Треугольник

Эта статья об основной геометрической форме. Чтобы узнать о других значениях, см. Треугольник (значения) .

«Треугольный» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о диагоналях трехмерных фигур, см. Пространственную диагональ .

Треугольник
Треугольник
Ребра и вершины	3
Символ Шлефли	{3} (для равносторонних)
Область	различные методы; см. ниже
Внутренний угол ( градусы )	60° (для равностороннего)

Треугольник = Три (три) + Угол

Треугольник — многоугольник геометрии углами и тремя сторонами, одна из основных фигур в с тремя . Углы, также называемые вершинами , представляют собой нульмерные точки , а соединяющие их стороны, также называемые ребрами , представляют собой одномерные отрезки прямой . Внутренняя часть треугольника представляет собой двумерную область. выбирается произвольное ребро Иногда в качестве основания , и в этом случае противоположная вершина называется вершиной .

В евклидовой геометрии любые две точки определяют уникальный отрезок линии, расположенный внутри уникальной прямой линии , а любые три точки, если они не лежат на одной прямой , определяют уникальный треугольник, расположенный внутри уникальной плоской плоскости . В более общем смысле, несколько точек евклидова пространства произвольной размерности определяют симплекс .

В неевклидовых геометриях три прямых сегмента также определяют треугольник, например сферический треугольник или гиперболический треугольник . Геодезический треугольник — это область общей двумерной поверхности, окруженная тремя прямыми относительно поверхности сторонами. Криволинейный треугольник — это фигура с тремя изогнутыми сторонами, например круглый треугольник со в форме дуги окружности сторонами . Эта статья посвящена прямосторонним треугольникам в евклидовой геометрии, если не указано иное.

Треугольник с вершинами $A,$ $B,$ и $C$ обозначается $\triangle ABC.$ При описании метрических отношений внутри треугольника длину ребра, противоположного каждой вершине, принято обозначать строчной буквой, позволяя $a$ быть длиной ребра $BC,$ $b$ длина $CA,$ и $c$ длина $AB$; и обозначить величину угла в каждом углу греческой буквой, позволяя $\alpha$ быть мерой угла $\angle CAB,$ $\beta$ мера $\angle ABC,$ и $\gamma$ мера $\angle BCA.$

Виды треугольника

Диаграмма Эйлера типов треугольников с использованием определения, что равнобедренные треугольники имеют как минимум две равные стороны (т.е. равносторонние треугольники являются равнобедренными).

Терминологии классификации треугольников более двух тысяч лет, и она была определена на первой странице «Начал» Евклида . Имена, используемые для современной классификации, представляют собой либо прямую транслитерацию греческого языка Евклида, либо их латинский перевод.

По длинам сторон

Древнегреческий математик Евклид определил три типа треугольника в зависимости от длин его сторон:

Греческое : из трёхсторонних фигур равнобедренный треугольник — это треугольник с тремя равными сторонами, равнобедренный — это треугольник, у которого только две равные стороны, а равнобедренный — это треугольник с тремя неравными сторонами , букв.   «Из трехсторонних фигур изоплевронный [равносторонний] треугольник — это треугольник, у которого три стороны равны, равнобедренный — тот, у которого равны только две стороны, и разносторонний — тот, у которого три стороны неравны».

• Равносторонний треугольник ( греческий : ἰσόπλευρον , латинизированный : isópleuron , букв.   «равные стороны») имеет три стороны одинаковой длины. Равносторонний треугольник также является правильным многоугольником , все углы которого равны 60°.
• Равнобедренный треугольник ( греч . ἰσοσκελὲς , латинизированный : isoskelés , букв.   «равные ноги») имеет две стороны одинаковой длины. Равнобедренный треугольник также имеет два угла одной и той же меры, а именно углы, противоположные двум сторонам одинаковой длины. Этот факт составляет содержание теоремы о равнобедренном треугольнике , известной еще Евклиду . Некоторые математики определяют равнобедренный треугольник как имеющий ровно две равные стороны, тогда как другие определяют равнобедренный треугольник как треугольник, имеющий как минимум две равные стороны. Последнее определение сделает все равносторонние треугольники равнобедренными треугольниками. Прямоугольный треугольник 45–45–90, который появляется в квадратной мозаике тетракиса , является равнобедренным.
• Разносторонний треугольник ( греч . σκαληνὸν , латинизированный : skalinón , букв.   «неравный») имеет все стороны разной длины. Эквивалентно, что у него все углы разной меры.

• 
  Равносторонний треугольник
• 
  Равнобедренный треугольник
• 
  Разносторонний треугольник

Штриховки , также называемые делениями, используются на схемах треугольников и других геометрических фигур для обозначения сторон одинаковой длины. Сторону можно обозначить узором из «галочек», коротких отрезков линий в виде меток ; две стороны имеют одинаковую длину, если они обе отмечены одинаковым рисунком. В треугольнике паттерн обычно составляет не более 3 тиков. Равносторонний треугольник имеет одинаковый рисунок на всех трех сторонах, равнобедренный треугольник имеет одинаковый рисунок только на двух сторонах, а разносторонний треугольник имеет разные узоры на всех сторонах, поскольку ни одна из сторон не равна.

Точно так же узоры из 1, 2 или 3 концентрических дуг внутри углов используются для обозначения равных углов: равносторонний треугольник имеет одинаковый рисунок на всех трех углах, равнобедренный треугольник имеет одинаковый рисунок только на двух углах, а разносторонний треугольник имеет одинаковый рисунок только на двух углах. имеет разный рисунок на всех углах, так как нет равных углов.

По внутренним углам

Первая страница «Начал» Евклида из первой в мире печатной версии (1482 г.), показывающая раздел «Определения» Книги I. Прямоугольный треугольник обозначен как « ортогониус », а два показанных угла — «острый» и «тупой угол». .

Треугольники также можно классифицировать по их внутренним углам , измеряемым здесь в градусах .

• Прямоугольный треугольник (или прямоугольный треугольник ) имеет один из внутренних углов, равный 90° ( прямой угол ). Сторона, противоположная прямому углу, является гипотенузой , самой длинной стороной треугольника. Две другие стороны называются ножками или катетами. (единственное число: катет ) треугольника. Прямоугольные треугольники подчиняются теореме Пифагора : сумма квадратов длин двух катетов равна квадрату длины гипотенузы : ² + б ² = с ² , где a и b — длины катетов, а c — длина гипотенузы. Особые прямоугольные треугольники — это прямоугольные треугольники с дополнительными свойствами, упрощающими вычисления с их участием. Один из двух самых известных — прямоугольный треугольник 3–4–5, где 3 ² + 4 ² = 5 ² . Треугольник 3–4–5 также известен как египетский треугольник. В данной ситуации 3, 4 и 5 являются пифагоровой тройкой . Другой — равнобедренный треугольник с двумя углами по 45 градусов (треугольник 45–45–90). Прямоугольные треугольники имеют фундаментальное значение в тригонометрии , поскольку их можно использовать для определения тригонометрических функций через тригонометрические отношения .
  • Треугольники, у которых нет угла размером 90°, называются косоугольными .
• Треугольник, у которого все внутренние углы меньше 90°, является остроугольным или остроугольным треугольником . Если с — длина самой длинной стороны, то а ² + б ² > с ² , где a и b — длины других сторон.
• Треугольник, у которого один внутренний угол превышает 90°, является тупоугольным или тупоугольным треугольником . Если с — длина самой длинной стороны, то а ² + б ² < с ² , где a и b — длины других сторон.
• Треугольник с внутренним углом 180° (и вершинами, лежащими на одной прямой ) является вырожденным . Прямоугольный вырожденный треугольник имеет вершины, лежащие на одной прямой, две из которых совпадают.

Треугольник, у которого есть два угла одинаковой меры, также имеет две стороны одинаковой длины, и, следовательно, он является равнобедренным треугольником. Отсюда следует, что в треугольнике, у которого все углы имеют одинаковую меру, все три стороны имеют одинаковую длину и, следовательно, он равносторонний.

Верно	Тупой	Острый
	$\quad \underbrace {\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad } _{}$
	Косой

Основные факты

Треугольник, показывающий внешний угол d.

Предполагается, что треугольники представляют собой двумерные плоские фигуры , если из контекста не следует иное (см. § Неплоские треугольники ниже). Поэтому в строгих трактовках треугольник называют 2- симплексом (см. также Многогранник ). Элементарные факты о треугольниках были изложены Евклидом в книгах 1–4 его «Начал» , написанных около 300 г. до н. э.

Сумма внутренних углов треугольника всегда равна 180 градусам (один и тот же цвет, чтобы указать, что они равны).

Сумма мер внутренних углов треугольника в евклидовом пространстве всегда равна 180 градусов. Этот факт эквивалентен постулату Евклида о параллельности . Это позволяет определить меру третьего угла любого треугольника по величине двух углов. Внешний угол треугольника — это угол, который является линейной парой (и, следовательно, дополнительным ) к внутреннему углу. Мера внешнего угла треугольника равна сумме мер двух внутренних углов, не примыкающих к нему; это теорема о внешнем угле . Сумма мер трех внешних углов (по одному на каждую вершину) любого треугольника равна 360 градусов.

Сходство и соответствие

Два треугольника называются подобными , если каждый угол одного треугольника имеет ту же меру, что и соответствующий угол другого треугольника. Соответствующие стороны подобных треугольников имеют длины, находящиеся в одной и той же пропорции, и этого свойства также достаточно для установления подобия.

Некоторые основные теоремы о подобных треугольниках:

• Если и только если одна пара внутренних углов двух треугольников имеет одинаковую меру, а другая пара также имеет одинаковую меру, треугольники подобны.
• Если и только если одна пара соответствующих сторон двух треугольников находится в той же пропорции, что и другая пара соответствующих сторон, и их углы имеют одинаковую величину, то треугольники подобны. ( Включенный угол для любых двух сторон многоугольника — это внутренний угол между этими двумя сторонами.)
• Если и только если три пары соответствующих сторон двух треугольников находятся в одной и той же пропорции, то эти треугольники подобны.

треугольника Два равных имеют одинаковый размер и форму: все пары соответствующих внутренних углов равны по мере, и все пары соответствующих сторон имеют одинаковую длину. (Всего шесть равенств, но для доказательства соответствия часто бывает достаточно трех.)

Некоторые индивидуально необходимые и достаточные условия конгруэнтности пары треугольников:

• Постулат SAS: две стороны треугольника имеют ту же длину, что и две стороны другого треугольника, и входящие в них углы имеют одинаковую меру.
• ASA: Два внутренних угла и включенная в него сторона треугольника имеют ту же меру и длину соответственно, что и в другом треугольнике. ( Включенной стороной для пары углов является та сторона, которая у них общая.)
• SSS: каждая сторона треугольника имеет ту же длину, что и соответствующая сторона другого треугольника.
• AAS: Два угла и соответствующая (не включенная) сторона в треугольнике имеют ту же меру и длину соответственно, что и в другом треугольнике. (Иногда это называется AAcorrS , а затем включает ASA, указанный выше.)

К индивидуально достаточным условиям относятся:

• Теорема о катете-гипотенузе (HL): Гипотенуза и катет в прямоугольном треугольнике имеют ту же длину, что и в другом прямоугольном треугольнике. Это еще называют RHS (прямой угол, гипотенуза, сторона).
• Теорема об угле гипотенузы: Гипотенуза и острый угол в одном прямоугольном треугольнике имеют ту же длину и меру соответственно, что и в другом прямоугольном треугольнике. Это всего лишь частный случай теоремы ААС.

Важным условием является:

• Условие Сторона-Сторона-Угол (или Угол-Сторона-Сторона): если две стороны и соответствующий невключенный угол треугольника имеют ту же длину и меру соответственно, что и стороны другого треугольника, то этого недостаточно для доказательства . соответствие; но если данный угол противоположен большей стороне двух сторон, то треугольники равны. Теорема о гипотенузе является частным случаем этого критерия. Условие «Сторона-Боковая-Угол» само по себе не гарантирует конгруэнтность треугольников, поскольку один треугольник может быть тупоугольным, а другой — остроугольным.

Два прямоугольных треугольника подобны тогда и только тогда, когда их острые углы равны. Отсюда следует, что шесть возможных отношений длин сторон прямоугольного треугольника зависят только от меры одного из острых углов. Эти отношения называются тригонометрическими отношениями и обычно используются в качестве определения тригонометрических функций .

Прямоугольные треугольники

Теорема Пифагора

Центральной теоремой является теорема Пифагора , которая гласит, что в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин двух других сторон. Если гипотенуза имеет длину c , а катеты имеют длины a и b , то теорема утверждает, что

$a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

Обратное верно: если длины сторон треугольника удовлетворяют приведенному выше уравнению, то треугольник имеет прямой угол, противоположный стороне c .

Еще несколько фактов о прямоугольных треугольниках:

• Острые углы прямоугольного треугольника дополняют друг друга .

$A+B+90^{\circ }=180^{\circ }\Rightarrow A+B=90^{\circ }\Rightarrow A=90^{\circ }-B.$

• Если катеты прямоугольного треугольника имеют одинаковую длину, то углы, лежащие против этих катетов, имеют одинаковую длину. Поскольку эти углы дополняют друг друга, отсюда следует, что каждый из них равен 45 градусам. По теореме Пифагора длина гипотенузы равна длине катета, умноженной на √ 2 .
• В прямоугольном треугольнике с острыми углами 30 и 60 градусов гипотенуза в два раза больше длины меньшей стороны, а длина большей стороны равна длине меньшей стороны, умноженной на √ 3 :

$c=2a\,$

$b=a\times {\sqrt {3}}.$

Для всех треугольников углы и стороны связаны законом косинусов и законом синусов (также называемым правилом косинуса и правилом синусов ).

Существование треугольника

Состояние по бокам

гласит Неравенство треугольника , что сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше или равна длине третьей стороны. Эта сумма может равняться длине третьей стороны только в случае вырожденного треугольника с коллинеарными вершинами. Эта сумма не может быть меньше длины третьей стороны. Треугольник с тремя заданными положительными длинами сторон существует тогда и только тогда, когда эти длины сторон удовлетворяют неравенству треугольника.

Условия на углах

Три заданных угла образуют невырожденный треугольник (и даже их бесконечность) тогда и только тогда, когда выполняются оба этих условия: (а) каждый из углов положителен, и (б) сумма углов равна 180 °. Если разрешены вырожденные треугольники, разрешены углы 0 °.

Тригонометрические условия

Три положительных угла α , β и γ , каждый из которых меньше 180°, являются углами треугольника тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий:

$\tan {\frac {\alpha }{2}}\tan {\frac {\beta }{2}}+\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\gamma }{2}}+\tan {\frac {\gamma }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}=1,$

$\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\beta }{2}}+\sin ^{2}{\frac {\gamma }{2}}+2\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=1,$

$\sin(2\alpha )+\sin(2\beta )+\sin(2\gamma )=4\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma ),$

$\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )=1,$

$\tan(\alpha )+\tan(\beta )+\tan(\gamma )=\tan(\alpha )\tan(\beta )\tan(\gamma ),$

последнее равенство применяется только в том случае, если ни один из углов не равен 90 ° (поэтому значение касательной функции всегда конечно).

Точки, линии и круги, связанные с треугольником

Существуют тысячи различных конструкций, которые находят особую точку, связанную с треугольником (а часто и внутри него), удовлетворяющую некоторому уникальному свойству: статье «Энциклопедия центров треугольников» их каталог см. в . Часто они строятся путем нахождения трех линий, симметрично связанных с тремя сторонами (или вершинами), а затем доказательства того, что эти три линии встречаются в одной точке: важным инструментом для доказательства их существования является теорема Чевы , которая дает Критерий определения одновременности трех таких линий . Точно так же линии, связанные с треугольником, часто строятся путем доказательства того, что три симметрично построенные точки лежат на одной прямой : здесь теорема Менелая дает полезный общий критерий. В этом разделе описаны лишь некоторые из наиболее часто встречающихся конструкций.

— Центр описанной окружности это центр окружности, проходящий через три вершины треугольника.

Биссектриса середину стороны треугольника — это прямая, проходящая через стороны и перпендикулярная ей, т. е. образующая с ней прямой угол. треугольника Три биссектрисы встречаются в одной точке — центре описанной окружности , обычно обозначаемом O ; эта точка является центром описанной окружности , окружности, проходящей через все три вершины. Диаметр этого круга, называемый «окружным диаметром», можно найти из закона синусов, изложенного выше. Радиус описанной окружности называется «радиусом описанной окружности».

Из теоремы Фалеса следует, что если центр описанной окружности находится на стороне треугольника, то противоположный угол является прямым. Если центр описанной окружности расположен внутри треугольника, то треугольник остроугольный; если центр описанной окружности расположен вне треугольника, то треугольник тупоугольный.

Пересечение высот является ортоцентром .

Высота . треугольника — это прямая линия, проходящая через вершину и перпендикулярная противоположной стороне (т. е. образующая прямой угол с ней) Эта противоположная сторона называется основанием высоты, а точка, где высота пересекает основание (или его продолжение), называется подножием высоты . Длина высоты — это расстояние между основанием и вершиной. Три высоты пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром треугольника, обычно H. обозначаемой Ортоцентр лежит внутри треугольника тогда и только тогда, когда треугольник остроугольный.

Пересечение биссектрис угла является центром вписанной окружности .

Биссектриса . треугольника — это прямая, проходящая через вершину треугольника и делящая соответствующий угол пополам Три биссектрисы пересекаются в одной точке, в центре , обычно обозначаемом I треугольника , центре вписанной окружности . Вписанная окружность – это окружность, лежащая внутри треугольника и касающаяся всех трех сторон. Его радиус называется внутренним радиусом . Есть еще три важных круга, экскруги ; они лежат вне треугольника и касаются одной стороны, а также продолжений двух других. Центры внутренней и внешней окружностей образуют ортоцентрическую систему .

Пересечение медиан является центроидом .

Медиана вершину треугольника — это прямая линия, проходящая через и середину противоположной стороны и делящая треугольник на две равные площади. треугольника Три медианы пересекаются в одной точке — центроиде обозначаемом G. или геометрическом барицентре, обычно Центр тяжести твердого треугольного объекта (вырезанного из тонкого листа однородной плотности) также является его центром масс : объект можно балансировать на своем центроиде в однородном гравитационном поле. Центроид разрезает каждую медиану в соотношении 2:1, т.е. расстояние между вершиной и центроидом в два раза больше расстояния между центроидом и серединой противоположной стороны.

Круг из девяти точек демонстрирует симметрию, при которой шесть точек лежат на краях треугольника.

треугольника Середины трех сторон и основания трех высот лежат на одной окружности, девятиточечной окружности . Остальные три точки, в честь которых он назван, являются серединами части высоты между вершинами и ортоцентром . Радиус девятиточечного круга вдвое меньше радиуса описанной окружности. Он касается вписанной окружности (в точке Фейербаха ) и трех вписанных окружностей .

Линия Эйлера — это прямая линия, проходящая через ортоцентр (синий), центр девятиточечного круга (красный), центроид (оранжевый) и центр описанной окружности (зеленый).

Ортоцентр (синяя точка), центр девятиточечного круга (красный), центроид (оранжевый) и центр описанной окружности (зеленый) лежат на одной линии, известной как линия Эйлера (красная линия). Центр девятиточечного круга находится в средней точке между ортоцентром и центром описанной окружности, а расстояние между центроидом и центром описанной окружности вдвое меньше, чем между центроидом и ортоцентром.Центр вписанной окружности обычно не находится на линии Эйлера.

Если отразить медиану в биссектрисе угла, проходящей через ту же вершину, получится симмедиана . Три симмедианы пересекаются в одной точке — симмедиане треугольника.

Вычисление сторон и углов

Существуют различные стандартные методы вычисления длины стороны или меры угла. Некоторые методы подходят для вычисления значений в прямоугольном треугольнике; В других ситуациях могут потребоваться более сложные методы.

Тригонометрические соотношения в прямоугольных треугольниках

Основная статья: Тригонометрические соотношения

Прямоугольный треугольник всегда включает угол 90° (π/2 радиан), здесь он отмечен меткой C. Углы A и B могут различаться. Тригонометрические функции определяют отношения между длинами сторон и внутренними углами прямоугольного треугольника.

В прямоугольных треугольниках тригонометрические отношения синуса, косинуса и тангенса можно использовать для нахождения неизвестных углов и длин неизвестных сторон. Стороны треугольника известны следующим образом:

• Гипотенуза — это сторона, противоположная прямому углу, или определяемая как самая длинная сторона прямоугольного треугольника, в данном случае h .
• Противоположная сторона — это сторона, противоположная интересующему нас углу, в данном случае a .
• Прилежащей стороной называется та сторона, которая соприкасается с интересующим нас углом и прямым углом, отсюда и ее название. В этом случае соседней стороной является b .

Синус, косинус и тангенс

Синус угла – это отношение длины противоположной стороны к длине гипотенузы. В нашем случае

$\sin A={\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {a}{h}}\,.$

Это соотношение не зависит от конкретного выбранного прямоугольного треугольника, если он содержит угол A , поскольку все эти треугольники подобны .

Косинус угла – это отношение длины прилежащей стороны к длине гипотенузы. В нашем случае

$\cos A={\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}={\frac {b}{h}}\,.$

Тангенс угла – это отношение длины противоположной стороны к длине прилежащей стороны. В нашем случае

$\tan A={\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}={\frac {a}{b}}={\frac {\sin A}{\cos A}}\,.$

Аббревиатура « SOH-CAH-TOA » является полезным мнемоническим обозначением для этих соотношений.

Обратные функции

Обратные тригонометрические функции можно использовать для вычисления внутренних углов прямоугольного треугольника с длинами любых двух сторон.

Arcsin можно использовать для расчета угла по длине противоположной стороны и длине гипотенузы.

$\theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite side}}{\text{hypotenuse}}}\right)$

Arccos можно использовать для расчета угла по длине прилежащей стороны и длине гипотенузы.

$\theta =\arccos \left({\frac {\text{adjacent side}}{\text{hypotenuse}}}\right)$

Arctan можно использовать для расчета угла по длине противоположной стороны и длине прилегающей стороны.

$\theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite side}}{\text{adjacent side}}}\right)$

В вводных курсах геометрии и тригонометрии обозначение sin ⁻¹ , потому что ⁻¹ и т. д. часто используются вместо arcsin, arccos и т. д. Однако обозначения arcsin, arccos и т. д. являются стандартными в высшей математике, где тригонометрические функции обычно возводятся в степени, поскольку это позволяет избежать путаницы между мультипликативными обратными и композиционными. инверсный .

Правила синуса, косинуса и тангенса

Основные статьи: Закон синусов , Закон косинусов и Закон тангенсов

Треугольник со сторонами длиной a, b и c и углами α, β и γ соответственно.

Закон синусов , или правило синусов, утверждает, что отношение длины стороны к синусу соответствующего ей противоположного угла постоянно, то есть

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R$, где R — радиус описанной окружности данного треугольника.

Другая интерпретация этой теоремы состоит в том, что каждый треугольник с углами α, β и γ подобен треугольнику с длинами сторон, равными sin α, sin β и sin γ. Этот треугольник можно построить, сначала построив круг диаметром 1 и вписав в него два угла треугольника. Длина сторон этого треугольника будет равна sin α, sin β и sin γ. Сторона, длина которой равна sin α, противоположна углу, мера которого равна α, и т. д.

Закон косинусов , или правило косинусов, связывает длину неизвестной стороны треугольника с длиной других сторон и углом, противолежащим неизвестной стороне. Согласно закону:

Для треугольника с длинами сторон a , b , c и углами α, β, γ соответственно, даны две известные длины треугольника a и b и угол между двумя известными сторонами γ (или угол, противоположный неизвестному сторона c ), для расчета третьей стороны c можно использовать следующую формулу:

$c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma )$

$b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos(\beta )$

$a^{2}\ =b^{2}+c^{2}-2bc\cos(\alpha )$

Если известны длины всех трех сторон любого треугольника, можно вычислить три угла:

$\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)$

$\beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)$

$\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)$

Закон касательных или правило касания можно использовать для нахождения стороны или угла, если известны две стороны и угол или два угла и сторона. В нем говорится, что:

${\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.$

Решение треугольников

Основная статья: Решение треугольников

«Решение треугольников» — основная тригонометрическая задача: найти недостающие характеристики треугольника (три угла, длины трех сторон и т. д.), когда даны хотя бы три из этих характеристик. Треугольник может располагаться на плоскости или на сфере . Эта проблема часто возникает в различных тригонометрических приложениях, таких как геодезия , астрономия , строительство , навигация и т. д.

Область

Этот раздел представляет собой отрывок из книги «Площадь треугольника» . [ редактировать ]

Площадь треугольника можно показать, например, посредством сравнения треугольников , как половину площади параллелограмма , имеющего ту же длину основания и высоту.

Графический вывод формулы $T={\frac {h}{2}}b$ это позволяет избежать обычной процедуры удвоения площади треугольника, а затем ее уменьшения пополам.

В геометрии вычисление площади треугольника — элементарная задача, часто встречающаяся в самых разных ситуациях. Самая известная и простая формула: $T=bh/2,$ где b — длина основания . треугольника, а h — высота или высота треугольника Термин «основание» обозначает любую сторону, а «высота» обозначает длину перпендикуляра, проведенного из вершины, противоположной основанию, на линию, содержащую основание. Евклид в 300 г. до н.э. доказал, что площадь треугольника вдвое меньше площади параллелограмма с тем же основанием и высотой в своей книге «Начала» . В 499 году н.э. Арьябхата использовал этот иллюстрированный метод в Арьябхатии (раздел 2.6).

Несмотря на простоту, эта формула полезна только в том случае, если высоту можно легко найти, что не всегда так. Например, геодезисту треугольного поля может быть относительно легко измерить длину каждой стороны, но относительно сложно построить «высоту». На практике могут использоваться различные методы, в зависимости от того, что известно о треугольнике. Другие часто используемые формулы площади треугольника используют тригонометрию, длины сторон (формула Герона), векторы, координаты, линейные интегралы, теорему Пика или другие свойства.

Дальнейшие формулы для общих евклидовых треугольников

См. Также: Список неравенств треугольника.

Формулы этого раздела верны для всех евклидовых треугольников.

Медианы, биссектрисы углов, биссектрисы перпендикулярных сторон и высоты.

Основные статьи: Медиана (геометрия) , Биссектриса угла , Биссектриса § Биссектрисы перпендикулярно и Высота (геометрия)

Медианы и стороны связаны соотношением

${\tfrac {3}{4}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}$

и

$m_{a}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}={\sqrt {{\tfrac {1}{2}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})-{\tfrac {3}{4}}a^{2}}}$,

и то же самое для m _b и m _c .

Для угла A, противоположного стороне a , длина биссектрисы внутреннего угла определяется выражением

$w_{A}={\frac {2{\sqrt {bcs(s-a)}}}{b+c}}={\sqrt {bc\left[1-{\frac {a^{2}}{(b+c)^{2}}}\right]}}={\frac {2bc}{b+c}}\cos {\frac {A}{2}},$

для полупериметра s , где длина биссектрисы измеряется от вершины до места пересечения противоположной стороны.

Внутренние биссектрисы определяются выражением

$p_{a}={\frac {2aT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$

$p_{b}={\frac {2bT}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},$

$p_{c}={\frac {2cT}{a^{2}-b^{2}+c^{2}}},$

где стороны $a\geq b\geq c$ и площадь $T.$

Высота, например, со стороны длины a равна

$h_{a}={\frac {2T}{a}}.$

Окружной радиус и внутренний радиус

Основные статьи: Окружной радиус и Внутренний радиус

Следующие формулы включают радиус описанной окружности R и внутренний радиус r :

$R={\sqrt {\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}};$

$r={\sqrt {\frac {(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{4(a+b+c)}}};$

${\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}$

где h _a и т. д. — высоты до нижних сторон;

${\frac {r}{R}}={\frac {4T^{2}}{sabc}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1;$

и

$2Rr={\frac {abc}{a+b+c}}$.

Произведение двух сторон треугольника равно произведению высоты третьей стороны на диаметр D : описанной окружности

$ab=h_{c}D,\quad \quad bc=h_{a}D,\quad ca=h_{b}D.$

Соседние треугольники

Предположим, что два смежных, но не перекрывающихся треугольника имеют одну и ту же сторону длины f и одну и ту же описанную окружность, так что сторона длины f является хордой описанной окружности, а треугольники имеют длины сторон ( a , b , f ) и ( c , d , f ), при этом два треугольника вместе образуют вписанный четырехугольник с длинами сторон последовательно ( a , b , c , d ). Затем

$f^{2}={\frac {(ac+bd)(ad+bc)}{(ab+cd)}}.\,$

центроид

Основная статья: Центроид

Пусть G — центр тяжести треугольника с вершинами A , B и C , а P — любая внутренняя точка. Тогда расстояния между точками связаны соотношением

$(PA)^{2}+(PB)^{2}+(PC)^{2}=(GA)^{2}+(GB)^{2}+(GC)^{2}+3(PG)^{2}.\,$

Сумма квадратов сторон треугольника равна трехкратной сумме квадратов расстояний центроида от вершин:

$AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).$

Пусть qa _{расстояния от} , qb _и qc a _— сторон длин , c b и центроида до . Затем

${\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad \quad {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\quad \quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}\,$

и

$q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}T\,$

для Т. района

Центр окружности, инцентр и ортоцентр

Основные статьи: Окружной центр , Инцентр и Ортоцентр.

Теорема Карно утверждает, что сумма расстояний от центра описанной окружности до трех сторон равна сумме радиуса описанной окружности и внутреннего радиуса. Здесь длина отрезка считается отрицательной тогда и только тогда, когда отрезок полностью лежит вне треугольника. Этот метод особенно полезен для вывода свойств более абстрактных форм треугольников, таких как те, которые индуцированы алгебрами Ли , которые в остальном имеют те же свойства, что и обычные треугольники.

Теорема Эйлера утверждает, что расстояние d между центром описанной окружности и центром вписания определяется выражением

$\displaystyle d^{2}=R(R-2r)$

или эквивалентно

${\frac {1}{R-d}}+{\frac {1}{R+d}}={\frac {1}{r}},$

где R — радиус описанной окружности, а r — внутренний радиус. Таким образом, для всех треугольников R ≥ 2 r при этом равенство справедливо для равносторонних треугольников.

Если обозначить, что ортоцентр делит одну высоту на отрезки длин u и v , другую высоту на отрезки длин w и x , а третью высоту на отрезки длиной y и z , то uv = wx = yz .

Расстояние от стороны до центра описанной окружности равно половине расстояния от противоположной вершины до ортоцентра.

Сумма квадратов расстояний от вершин до ортоцентра H плюс сумма квадратов сторон равна двенадцатикратному квадрату описанного радиуса:

$AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}=12R^{2}.$

Углы

Помимо закона синусов , закона косинусов , закона тангенсов и тригонометрических условий существования , данных ранее, для любого треугольника

$a=b\cos C+c\cos B,\quad b=c\cos A+a\cos C,\quad c=a\cos B+b\cos A.$

Теорема Морли о трёхсекторах

Основная статья: теорема Морли о трисекторах

Треугольник Морли, полученный в результате трисекции каждого внутреннего угла. Это пример правила конечного подразделения .

Теорема Морли о трисекторах утверждает, что в любом треугольнике три точки пересечения трисекторов соседних углов образуют равносторонний треугольник, называемый треугольником Морли.

Фигуры, вписанные в треугольник

Коники

Как обсуждалось выше, каждый треугольник имеет уникальную вписанную окружность (вписанную окружность), которая находится внутри треугольника и касается всех трех сторон.

Каждый треугольник имеет уникальный эллипс Штейнера , который находится внутри треугольника и касается в середине сторон. Теорема Мардена показывает, как найти фокусы этого эллипса . Этот эллипс имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов, касающихся всех трех сторон треугольника.

Эллипс Мандарта треугольника — это эллипс, вписанный в треугольник, касающийся его сторон в точках контакта его вписанных окружностей.

вписанного в треугольник ABC , пусть фокусы будут P и Q. Для любого эллипса , Затем

${\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.$

Выпуклый многоугольник

Каждый выпуклый многоугольник площадью T ​​можно вписать в треугольник площадью не более 2 T . Равенство справедливо (исключительно) для параллелограмма .

Шестиугольник

Шестиугольник Лемуана — это вписанный шестиугольник , вершины которого заданы шестью пересечениями сторон треугольника с тремя прямыми, параллельными сторонам и проходящими через его симмедианную точку . В простой форме или в самопересекающейся форме шестиугольник Лемуана находится внутри треугольника с двумя вершинами на каждой стороне треугольника.

Квадраты

Каждый остроугольный треугольник имеет три вписанных квадрата (квадрата внутри него, такие, что все четыре вершины квадрата лежат на одной стороне треугольника, поэтому две из них лежат на одной стороне и, следовательно, одна сторона квадрата совпадает с частью стороны). треугольника). В прямоугольном треугольнике два квадрата совпадают и имеют вершину под прямым углом треугольника, поэтому в прямоугольном треугольнике есть только два различных вписанных квадрата. В тупоугольный треугольник есть только один вписанный квадрат, сторона которого совпадает с частью самой длинной стороны треугольника. Внутри данного треугольника более длинной общей стороне соответствует меньший вписанный квадрат. Если вписанный квадрат имеет сторону длины qa _, а треугольник имеет сторону длины a , часть которой совпадает со стороной квадрата, то qa _, и высота a , высота ha _от стороны a треугольника область T связаны согласно

$q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.$

Максимально возможное отношение площади вписанного квадрата к площади треугольника равно 1/2, что имеет место, когда ² = 2 T , q = a /2 , а высота треугольника от основания длины a равна a . Наименьшее возможное отношение стороны одного вписанного квадрата к стороне другого в том же нетупоугольном треугольнике равно $2{\sqrt {2}}/3=0.94....$ Оба этих крайних случая имеют место для равнобедренного прямоугольного треугольника.

Треугольники

Из внутренней точки опорного треугольника ближайшие точки по трем сторонам служат вершинами педального треугольника этой точки. Если внутренняя точка является центром описанной окружности опорного треугольника, вершины педального треугольника являются средними точками сторон опорного треугольника, и поэтому педальный треугольник называется треугольником средней точки или медиальным треугольником. Треугольник со средней точкой делит опорный треугольник на четыре равных треугольника, которые подобны опорному треугольнику.

Треугольник Жергонна или треугольник касания опорного треугольника имеет вершины в трех точках касания сторон опорного треугольника с вписанной окружностью. Треугольник касания опорного треугольника имеет вершины в точках касания вписанных окружностей опорного треугольника с его сторонами (не расширенными).

Фигуры, описанные около треугольника

Касательный треугольник опорного треугольника (кроме прямоугольного треугольника) — это треугольник, стороны которого лежат на касательных к описанной окружности опорного треугольника в его вершинах.

Как упоминалось выше, у каждого треугольника есть уникальная описанная окружность — окружность, проходящая через все три вершины, центр которой является пересечением серединных перпендикуляров сторон треугольника.

Кроме того, каждый треугольник имеет уникальный окружной эллипс Штейнера , который проходит через вершины треугольника и имеет центр в центроиде треугольника. Из всех эллипсов, проходящих через вершины треугольника, он имеет наименьшую площадь.

Гипербола Киперта — это уникальная коника , проходящая через три вершины треугольника, его центроид и центр описанной окружности.

Из всех треугольников, содержащихся в данном выпуклом многоугольнике , один с максимальной площадью можно найти за линейное время; его вершины могут быть выбраны как три вершины данного многоугольника.

Указание положения точки в треугольнике

Один из способов определить расположение точек внутри (или снаружи) треугольника — поместить треугольник в произвольное место и ориентацию в декартовой плоскости и использовать декартовы координаты. Хотя этот подход удобен для многих целей, он имеет тот недостаток, что значения координат всех точек зависят от произвольного расположения на плоскости.

Две системы избегают этой особенности, так что на координаты точки не влияет перемещение треугольника, его вращение или отражение, как в зеркале, любое из которых дает конгруэнтный треугольник, или даже изменение его масштаба для получения аналогичного треугольника. :

• Трилинейные координаты определяют относительные расстояния точки от сторон, так что координаты $x:y:z$ показывают, что отношение расстояния точки от первой стороны к ее расстоянию от второй стороны равно $x:y$ , и т. д.
• Барицентрические координаты формы $\alpha :\beta :\gamma$ укажите местоположение точки с помощью относительных весов, которые необходимо присвоить трем вершинам, чтобы сбалансировать невесомый треугольник в данной точке.

Неплоские треугольники

Неплоский треугольник — это треугольник, не лежащий в евклидовой плоскости . Некоторыми примерами неплоских треугольников в неевклидовой геометрии являются сферические треугольники в сферической геометрии и гиперболические треугольники в гиперболической геометрии .

В то время как сумма внутренних углов в плоских треугольниках всегда равна 180 °, в гиперболическом треугольнике есть меры углов, сумма которых меньше 180 °, а в сферическом треугольнике есть меры углов, сумма которых превышает 180 °. Гиперболический треугольник можно получить, рисуя на отрицательно изогнутой поверхности, например на седловой поверхности , а сферический треугольник можно получить, рисуя на положительно изогнутой поверхности, например на сфере . Так, если нарисовать на поверхности Земли гигантский треугольник, то окажется, что сумма мер его углов больше 180°; на самом деле он будет между 180° и 540°. В частности, на сфере можно нарисовать треугольник так, чтобы величина каждого из его внутренних углов была равна 90°, что в сумме дает 270°.

В частности, на сфере сумма углов треугольника равна

180° × (1 + 4 ж ),

где f — доля площади сферы, заключенная в треугольник. Например, предположим, что мы рисуем треугольник на поверхности Земли с вершинами на Северном полюсе, в точке на экваторе на 0° долготы и точке на экваторе на 90° западной долготы . Линия большого круга между двумя последними точками — это экватор, а линия большого круга между любой из этих точек и Северным полюсом — это линия долготы; следовательно, в двух точках экватора есть прямые углы. Более того, угол на Северном полюсе тоже равен 90°, поскольку две другие вершины отличаются по долготе на 90°. Значит сумма углов в этом треугольнике равна 90°+90°+90°=270° . Треугольник охватывает 1/4 северного полушария (90°/360°, если смотреть с Северного полюса) и, следовательно, 1/8 поверхности Земли, поэтому в формуле f = 1/8 ; таким образом, формула правильно дает сумму углов треугольника как 270 °.

Из приведенной выше формулы суммы углов мы также можем видеть, что поверхность Земли локально плоская: если мы нарисуем сколь угодно маленький треугольник в окрестностях одной точки на поверхности Земли, часть f поверхности Земли, заключенная в треугольник, будет быть сколь угодно близким к нулю. В этом случае формула суммы углов упрощается до 180°, что, как мы знаем, соответствует тому, что говорит нам евклидова геометрия для треугольников на плоской поверхности.

Треугольники в строительстве

Основная статья: Ферма

Флэтайрон -билдинг в Нью-Йорке имеет форму треугольной призмы.

Прямоугольники были самой популярной и распространенной геометрической формой зданий, поскольку их легко штабелировать и организовывать; Как правило, мебель и светильники легко спроектировать так, чтобы они поместились внутри зданий прямоугольной формы. Но треугольники, хотя их и труднее использовать концептуально, придают им большую силу. Поскольку компьютерные технологии помогают архитекторам проектировать креативные новые здания, треугольные формы становятся все более распространенными в качестве частей зданий и основной формы некоторых типов небоскребов, а также строительных материалов. В Токио в 1989 году архитекторы задавались вопросом, можно ли построить 500-этажную башню, чтобы обеспечить доступные офисные помещения для этого густонаселенного города, но, учитывая опасность для зданий от землетрясений , архитекторы посчитали, что треугольная форма будет необходима, если такая должно было быть построено здание.

В Нью-Йорке , когда Бродвей пересекает основные проспекты, полученные кварталы разрезаются на треугольники, и по этим формам строятся здания; треугольной формы Одним из таких зданий является Флэтайрон-билдинг , в котором, по признанию специалистов по недвижимости, есть «мусор неуклюжих пространств, в которых нелегко разместить современную офисную мебель», но это не помешало этому сооружению стать символом достопримечательности. Дизайнеры построили дома в Норвегии, используя треугольную тематику. В церквях появились треугольные формы а также общественные здания, включая колледжи а также поддержка инновационного дизайна дома.

Треугольники прочные; в то время как прямоугольник может сжаться в параллелограмм из-за давления на одну из его точек, треугольники обладают естественной прочностью, которая поддерживает конструкции против бокового давления. Треугольник не изменит форму, если его стороны не согнуты, не вытянуты, не сломаны или если его суставы не сломаются; по сути, каждая из трех сторон поддерживает две другие. Прямоугольник, напротив, в большей степени зависит от прочности своих соединений в конструктивном отношении. Некоторые дизайнеры-новаторы предложили делать кирпичи не из прямоугольников, а из треугольных форм, которые можно комбинировать в трех измерениях. Вполне вероятно, что по мере усложнения архитектуры треугольники будут все чаще использоваться по-новому. Треугольники прочны с точки зрения жесткости, но, будучи упакованы в мозаичную компоновку, треугольники не так прочны, как шестиугольники при сжатии (отсюда и преобладание шестиугольных форм в природе ). Однако мозаичные треугольники по-прежнему сохраняют превосходную прочность для консольного крепления , и это является основой для одной из самых прочных искусственных структур — четырехгранной фермы .

См. также

• Теория Аполлония
• Стрелка (символ)
• Конгруэнтность (геометрия)
• Дельта (буква)
• Теорема Дезарга
• Глаз Дракона (символ)
• Точка Ферма
• Неравенство Хадвигера – Финслера
• Геронов треугольник
• Целочисленный треугольник
• Закон косинусов
• Закон синусов
• Закон касательных
• Теорема Лестера
• Список неравенств треугольника
• Список тем треугольника
• Современная геометрия треугольника
• Неравенство Оно
• Педаль треугольник
• Неравенство Педо
• Теорема Пифагора
• Специальные прямоугольные треугольники
• Центр треугольника
• Треугольное число
• Триангулированная категория
• Триангуляция (топология)

Источники

• Корт, Натан Альтшиллер (1952) [1925]. Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.). Нью-Йорк: Barnes & Noble.
• Джонсон, Роджер А. (2007). Расширенная евклидова геометрия . Дувр.

Внешние ссылки

• Иванов, А.Б. (2001) [1994]. «Треугольник» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс .
• Кларк Кимберлинг: Энциклопедия центров треугольника . Перечисляет около 5200 интересных точек, связанных с любым треугольником.