615
66 6 818741872578803484398617289640445 527748134894391750992197986382529
67 2 1758183751116850929321329314691534 1133297595408173945878394099222673
68 1 2576925623695654413719946604331979 1661045730302565696870592085605202
69 4 12065886245899468584201115732019450 7777480516618436733360762441643481
70 11 135301674328589808839932219656545929 87213331413105369763838978943683493
71 1 147367560574489277424133335388565379 94990811929723806497199741385326974
72 2 430036795477568363688198890433676687 277194955272552982758238461714337441
73 2 1007441151529626004800531116255918753 649380722474829772013676664814001856
74 1 1437477947007194368488730006689595440 926575677747382754771915126528339297
75 1 2444919098536820373289261122945514193 1575956400222212526785591791342341153
76 6 16106992538228116608224296744362680598 10382314079080657915485465874582386215
77 3 50765896713221170197962151356033555987 32722898637464186273241989415089499798
78 1 66872889251449286806186448100396236585 43105212716544844188727455289671886013
79 1 117638785964670457004148599456429792572 75828111354009030461969444704761385811
80 1 184511675216119743810335047556826029157 118933324070553874650696899994433271824
81 1 302150461180790200814483647013255821729 194761435424562905112666344699194657635
82 1 486662136396909944624818694570081850886 313694759495116779763363244693627929459
83 1 788812597577700145439302341583337672615 508456194919679684876029589392822587094
84 4 3641912526707710526382028060903432541346 2347519539173835519267481602264918277835
85 1 4430725124285410671821330402486770213961 2855975734093515204143511191657740864929
86 7 34656988396705585229131340878310824039073 22339349677828441948272059943869104332338
87 2 73744701917696581130084012159108418292107 47534675089750399100687631079395949529605
88 2 182146392232098747489299365196527660623287 117408699857329240149647322102661003391548
89 2 438037486381894076108682742552163739538681 282352074804408879399982275284717956312701
90 36 15951495901980285487401878097074422284015803 10282083392816048898549009232352507430648784
91 7 112098508800243892487921829422073119727649302 72256935824516751169243046901752269970854189
92 22 2482118689507345920221682125382683056292300447 1599934671532184574621896041070902446789440942
93 1 2594217198307589812709603954804756176019949749 1672191607356701325791139087972654716760295131
94 2 7670553086122525545640890034992195408332199945 4944317886245587226204174217016211880310031204
95 1 10264770284430115358350493989796951584352149694 6616509493602288551995313304988866597070326335
Рациональное приближение $x$ есть ⁠ $h$ ₉₅ / $k$ ₉₅ ⁠ и границы погрешности $ε$ следующие:
${\begin{aligned}x&\approx {\frac {h_{95}}{k_{95}}}\\&={\frac {10264770284430115358350493989796951584352149694}{6616509493602288551995313304988866597070326335}}\\&=1.5513875245483203922619525102646238151635917038038871995280071201179267425542569572957604536135484903\cdots ,\\\varepsilon &={\frac {1}{k_{95}(k_{95}+k_{94})}}\\&=1.82761...\times 10^{-91}.\end{aligned}}$

[1] Калаби, Эухенио (3 ноября 1997 г.). «План доказательства квадратов, зажатых в треугольник» . Архивировано из оригинала 12 декабря 2012 года . Проверено 3 мая 2018 г.

[FOOTNOTEStewart200415-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Стюарт 2004 , с. 15.

[Wolfram-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик В. «Треугольник Калаби» . Математический мир .

[4] Конвей, Дж. Х. ; Гай, РК (1996). «Треугольник Калаби» . Книга чисел . Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 206.

[FOOTNOTEStewart20047–10-5] Стюарт 2004 , стр. 7–10.

[7] Жозеф-Луи, Лагранж (1769), «О разрешении числовых уравнений» , Мемуары Королевской академии наук и Belles-lettres de Berlin , 23 - Œuvres II, стр.539-578.

[8] Жозеф-Луи, Лагранж (1770), «Дополнения к мемуарам о разрешении числовых уравнений» , Мемуары Королевской академии наук и Belles-lettres de Berlin , 24 — Œuvres II, стр.581-652.

[9] (последовательность A046096 в OEIS )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[а]

[6]

[7]

[б]

[8]